1、数学 第三部分 教材知识 重点再现 回顾6 解析几何02 必 会 结 论 03 必 练 习 题 01 必 记 知 识 必记知识1直线方程的五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点 P1(x1，y1)，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y轴的直线)(2)斜截式：ykxb(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y轴的直线)(3)两点式：yy1y2y1 xx1x2x1(直线过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且 x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式：xayb1(a，b 分别为直线的横、纵截距，且 a0，b0，不
2、包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式：AxByC0(其中 A，B 不同时为 0)2直线的两种位置关系当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时：(1)两直线平行 l1l2k1k2.(2)两直线垂直 l1l2k1k21.提醒 当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.3三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离|AB|（x2x1）2（y2y1）2.(2)点到直线的距离 d|Ax0By0C|A2B2(其中点 P(x0，y0)，直线方程为 AxByC0)(3)两平行线间的距离 d|C2C1|A2B2(其中两平行线方程分
3、别为 l1：AxByC10，l1：AxByC20 且 C1C2)提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等.4圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法(2)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法6椭圆的标准方程及几何性质标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)图形标准方程x2a2y2b21(ab0)y2a2x2b21(ab0)几何性
4、质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a，0)，A2(a，0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b，0)，B2(b，0)轴线段 A1A2，B1B2 分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为 2a，短轴长为 2b焦距|F1F2|2c离心率焦距与长轴长的比值：e(0，1)a，b，c 的关系c2a2b2提醒 椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度.因为 a2b2c2，所以ba 1e2，因此，当 e 越趋近于 1
5、时，ba越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时，ba越趋近于 1，椭圆越接近于圆.所以 e 越大椭圆越扁；e 越小椭圆越圆，当且仅当 ab，c0 时，椭圆变为圆，方程为 x2y2a2（a0）.7双曲线的标准方程及几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)几何性质范围|x|a，yR|y|a，xR对称性对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴线段 A
6、1A2，B1B2 分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为 2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|2c离心率焦距与实轴长的比值：e(1，)渐近线ybaxyabxa，b，c 的关系a2c2b2提醒(1)离心率 e 的取值范围为(1，).当 e 越接近于 1 时，双曲线开口越小；当e 越接近于时，双曲线开口越大.(2)满足|PF1|PF2|2a 的点 P 的轨迹不一定是双曲线，当 2a0 时，点 P 的轨迹是线段 F1F2 的中垂线；当 02a|F1F2|时，点 P 的轨迹是双曲线；当 2a|F1F2|时，点P 的轨迹是两条射线；当 2a|F1F2|时，点 P 的轨迹不存在.8抛物线的标准方程及几何性质标准
7、方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)几何性质对称轴x 轴y 轴顶点O(0，0)焦点Fp2，0Fp2，0F0，p2F0，p2准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR离心率e1必会结论1与圆的切线有关的结论(1)过圆 x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为 x0 xy0yr2.(2)过圆(xa)2(yb)2r2 上一点 P(x0，y0)的切线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(3)过圆 x2y2r2 外一点 P(x
8、0，y0)作圆的两条切线，切点为 A，B，则过 A，B 两点的直线方程为 x0 xy0yr2.(4)过圆 x2y2DxEyF0(D2E24F0)外一点 P(x0，y0)引圆的切线，切点为 T，则|PT|x20y20Dx0Ey0F.(5)过圆 C：(xa)2(yb)2r2(r0)外一点 P(x0，y0)作圆 C 的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦 AB 所在的直线方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2.(6)若圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则过圆外一点 P(x0，y0)的切线长 d（x0a）2（y0b）2r2.2椭圆中焦点三角形的相关结论由椭圆上一点与两焦点所构成的三角
9、形称为焦点三角形解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正、余弦定理以椭圆x2a2y2b21(ab0)上一点 P(x0，y0)(y00)和焦点 F1(c，0)，F2(c，0)为顶点的PF1F2 中，若F1PF2，则(1)|PF1|aex0，|PF2|aex0(焦半径公式)，|PF1|PF2|2a.(e 为椭圆的离心率)(2)4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos.(3)SPF1F212|PF1|PF2|sin b2tan2c|y0|，当|y0|b，即 P 为短轴端点时，SPF1F2取得最大值，为 bc.(4)焦点三角形的周长为 2(ac)3双曲线的方程与渐近线方程的关系(1)若双
