1、宁夏青铜峡市高级中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1. 下列说法中，正确的是（ ）A. 直线的倾斜角为，则此直线的斜率为B. 直线的斜率为，则此直线的倾斜角为C. 若直线的倾斜角为，则D. 任意直线都有倾斜角，且时，斜率为【答案】D【解析】【分析】利用直线的倾斜角与直线斜率的定义即可判断.【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；对于B，虽然直线的斜率为，但只有时，才是此直线倾斜角，故B不正确；对于C，当直线与轴平行或重合时，故C不正确；根据直线倾斜角的定义以及斜率的定义，可判断D正确；故选：D.【点睛】本题考
2、查了直线的倾斜角与直线的斜率定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.2. 若经过点A(2，1)，B(1，m)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是（ ）A. m1C. m-1【答案】A【解析】【分析】设直线的倾斜角为，利用求解即可.【详解】设直线的倾斜角为，则，.故选：A.【点睛】本题主要考查了直线的倾斜角，要求学生结合斜率的计算公式，结合斜率与倾斜角的关系，进行分析求解；属于较易题.3. 已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积与其内切球表面积之比为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，利用球体积，表面积公式计算得
3、结果.【详解】由正方体性质知，它的外接球的半径为，内切球的半径为，：2故选：D【点睛】本题主要考查了正方体的性质，球的体积，表面积的计算，属于基础题.4. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】C【解析】【分析】由线面平行的性质和线面的位置关系，可判断A；由面面平行和线面平行的性质，可判断B；由线面垂直的性质，可判断C；由面面平行的性质和判定，可判断D.【详解】解：对于A，若，可得或，故A错误；对于B，若，可得或，故B错误；对于C，由两条平行线中一条垂直于一个平面，可得另一条也垂直于这个平面，则，故C正确；对
4、于D，若，当m平行于、的交线，则，故D错误.故选：C.【点评】本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的关系，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.5. 若圆台的母线与高的夹角为，且上、下底面半径之差为2，则该圆台的高为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】设上、下底面半径分别为，圆台高为，然后根据题意列出等式求出即可.【详解】设上、下底面半径分别为，圆台高为，由题可知：，即，所以故选：D.【点睛】本题考查圆台中相关量的计算，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.6. 下列说法正确的是（ ）A. 有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B
5、. 三棱锥的三个侧面都可以是直角三角形C. 有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D. 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥【答案】B【解析】【分析】对A、C、D分别举出反例即可，而对于B可找到符合条件的图形，进而得出答案.【详解】对于A，如图（1）符合条件但却不是棱柱；对于B，在图（2）所示的正方体中，三棱锥的三个侧面都是直角三角形，故B正确.对于C，如图（3），其侧棱不相交于一点，故不是棱台.对于D，如图（4），以直角三角形的斜边为轴旋转得到的是两个对底的圆锥.故选：B.【点睛】本题考查空间几何体的识别，正确理解柱体、台体及锥体的定义是解题
6、的关键，本题属于基础题.7. 如图，在空间四边形ABCD中，AD=BC=2，E，F分别为AB，CD的中点，EF=，则AD与BC所成的角为()A. 30B. 60C. 90D. 120【答案】C【解析】取AC的中点M，连ME,MF，因为点E，F分别为AB，CD中点，所以，且所以为异面直线AD与BC所成的角（或其补角），在中， ,所以,所以即异面直线AD与BC所成的角为选C8. 如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】采用数形结合，根据勾股定理可得球半径，然后利用球的表面积公式，可得结果.【详
7、解】根据题意，画图如下： 则，故在中，.故选：B【点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题.9. 如图，在正方体中，二面角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据平面，可知，同时，可知二面角的平面角为，即可得结果.【详解】由题可知：在正方体中，平面由平面，所以，又所以二面角的平面角为，因为，则故选：B【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题.10. 已知正的边长为，那么的平面直观图的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】作出正的实际图形和直观图，计算出直观图的底边上的高，由此可求得
8、的面积.【详解】如图所示的实际图形和直观图.由斜二测画法可知，在图中作于，则.所以.故选：D.【点睛】本题考查直观图面积的计算，考查计算能力，属于基础题.11. 已知直四棱柱的侧棱长为4，底面为正方形且边长为1，一小虫从点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达点，则小虫爬行的最短路程为（ ）A. B. C. D. 5【答案】B【解析】【分析】根据题意知小虫绕行一周爬行路程最短，即沿展开所得正方形的对角线为其最短路程.【详解】由题意，小虫从点出发沿直棱柱侧面绕行一周后到达点，所以将侧面沿展开所得正方形的对角线即为小虫爬行的最短路程，故选：B【点睛】本题考查了棱柱表面上的最短路径问题，属于简单题.12.
