1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第5课时平面的斜线【概念认知】1距离(1)点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离(2)直线到平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离2直线与平面所成的角【自我小测】1平面内的MON60，PO是的斜线，PO3，POMPON45，那么点P到平面的距离是()A B C D【解析】选A.cos POMcos POHcos MOH，所以cos POH.所以cos POH.
2、所以sin POH，所以PHPOsin POH3.2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角为()A.30 B45 C60 D135【解析】选B.在正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1平面A1B1C1D1，BC1在平面A1B1C1D1中的射影为B1C1，所以BC1B1即为直线BC1与平面A1B1C1D1所成的角，在等腰直角三角形BB1C1中，BC1B145.3若斜线段AB的长是它在平面上的射影长的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45 C30 D120【解析】选A.斜线段、垂线段以及射影构成直角三角形，如图所示，ABO即是斜线AB与平面
3、所成的角，因为AB2BO，所以cos ABO，所以ABO60.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，体对角线AC1与面ABCD所成角的正弦值为_【解析】易知CAC1就是AC1与面ABCD所成角，设正方体的棱长为1，则AC1，在直角三角形CAC1中，sin CAC1.答案：5如图，在三棱锥SABC中，SA底面ABC，SA4，AB3，D为AB的中点，ABC90，则点D到平面SBC的距离为_【解析】如图，过点D作DESB于点E，因为SA底面ABC，且BC平面ABC，所以BCSA，因为ABC90，所以BCAB，因为SAABA，所以BC平面SAB，所以平面SBC平面SAB，SB为交线因为DESB，所以D
4、E平面SBC，则DE的长即为所求，在RtABS中，sin SBA，在RtDBE中，DEBD sin EBD3.答案：6如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1B1CD所成的角【解析】连接BC1交B1C于点O，连接A1O，如图设正方体的棱长为a，因为A1B1B1C1，A1B1B1B，所以A1B1平面BCC1B1，又BC1平面BCC1B1.所以A1B1BC1，又因为BC1B1C，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD.所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影BA1O为直线A1B与平面A1B1CD所成的角在RtA1BO中，A1Ba，BOa，所以BOA1B，
5、BA1O30.因此，直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30.【基础全面练】一、单选题1在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，侧棱长为a，则点P到平面ABC的距离为()Aa Ba Ca Da【解析】选C.作PH平面ABC于H，连接CH并延长，交AB于D，连接PD，由PHCDPCPD，求得PHa.2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G(01)，则点G到平面D1EF的距离为()A B C D【解析】选D.A1B1面D1EF，所以G到面D1EF的距离为A1到面D1EF的距离在A1D1E中，过A1作A1HD1E交D1
6、E于H，显然A1H面D1EF，则A1H即为所求，在RtA1D1E中，A1H.3正四面体ABCD的棱长为a，E是AD的中点，则点D到平面BCE的距离是()A B C Da【解析】选B.由题意在正四面体ABCD中，ABD，ACD均为正三角形所以BEAD，CEAD，因为BECEE，所以AD平面BCE，则DE的长即为所求，DE.4如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点，则点M到平面A1B1D的距离为()A. B C D【解析】选A.连接B1C，过点M作MEB1C于点E，因为A1DB1C，所以A1，D，B1，C四点确定一个平面，所以平面A1B1D即为平面A1B1CD.在正方
7、体ABCDA1B1C1D1中，DC平面BCC1B1，ME平面BCC1B1，所以MEDC，因为MEB1C，所以ME平面A1B1CD，则ME的长即为所求在RtCEM中，CM，ECM45，所以ME.5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()A B C D【解析】选B.取B1D的中点O，连结EO(图略)，则EOAC，因为AC平面B1BD，所以EO平面B1BD，则EBO就是直线BE与平面B1BD所成角的平面角，所以sin EBO.6如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA11，则点C到平面ABC1的距离为()A. B C D【解析】选C.
