1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。9.2.3向量的数量积第1课时向量的数量积(1)1向量的数量积条件两个非零向量a与b，它们的夹角是结论把数量|a|b|cos 叫作向量a和b的数量积(或内积)记法记作ab，即ab|a|b|cos 规定零向量与任一向量的数量积为02.投影与投影向量(1)变换：变换图示设a，b是两个非零向量，a，b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到(2)结论：称上述变换为向量a向向量b投影，叫作向量a在向量b上的投影向量(3)计算：设与b方向相同的单位向量
2、为e，a与b的夹角为，则向量a在向量b上的投影向量为cose3向量数量积的性质(1)条件：设a，b是非零向量，它们的夹角是，e是与b方向相同的单位向量(2)性质：aeeacos abab0当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|特别地，aa|a|2或|a|.|ab|a|b|4向量数量积的运算律(1)abba(2)(a)b(ab)a(b)(3)(ab)cacbc1若ab0，则a与b的夹角的取值范围是()A B C D【解析】选A.因为ab0，所以cos 0.又0，所以0.2已知正方形ABCD的边长为2，则()()A2 B3 C4 D3【解析】选C.因为四边形ABCD 为正方
3、形，所以|cos 45224.3已知向量a，b满足ab，|a|1，|b|1，则|a2b|_.【解析】因为ab，所以ab0，所以|a2b|2a24ab4b25，所以|a2b|.答案：4已知向量a，b满足(a2b)(ab)6，且|a|1，|b|2，则a与b的夹角为_【解析】设a与b的夹角为，依题意有(a2b)(ab)a2ab2b272cos 6，所以cos ，因为0，故.答案：5已知3，e为单位向量，当向量a，e的夹角分别等于60，90，120时，求向量a在向量e上的投影向量【解析】当60时，向量a在向量e上的投影向量为cos e3cos 60ee.当90时，向量a在向量e上的投影向量为cos e
4、 3cos 90e0.当120时，向量a在向量e上的投影向量为cos e 3cos 120ee.一、单选题1已知单位向量a，b满足|b2a|，则ab()A B2 C D2【解析】选C.因为|a|b|1，|b2a|，两边同时平方得，b24a24ab3，故ab.2已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3ab|()A B C D13【解析】选C.根据题意，a，b均为单位向量，它们的夹角为60，则ab，则|3ab|.3若向量a，b满足|a|2，(a2b)a6，则b在a方向上的投影为()A1 B C D1【解析】选B.因为|a|2，所以(a2b)aa22ab42ab6，所以ab1，所以b在a方
5、向上的投影为.4等边三角形ABC中，与的夹角为()A60 B60 C120 D150【解析】选C.延长AB到D，则CBD为与的夹角，所以与的夹角为120.5对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A(ab)2|ab|2 B(ab)(ab)a2b2C|ab|a|b| D|ab|a|b|【解析】选D.因为a2|a|2，所以(ab)2|ab|2正确，所以A正确不符合题意；(ab)(ab)a2b2，满足向量的运算法则，所以B正确不符合题意；|ab|a|b|cos a，b|a|b|，所以C正确不符合题意；如果两个向量是相反向量，|ab|a|b|不正确，所以D不正确，符合题意6已知m0，向量a(m，
6、n)，b(2，m)，若|ab|ab|，则实数n()A B C2 D2【解析】选D.因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，化简得ab0，所以2mmn0，因为m0，所以n2.二、填空题7设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若ae13e2，b2e1，记向量a在向量b上的投影向量为xe1ye2，则x_，y_【解析】由投影向量的定义可知：向量a在向量b上的投影向量与向量b共线，故y0，又ab(e13e2)2e12e126e1e2265，故x|a|cos a，b5.答案：08四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且OB2OD，AC2，过点D作DEAC，垂足为E，若6，则四边形A
