1、2013届高三数学章末综合测试题（12）不等式、推理与证明一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1下列符合三段论推理形式的为()A如果pq，p真，则q真B如果bc，ab，则acC如果ab，bc，则acD如果ab，c0，则acbc解析：由三段论的推理规则可以得到B为三段论. 答案：B2类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各面都是面积相等的三角形，同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等ABCD解析：由类比原理和思想，都是合理
2、、恰当的. 答案：C3用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是()A假设是有理数 B假设是有理数C假设或是有理数 D假设是有理数解析：假设结论的反面成立，不是无理数，则是有理数. 答案：D4已知ai，biR(i1,2,3，n)，a12a22an21，b12b22bn21，则a1b1a2b2anbn的最大值为()A1 B2 Cn D2解析：此结论为“a，b，c，dR，a2b21，c3d21，则acbd1”的推广，类比可得a1b1a2b2anbn1. 答案：A5在下列函数中，最小值是2的是()AyBy(x0)Cysinx，x(0，)Dy7x7x解析：A中x的取值未限制，故无最小值D中，y7x7
3、x7x2，等号成立的条件是x0.B、C选项均找不到等号成立的条件. 答案：D6一元二次不等式ax2bx10的解集为x|1x，则ab的值为()A6 B6 C5 D5解析：ax2bx10的解集是x|1x，1，是方程ax2bx10的两根，ab3(2)6. 答案：B7已知a0，b0，则2的最小值是()A2 B2 C4 D5解析：因为22224，当且仅当，且 ，即ab1时，取“”. 答案：C8在直角坐标系中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是()A(，1) B(1,2)C(，1)(2，) D(2，)解析：先作出的平面区域如图：若k0时，显然不能与阴影部分构成三角形若k0，将阴影部分的点如
4、(0,0)代入yk(x1)1，有0k1，显然不能与阴影部分构成三角形，所以k0；又yk(x1)1是过定点(1，1)的直线，由图知，若与阴影部分构成三角形，则有k10，故k1时，原不等式组能构成三角形区域. 答案：A9如果ab，给出下列不等式，其中成立的是()(1)；(2)a3b3；(3)a21b21; (4)2a2b.A(2)(3) B(1)(3) C(3)(4) D(2)(4)解析：a、b符号不定，故(1)不正确，(3)不正确yx3是增函数，ab时，a3b3，故(2)正确y2x是增函数，ab时，2a2b，故(4)正确. 答案：D10设函数f(x)若f(4)f(0)，f(2)0，则关于x的不等
5、式f(x)1的解集为()A(，31，) B3，1C3，1(0，) D3，)解析：当x0时，f(x)x2bxc且f(4)f(0)，故对称轴为x2，b4.又f(2)48c0，c4，令x24x41有3x1；当x0时，f(x)21显然成立故不等式的解集为3，1(0，). 答案：C11若直线2axby20(a0，b0)平分圆x2y22x4y60，则的最小值是()A2 B.1 C32 D32解析：由x2y22x4y60得(x1)2(y2)211，若2axby20平分圆，2a2b20，ab1，332 32，当且仅当，且ab1，即a2，b1时取等号. 答案：C12某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车
6、站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处C3 km处 D2 km处解析：由题意可设y1，y2k2x，k1xy1，k2，把x10，y12与x10，y28分别代入上式得k120，k20.8，y1，y20.8x(x为仓库到车站的距离)，费用之和yy1y20.8x2 8，当且仅当0.8x，即x5时等号成立，故选A. 答案：A第卷(非选择共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13如下图，对大于或等于2的自然
7、数m的n次幂进行如下方式的“分裂”：仿此，52的“分裂”中最大的数是，53的“分裂”中最小的数是.解析：由已知中“分裂”可得故“52”的“分裂”中最大的数是9,53的“分裂”中最小的数是21.答案：92114由图有面积关系：，则由图有体积关系：_.解析：设三棱锥C-PAB的高为h，15已知等比数列an中，a2a31，则使不等式0成立的最大自然数n是_解析：a2a31，0q1，a11，(a1a2an)0，.因为0q1，所以，化简得：a12，即q4qn1，4n1，n5，所以n的最大值为5.答案：516设实数x，y满足则u的取值范围是_解析：作出x，y满足的可行域如图中阴影部分所示，可得可行域内的点
8、与原点连线的斜率的取值范围是，即，故令t，则ut，根据函数ut在t上单调递增，得u.答案： 三、解答题：本大题共6小题，共70分17(10分)在三角形中有下面的性质：(1)三角形的两边之和大于第三边；(2)三角形的中位线等于第三边的一半；(3)三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形的内心；(4)三角形的面积为S(abc)r(r为三角形内切圆半径，a、b、c为三边长)请类比出四面体的有关相似性质解析：(1)四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的中位面(过三条棱的中点的面)的面积等于第四个面的面积的四分之一；(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体
9、内切球的球心；(4)四面体的体积为V(S1S2S3S4)r(r为四面体内切球的半径，S1、S2、S3、S4为四面体的四个面的面积)18(12分)已知a0，b0，求证ab.解析：(ab)(ab)(ab)(ab)2(ab)，a0，b0，ab.19(12分)为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t0)万元满足x4(k为常数)如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件已知2009年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本
10、包括固定投入和再投入两部分)(1)将该厂家2009年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2009年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？解析：(1)由题意有14，得k3，故x4.y1.5x(612x)t36xt36t27t(t0)(2)由(1)知：y27t27.5.由基本不等式26，当且仅当t，即t2.5时，等号成立，故y27t27.527.5621.5.当t2.5时，y有最大值21.5.所以2009年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大20(12分)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1,2,3，.(1)求a1，a2；(2)猜
11、想数列Sn的通项公式解析：(1)当n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是2a2a20，解得a2.(2)由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，Sn22Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由(1)得S1a1，S2a1a2.由可得S3，由此猜想Sn，n1,2,3，.21(12分)设二次函数f(x)ax2bxc的一个零点是1，且满足f(x)x0恒成立(1)求f(1)的值；(2)求f(x)的解析式；解析：(1)由均值不等式得x，若f(x)x0恒成立，即xf(x
12、)恒成立，令x1得1f(1)1，故f(1)1.(2)由函数零点为1得f(1)0，即abc0，又由(1)知abc1，所以解得acb.又f(x)xax2xcxax2xc，因为f(x)x0恒成立，所以4ac0，因此ac于是a0，c0.再由ac，得ac2故ac，且ac，故f(x)的解析式是f(x)x2x2x.22(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形(1)求出f(5)；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n+1)与f(n)的关系，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式解析：(1)f(1)=1，f(2)=5，f(3)=13，f(4)=25，f(5)=25+44=41.(2)f(2)-f(1)=4=41，f(3)-f(2)=8=42，f(4)-f(3)=12=43，f(5)-f(4)=16=44，由上式规律得出f(n+1)-f(n)=4n.f(n)-f(n-1)=4(n-1)，f(n-1)-f(n-2)=4(n-2)，f(n-2)-f(n-3)=4(n-3)，f(2)-f(1)=41，f(n)-f(1)=4(n-1)+(n-2)+2+1=2(n-1)n，f(n)=2n2-2n+1.