8、如图，取AB的中点E，连接CE，C1E，过点C作CFC1E，在正三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，则ABCC1，因为ABC是等边三角形，所以ABCE，又CECC1C，所以AB平面CC1E，因为CF平面CC1E，所以CFAB，所以CF平面ABC1，则CF的长即为所求在RtCEC1中，CC11，CEAB，所以C1E，由等面积得CF.二、多选题7已知平面外两点A，B到平面的距离分别是2和4，则A，B的中点P到平面的距离可能是()A1 B2 C3 D4 【解析】选AC.若A，B在同侧，如图，则P到的距离为3；若A，B在异侧，如图，则P到的距离为POOO321.8如图，四棱锥SABCD的底面
9、是正方形，SD底面ABCD，则在下列说法中，正确的是()A.ACSBBAB平面SCDCSA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角DACSO【解析】选ABCD.连接SO，如图所示：因为四棱锥SABCD的底面是正方形，所以ACBD，因为SD底面ABCD，所以SDAC，因为BDSDD，所以AC平面SBD，因为SB平面SBD，所以ACSB，则A正确；因为ABCD，AB平面SCD，则B正确；因为SD底面ABCD，所以SAD和SCD分别是SA与平面ABD所成的角、SC与平面ABD所成的角，因为ADCD，SDSD，所以SADSCD，则C正确；因为AC平面SBD，SO平面SBD，所以ACSO，则D正
10、确三、填空题9如图，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，PAAB，则直线PB与平面ABC所成的角等于_【解析】因为PA平面ABC，所以PBA为PB与平面ABC所成的角，又PAAB，所以PBA45.答案：4510如图所示，在ABC中，ACB90，AB8，BAC60，PC平面ABC，PC4，M为AC边上的一个动点，则PM的最小值为_【解析】作CHAB交AB于H，连接PH.因为PC平面ABC，所以PHAB，则当点M在H处时，PH最小因为AC8cos 604，所以CH4sin 602，所以PH2，即PM的最小值为2.答案：2四、解答题11如图所示，在棱长均为a的正三棱柱中，D为AB中点，连接A1D，D
11、C，A1C.(1)求证：BC1平面A1DC；(2)求BC1到平面A1DC的距离【解析】(1)如图所示，连接AC1交A1C于E，连接DE，则DEBC1，而DE平面A1DC，BC1平面A1DC，所以BC1平面A1DC.(2)由(1)知BC1平面A1DC，所以BC1上任一点到平面A1DC的距离等于BC1到平面A1DC的距离所以求C1到平面A1DC的距离即可因为平面A1DC过线段AC1的中点，所以A到平面A1DC的距离等于C1到平面A1DC的距离由题意知CDAB，CDAA1，ABAA1A，所以CD平面ABB1A1.过A作平面A1DC的垂线，垂足H在A1D上在RtA1AD中，A1AADA1DAH，解得A
12、Ha，即BC1到平面A1DC的距离为a.12如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，ACBCCC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点(1)求证：MN平面A1BC；(2)求直线BC1与平面A1BC所成的角的大小【思路导引】(1)连接AC1证明AC1平面A1BC. 连接AB1，再证明MN平面A1BC.(2)连接BD，则C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角【解析】(1)如图所示，由已知BCAC，BCCC1，ACCC1C得，BC平面ACC1A1.连接AC1，则BCAC1.由已知，可知侧面ACC1A1是正方形，所以A1CAC1.又BCA1CC，所以AC1平面A1BC.因为侧面ABB1
13、A1是矩形，M是A1B的中点，连接AB1，则点M是AB1的中点又点N是B1C1的中点，则MN是AB1C1的中位线，所以MNAC1.故MN平面A1BC.(2)因为AC1平面A1BC，设AC1与A1C相交于点D，连接BD，则C1BD为直线BC1与平面A1BC所成的角设ACBCCC1a，则C1Da，BC1a.在RtBDC1中，sin C1BD，所以C1BD30，故直线BC1与平面A1BC所成的角为30.【综合突破练】一、选择题1在正三棱锥SABC中，底面是边长等于2的等边三角形，侧棱SA4，则侧棱与底面所成的角为()A60 B45 C30 D75【解析】选A.如下图所示：设点S在底面ABC的射影点为