7、BCD的面积为_【解析】因为OB2OD，所以3，则36，所以2，又因为DEAC，所以|22，得|，所以SDACACDE2，又SBAC2SDAC2，所以四边形ABCD的面积为23.答案：39在等腰直角ABC中，C90，AB，则_；_【解析】由题意知ACBC1，|cos 4511；|cos 13511.答案：1110.如图，正六边形ABCDEF的边长为1，记a，从点A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为向量b的起点和终点，则ab的最大值为_【解析】可看出从点A，B，C，D，E，F这六点中任取两点为向量b的起点和终点构成的b中，cos ，1最大，且|2，所以ab的最大值为2.答案：2三、解答题11
8、已知ABC中，a，b，当ab满足下列哪个条件时，能确定ABC的形状？如能确定，指出三角形的形状，如不能确定，请说明理由ab0；ab0；ab0.【解析】因为ab|a|b|cos BAC，ab0，可得cos BAC0，所以BAC90，ABC的形状能确定，是钝角三角形；ab0，可得cos BAC0，所以BAC90，ABC的形状能确定，是直角三角形；ab0，可得cos BAC0，所以BAC90，但不能确定ABC的形状12如图所示，已知各单元格都是边长为1的正方形，求出以下向量的数量积(1)ba；(2)ca；(3)da.【解析】(1)由题图可知|a|1，|b|，b，a，所以ba|b|a|cos 11.(
9、2)由题图可知，ca0.(3)由题图可知，向量d在向量a上的投影的数量为1，且a为单位向量，因此根据向量数量积的几何意义可知da1.一、选择题1已知向量a，b满足|a|，|b|2，ab3，则a与b的夹角是()A150 B120 C60 D30【解析】选B.设a与b的夹角为，则cos ，因为0180，所以120.2已知等边ABC的边长为2，则向量在向量方向上的投影向量为()A BC2 D2【解析】选A.在等边ABC中，因为A60，所以向量在向量方向上的投影向量为，所以向量在向量方向上的投影向量为.3若向量a，b，c均为单位向量，且ab，则|abc|的最小值为()A1B1C1D【解析】选A.因为a
10、，b，c均为单位向量，且ab，所以ab0，所以|ab|，所以|abc|ab|c|1.4(多选)设a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共线，则有()A(ab)c(ca)b0B|a|b|ab| C(bc)a(ca)b不与c垂直 D(3a2b)(3a2b)9|a|24|b|2【解析】选BD.abR，caR.而a，b，c是非零向量且互不共线，故cb0 ，A错；因为|a|b|ab|，B对；因为(bc)a(ca)bc0，故应为垂直，C错；根据数量积运算律可判定，D对二、填空题5如图，在ABC中，的夹角与，的夹角的关系为_【解析】根据向量夹角定义可知向量，夹角为BAC，而向量，夹角为BAC，故二者互补答
11、案：互补6已知|a|3，|b|5，且a与b的夹角为45，则向量a在向量b上的投影向量为_【解析】由已知得向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos )3b.答案：b7已知ABC中， AB4，BC2，4，则向量与的夹角为_， 向量与的夹角为_【解析】在ABC中，因为AB4，BC2，4，设，夹角为，所以|cos 4，得42cos (B)4，所以cos B，得B60.如图，延长BC到D，使CDBC，则ABD为等边三角形，所以ACBC，BAC30，所以向量与的夹角为90，与的夹角为150.答案：901508如图，AB是圆C的弦，设a，b，则向量在向量上的投影向量为_(用a或b表示).【解析】如图所示，
12、过点C作CDAB，垂足为D，连接CB，则向量在向量上的投影向量为.因为CACB，所以D是AB的中点，所以.答案：三、解答题9已知|a|2|b|2，且向量a在向量b方向上的投影数量为1.(1)求a与b的夹角；(2)求(a2b)b；(3)当为何值时，向量ab与向量a3b互相垂直？【解析】(1)因为|a|2|b|2，所以|a|2，|b|1.又a在b方向上的投影数量为|a|cos 1，所以ab|a|b|cos 1，所以cos ，所以.(2)(a2b)bab2b2123.(3)因为ab与a3b互相垂直，所以(ab)(a3b)a23abba3b20，所以4313740，所以.10已知向量a，b满足|a|b|1，且 |kab|akb|(kR)，(1)求ab关于k的解析式f(k)；(2)若ab且方向相同，试求k的值【解析】(1)因为|a|b|1，且|kab|akb|(kR)，两边同时平方可得：k22kab3，所以k22kab136kab3k2，8kab2k22，所以ab(k)，kR，所以f(k)(k)，kR.(2)因为ab且方向相同，|a|b|，所以将ab代入ab(k)，可得1，解得k2.关闭Word文档返回原板块15
