1、每日一题规范练(第三周)题目1 在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos 2C.(1)求sin C；(2)当c2a，且b3时，求a.解：(1)因为cos 2 C，即12sin2 C.又0C，所以sin C.(2)由(1)知sin C，且ABC是锐角三角形，所以cos C.因为c2a，所以sin Asin C，cos A.所以sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.因为，b3，所以a2.题目2 已知等比数列an的前n项和为Sn，公比q1，且a21为a1，a3的等差中项，S314.(1)求数列an的通项公式；(2)记bnan log2
2、an，求数列bn的前n项和Tn.解：(1)由题意，得2(a21)a1a3.又S3a1a2a314，所以2(a21)14a2，所以a24.因为S344q14，所以q2或q.又q1，所以公比q2.因此ana2qn242n22n.(2)由(1)知an2n，所以bnanlog2ann2n，所以Tn121222323(n1)2n1n2n.所以2Tn122223324(n1)2nn2n1.两式相减得Tn22223242nn2n1n2n1(1n)2n12.故Tn(n1)2n12.题目3 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，且BAD，点M是PC的中点(1)求证：PA平面MDB；
3、(2)设菱形ABCD的边长为a，若PBPD，三棱锥PABD的体积为，求实数a的值(1)证明：连接AC，与BD交于点N，连接MN(如图)，由底面ABCD是菱形，知点N是AC的中点，又点M是PC的中点，所以MNPA.由于MN平面MDB，PA平面MDB，所以PA平面MDB.(2)解：因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又ABAD，所以RtPADRtPAB，所以PBPD.由PBPD，得2PB2BD2，则由菱形ABCD的边长为a，BAD，可得BDa，所以PBa，PAa，所以VP-ABDSABDPAa2aa3，解得a2.题目4 某地区高考实行新方案，规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还
4、必须从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案某学校为了了解高一年级420名学生选考科目的意向，随机选取30名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：性别选考方案确定情况物理化学生物历史地理政治男生选考方案确定的有6个663120选考方案待确定的有8人540121女生选考方案确定的有10个896331选考方案待确定的有6人540011(1)试估计该学校高一
5、年级确定选考生物的学生有多少人？(2)写出选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数(直接写出结果)；(3)从选考方案确定的男生中任选2名，试求出这2名学生选考科目完全相同的概率解：(1)设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为x，因为在选考方案确定的学生中，选生物的频率为，所以估计选择“生物”的概率约为.所以选择生物的人数约为x420126(人)(2)由统计图表知，选考方案确定的男生中选择“物理、化学和地理”的人数有2人(3)设选择物理、生物、化学的学生分别为A1，A2，A3，选择物理、化学、历史的学生为B1，选择物理、化学、地理的学生分别为C1，C2，所以任取2名男生的基本事件
6、有(A1，A2)，(A2，A3)，(A3，B1)，(B1，C1)，(C1，C2)，(A1，A3)，(A2，B1)，(A3，C1)，(B1，C2)，(A1，B1)，(A2，C1)，(A3，C2)，(A1，C1)，(A2，C2)，(A1，C2)共15种结果所以，两名男生选考科目完全相同的基本事件共有4个，分别为(A1，A2)，(A2，A3)，(C1，C2)，(A1，A3)所以，2名学生选考科目完全相同的概率为.题目5 已知椭圆1(ab0)上的点到右焦点F(c，0)的最大距离是1，且1，a，4c成等比数列(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中垂线交x
7、轴于点M(m，0)求实数m的取值范围解：(1)由于1，a，4c成等比数列，所以14c2a2，即a22c.又ac1.联立得a，c1.则b2a2c21.所以椭圆的方程为y21.(2)由题意得F(1，0)，设直线AB的方程为yk(x1)与椭圆方程联立得消去y可得(12k2)x24k2x2k220.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2k(x1x2)2k.可得线段AB的中点为N.当k0时，直线MN为y轴，此时m0.当k0时，直线MN的方程为y(x)，化简得kyx0.令y0，得m.所以m.综上所述，m的取值范围为.题目6 (2019北京东城区质检)已知函数f(x)aln x.(1)当
8、a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在x1处取得极大值，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)当a0时，f(x)，则f(x).令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1.所以函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0，1)(2)f(x).当ae时，若x(1，)，则exaexe0.此时f(x)0，函数f(x)在x1处不可能取得极大值当ae时，ln a1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下：x(0，1)1(1，ln a)f(x)0f(x)极大值函数f(x)在x1处取得极大值综上可知，a的取值范围是(e，)题目7 1.选修44坐标系与参
9、数方程在平面直角坐标系xOy中，射线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位圆C的方程为2sin ，l被圆C截得的弦长为.(1)求实数m的值；(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(m，)，且m0，求|PA|PB|的值解：(1)由2sin ，得x2y22y0，即x2(y)25.直线l的普通方程为xym0，l被圆C截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，解得m3或m3.(2)法1：当m3时，将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得，(3t)2(t)25，即2t23t20.由于(3)24420，设t1，t2是方程2t23t20的两实
10、根所以又直线l过点P(3，)，故由上式及t的几何意义，得|PA|PB|2(|t1|t2|)2(t1t2)3.法2：当m3时点P(3，)，易知点P在直线l上又32()25，所以点P在圆外联立消去y得，x23x20.不妨设A(2，1)、B(1，2)，所以|PA|PB|23.2选修45不等式选讲已知f(x)2|x1|2x1|.(1)若f(x)f(1)，求实数x的取值范围；(2)f(x)(m0，n0)对任意的xR都成立，求证：mn.(1)解：由f(x)f(1)得2|x1|2x1|5.当x时，2(x1)(2x1)5，得x1；当1x时，2(x1)(2x1)5，得35，不成立；当x1时，2(x1)(2x1)5，得x.综上，所求的x的取值范围是(1，)(2)证明：因为2|x1|2x1|2x2|2x1|(2x2)(2x1)|3，所以3.因为m0，n0时，2，所以23，得，所以mn2.