14、点O，连接SO，AO，则AO为ABC的外接圆半径，由正弦定理可得2AO4，则AO2，因为SO平面ABC，AO平面ABC，所以SOAO，所以SO2，设该正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，则sin ，因为090，因此60.2在四面体ABCD中，已知ABAC，BDAC，那么点D在平面ABC上的射影H必在()A直线AB上 B直线BC上C直线AC上 DABC内部【解析】选A.在四面体ABCD中，因为ABAC，BDAC，ABBDB，所以AC平面ABD，又AC平面ABC，所以平面ABC平面ABD，又平面ABC平面ABD直线AB，故点D在平面ABC上的射影H必在直线AB上3已知平面平面，直线m，直线n，点Am，
15、点Bn，记点A，B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则()Abca BacbCcab Dcba【解析】选D.如图：，考虑m，n异面时，m和n的距离等于，间的距离，点A到n的距离为：过A作AO于O，过O作OCn于C，则AC为A点到直线n的距离，显然，此时cba.4(多选)半正多面体(semiregularsolid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成(如图所示)，若它的所有棱长都为，则()A.BF平面EABB该二十四等边体的体积为C该二
16、十四等边体外接球的表面积为8DPN与平面EBFN所成角的正弦值为【解析】选BCD.对于A，假设A对，即BF平面EAB，于是BFAB，ABF90，但六边形ABFPQH为正六边形，ABF120，矛盾，所以A错；对于B，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为238111，所以B对；对于C，取正方形ACPM对角线交点O，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R，其表面积为4R28，所以C对；对于D，因为PN在平面EBFN内射影为NS，所以PN与平面EBFN所成角即为PNS，其正弦值为，所以D对二、填空题5下列说法：平面的斜线与平面所成的角的取值范围是；直线与平面所成的角的取值范围是
17、；若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等其中正确的是_(填序号).【解析】应为；中这两条直线可能平行，也可能相交或异面答案：6如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面是边长为2的菱形，且ABC45，PAAB，则直线AP与平面PBC所成角的正切值为_【解析】作AEBC于点E，连接PE，则BC平面PAE，可知点A在平面PBC上的射影在直线PE上，故APE为所求的角AEAB sin 45，所以tan APE.答案：7已知正方形ABCD的边长为1，线段PA垂直于平面ABCD，且PA1，则点P到点C的距离为_【解析】如图，
18、连接AC，则AC.又PA平面ABCD，AC平面ABCD.所以PAAC，又PA1，所以在RtPAC中，PC.答案：8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB1与平面ADD1A1所成的角等于_，AB1与平面DCC1D1所成的角等于_【解析】B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角，即45；AB1与平面DCC1D1平行，即所成的角为0.答案：450三、解答题9如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，E，F分别为CC1，DD1的中点(1)求证：A1F平面BEF；(2)求直线A1B与平面BEF所成的角的正弦值【解析】(1)连接AF.因为E，F分别为CC1，DD1的中点
19、，所以EFAB且EFAB，所以四边形ABEF为平行四边形又在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB平面AA1D1D，A1F平面AA1D1D，所以ABA1F，所以EFA1F.由已知得AF，A1F，AA12，所以A1F2AF2AA，所以AFA1F.又AFEFF，所以A1F平面ABEF，即A1F平面BEF.(2)因为A1F平面BEF.所以A1B在平面BEF上的射影为BF，所以A1BF为直线A1B与平面BEF所成的角由已知得A1F，A1B，所以sin A1BF，即A1B与平面BEF所成角的正弦值为.10如图，已知AB是圆O的直径，C为圆上一点，AB2，AC1，P为O所在平面外一点，且PA垂直于O所在平面，PB与平面ABC所成的角为45.(1)求证：BC平面PAC；(2)求点A到平面PBC的距离【解析】(1)因为PA平面ABC，所以PABC.因为AB是O的直径，C为圆上一点，所以BCAC.又因为PAACA，PA，AC平面PAC，所以BC平面PAC.(2)如图，过点A作ADPC于点D，因为BC平面PAC，AD平面PAC，所以BCAD，所以AD平面PBC，所以AD即为点A到平面PBC的距离因为PBA为PB与平面ABC所成的角，即PBA45，所以PAAB2，AC1，可得PC.因为ADPCPAAC，所以AD，即点A到平面PBC的距离为.关闭Word文档返回原板块23