9、如图所示，AB是O的直径，VA垂直于O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（ ）A. MNABB. MN与BC所成的角为45C. OC平面VACD. 平面VAC平面VBC【答案】D【解析】【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN不与AB平行，根据异面直线平面角知MN与BC所成的角为90，应用反证知OC不与平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC面VBC，即可知正确选项.【详解】M，N分别为VA，VC的中点，在中有，在面中，MN不与AB平行；，知：MN与BC所成的角为；因为面，与平面内交线都不垂直，OC不与平面VAC垂直；由面，
10、面即，而知，有面，又面，所以面面；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分13. 若直线经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数的值为_【答案】【解析】【分析】由直线的垂直关系得，即可求的值.【详解】由题意知：直线的斜率为，即，故答案为：【点睛】本题考查了根据直线的垂直关系求参数值，由直线垂直有即可求参数值，属于简单题.14. 正六棱锥底面边长为a，体积为，则侧棱与底面所成的角为_.【答案】【解析】【分析】根据正六棱锥底面边长为a，可求出其底面积，再结合体积求出其高，进而求出侧棱的长，根
11、据直线与平面所成的角的概念，即可求出侧棱与底面所成的角【详解】设正六棱锥的高为，因为正六棱锥底面边长为a，所以其底面积，又因为其体积，所以，所以侧棱长为，所以侧棱与底面所成的角为.故答案为：【点睛】本题主要考查了棱锥的体积公式及直线与平面所成的角的求法，关键是利用六棱锥的体积，求出六棱锥的高15. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为_【答案】【解析】【分析】由题意先求得圆锥的底面半径和高，再利用即可得解.【详解】圆锥侧面展开图是一个半径为6cm，圆心角为的扇形，扇形的弧长为，该圆锥底面半径为，该圆锥的高为，圆锥的体积为.故答案为：.【点睛】本题考查了圆锥体
12、积的计算，考查了圆锥侧面展开图的应用，属于基础题.16. 如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是_.【答案】【解析】由三视图可知此几何体是一个正四棱锥，此四棱锥的底面边长为2,高为,所以其体积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 已知，三点（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值【答案】（1）；（2）能共线，.【解析】【分析】（1）利用直线的倾斜角和斜率的关系，以及斜率公式得tan45=1= ， 即可求得m的值；（2）三点共线，则
13、任过两点的直线的斜率相等，根据斜率公式，可求m的值.【详解】（1）过A，C两点的直线的斜率为 ，又直线AC的倾斜角为，所以，得.（2），若，三点共线，则有，即，解得，所以A，B，C三点能共线，且.【点睛】本题考查了斜率公式，考查了斜率与倾斜角的关系；判断A、B、C三点共线的方法.18. 已知四边形ABCD的顶点A(m，n)、B(5，1)、C(4,2)、D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.【答案】m2、n1或m、n.【解析】【详解】试题分析：直角梯形有一组对边平行,还有垂直关系,此题分AD90, AB90两种情况讨论.试题解析：(1)如图，当AD90时，四边形ABCD为直角梯
14、形，ABDC且ADAB.kDC0，m2，n1.(2)如图，当AB90时，四边形ABCD为直角梯形，ADBC，且ABBC，kADkBC，kABkBC1.解得m，n.综上所述，m2、n1或m，n.19. 如图，在直三棱柱中，已知，.设的中点，.求证：（1）平面；（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明平面即可，显然可证，因此原命题得证.试题解析：在直三棱柱中， 平面，且矩形是正方形， 为的中点， 又为的中点， ， 又平面， 平面， 平面 在直三棱柱中， 平面, 平面, 又， 平面， 平面， ，
15、平面， 平面， 矩形是正方形， ，平面， ， 平面又平面， .点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAB底面，（1）求证：平面（2）过AC的平面交PD于点M，若，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性质有，勾股定理知，结合面面垂直的推论可得，根据线面垂直的判定证垂直即可；（2）由面即可计算，结合已知条件可求三棱锥的体积；【详解】（1）由题意知：底面ABCD是菱形
16、，且，又在中，即，又面PAB面，面PAB 面，面PAB，面，而面，有：，平面；（2）由（1）知：面，有，而，且，【点睛】本题考查了应用几何图形的性质，及线面垂直的判定证明垂直，根据已知体积关系结合三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.21. 如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，为的中点，为中点 （1）求证：平面平面；（2）求证：平面平面【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由MNED，得MN平面ADEF，得平面BMN平面ADEF；（2）由题意得EDBC，得BCBD，从而得BC平面BDE进而平面BCE平面BDE，【详解】（1）证明：在中，分别为的中点， 所以，又平面，且平面，所以平
17、面;因为为中点，所以四边形为平行四边形，所以又平面，且平面，所以平面 面平面平面（2）证明：在矩形中，又因为平面 平面，且平面平面，所以平面所以在直角梯形中，可得在中，因为，所以因为,所以平面 面，平面平面点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.22. 如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的一点. （1）求证：平面 平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证，从而平面，再由面面垂直的判定定理得到平面平面（2）作平面，以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值【详解】（1）由是圆的直径，得，由平面，平面，得，又，平面，平面，平面，平面，平面平面. （2）如图，作平面，以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 在中，. 又，. 故，. 设平面的法向量为，则令，则.，设直线与平面所成角为，.直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明、线面角的正弦值，考查推理论证能力和运算求解能力，求解时要注意充分发挥空间想象能力，将定判定定理和性质定理的条件写完整