10、曲线的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，则渐近线的方程为x2a2y2b20，即 ybax.(2)若渐近线的方程为 ybax(a0，b0)，即xayb0，则双曲线的方程可设为x2a2y2b2.(3)若所求双曲线与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有公共渐近线，其方程可设为x2a2y2b2(0，焦点在 x 轴上；0，焦点在 y 轴上)4双曲线常用的结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.(2)若 P 是双曲线右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|minac，|PF2|minca.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，异支
11、的弦中最短的为实轴，其长为 2a.(4)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，则 kPAkPBb2a2，SPF1F2 b2tan 2，其中 为F1PF2.(5)P 是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，I 为PF1F2 内切圆的圆心，则圆心 I 的横坐标恒为 a.5抛物线焦点弦的相关结论设 AB 是过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，为直线 AB的倾斜角，则(1)焦半径|AF|x1p2p1cos，|BF|x2p2p1cos.(2)x
12、1x2p24，y1y2p2.(3)弦长|AB|x1x2p 2psin2.(4)1|FA|1|FB|2p.(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切(6)SOABp22sin(O 为抛物线的顶点)必练习题1过圆 x2y2xy140 的圆心，且倾斜角为4的直线方程为()Ax2y0 Bx2y30Cxy0Dxy10解析：选 C.由题意知圆的圆心坐标为12，12，所以过圆的圆心，且倾斜角为4的直线方程为 yx，即 xy0.2圆心为(4，0)且与直线 3xy0 相切的圆的方程为()A(x4)2y21B(x4)2y212C(x4)2y26D(x4)2y29解析：选 B.由题意，知圆的半径为圆心到直线 3xy0
13、的距离，即 r|340|312 3，结合圆心坐标可知，圆的方程为(x4)2y212，故选 B.3若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 52，则其渐近方程为()Ay2xBy4xCy12xDy14x解析：选 C.由题意得 eca 52，又 a2b2c2，所以ba12，所以双曲线的渐近线方程为 y12x，选 C.4设 AB 是椭圆的长轴，点 C 在椭圆上，且CBA4，若|AB|4，|BC|2，则椭圆的两个焦点之间的距离为()A4 63B2 63C4 33D2 33解析：选 A.不妨设椭圆的标准方程为x2a2y2b21(ab0)，如图，由题意知，2a4，a2，因为CBA4，|BC|2，所
14、以点 C 的坐标为(1，1)，因为点 C 在椭圆上，所以14 1b21，所以 b243，所以 c2a2b244383，c2 63，则椭圆的两个焦点之间的距离为4 63.5已知M 经过双曲线 S：x29 y2161 的一个顶点和一个焦点，圆心 M 在双曲线 S 上，则圆心 M 到原点 O 的距离为()A143 或73B154 或83C133D163解析：选 D.因为M 经过双曲线 S：x29 y2161 的一个顶点和一个焦点，圆心 M 在双曲线 S 上，所以M 不可能过异侧的顶点和焦点，不妨设M 经过双曲线的右顶点和右焦点，则圆心 M 到双曲线的右焦点(5，0)与右顶点(3，0)的距离相等，所以
15、 xM4，代入双曲线方程可得 yM16169 1 4 73，所以|OM|164 732163，故选 D.6设 F 为抛物线 C：y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30的直线交 C 于 A，B 两点，O 为坐标原点，则OAB 的面积为()A3 34B9 38C6332D94解析：选 D.易知直线 AB 的方程为 y 33 x34，与 y23x 联立并消去 x 得 4y212 3y90.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y23 3，y1y294，SOAB12|OF|y1y2|1234（y1y2）24y1y238 27994.故选 D.7已知双曲线x2a2y2121(a0)，以原点
16、为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 4 3，则双曲线的方程为()Ax24 3y24 1Bx24 4y23 1Cx26 y2121Dx24 y2121解析：选 D.根据对称性，不妨设点 A 在第一象限，A(x，y)，则x2y2a2，y2 3a x解得xa212a2，y 2 3a12a2，因为四边形 ABCD 的面积为 4 3，所以 4xy42 3a312a2 4 3，解得 a2，故双曲线的方程为x24 y2121，选 D.8已知圆 C1：(x1)2y22 与圆 C2：x2(yb)22(b0)相交于 A，B 两点，且|AB
17、|2，则 b_解析：由题意知 C1(1，0)，C2(0，b)，半径 r1r2 2，所以线段 AB 和线段 C1C2 相互垂直平分，则|C1C2|2，即 1b24，又 b0，故 b 3.答案：3解析：如图，因为四边形 PAOB 为正方形，且 PA，PB 为圆 O 的切线，所以OAP 是等腰直角三角形，故 a 2b，所以 eca 22.9已知椭圆x2a2y2b21(ab0)，以原点 O 为圆心，短半轴长为半径作圆 O，过椭圆的长轴的一端点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A，B，若四边形 PAOB 为正方形，则椭圆的离心率为_答案：2210已知抛物线 C1：y 12px2(p0)的焦点与双曲线 C2：x23 y21 的右焦点的连线交C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线，则 p_解析：由题意知，经过第一象限的双曲线的渐近线方程为 y 33 x.抛物线的焦点为F10，p2，双曲线的右焦点为 F2(2，0)又 y1px，故抛物线 C1 在点 Mx0，x202p 处的切线的斜率为 33，即1px0 33，所以 x0 33 p，又点 F10，p2，F2(2，0)，M33 p，p6 三点共线，所以p2002p6p233 p0，即 p4 33.答案：4 33本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
