1、新课 人教 A 版选修 2-13.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算3.1.3 空间向量的数量积运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示新课3.1.5 空间向量运算的坐标表示3.1.2 空间向量的数乘运算3.1 空间向量及其运算 新课 平面几何空间向量运算 知识结构体系 平面向量向量运算 类比 立体几何向量应用 应用 重点:向量的数乘运算、共线向量定理和共面向量定理.难点:空间直线、空间平面的向量参数方程及其应用，会利用共线向量定理和共面向量定理及它们的推论证明空间三点共线与四点共面问题.关键:把平面向量的概念、表示、运算及运算律通过类比推广到空间向量,重点突出类
2、比的思想方法.汕头一中数学组杨小丽汕头一中数学组杨小丽从建筑物上找向量的影子新课 汕头一中数学组杨小丽复习回顾：一、平面向量：1、相关概念定义：既有大小又有方向的量.几何表示法:用有向线段表示.字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.相等向量：长度相等且方向相同的向量.ABCD一、平面向量：2、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba (k0)ka (k 0)ka (k 0)k空间向量的数乘空间向量的加减法新课：一、空间向量的数乘运算及运算律实数 与空间向量 a 的积是一个向量，记作 a，并规
3、定：a 的长度|a|=|a|；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相同；当 0 时，a 的方向与 a 的方向相反；当 0 时，a=01、定义：设、为实数，则 (a )=()a；(+)a=a+a；(a+b)=a+b.2、运算律：()aaa平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零 bkakbak)()()(cbacbaabba交换律结合律数乘分配律abba交换律bkakbak)(数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零 结合律新课：
4、一、空间向量的数乘运算及运算律)()(cbacba()()aa1.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：ABCDA1B1C1D1111(1)(2)1(3)21(4)()3ABBCABADAAABADCCABADAA P课本 97习题 3.1 A 组第 1 题例题:ABCDA1B1C1D1GM始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量.1.如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：111(1)(2)1(3)21(4)()3ABBCABA
5、DAAABADCCABADAA P课本 97习题 3.1 A 组第 1 题例题:P课本 85 探究 ABCDDCBA)()1(CCBCABxACADyABxAAAE)2(2.如图,已知正方体 ABCD-ABCD,点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心.求下列各式中 x、y 的值:E例题:P课本 89 练习第 2 题(3)AFADxAByAAFABCDDCBA)()1(CCBCABxAC1x 2.如图,已知正方体 ABCD-ABCD,点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心.求下列各式中 x、y 的值:例题:P课本 89 练习第 2 题ABCDDCBAEADyABxAA
6、AE)2(2.如图,已知正方体 ABCD-ABCD,点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心.求下列各式中 x、y 的值:例题:P课本 89 练习第 2 题ABCDDCBAEADyABxAAAE)2(12xy2.如图,已知正方体 ABCD-ABCD,点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心.求下列各式中 x、y 的值:例题:P课本 89 练习第 2 题ABCDDCBA12xy2.如图,已知正方体 ABCD-ABCD,点 E、F 分别是上底面 AC 和侧面 CD 的中心.求下列各式中 x、y 的值:例题:P课本 89 练习第 2 题F(3)AFADxAByAAbabOAB
7、a结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示；凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.1.下列说法正确的是()A.平面内的任意两个向量都共线;B.空间的任意三个向量都不共面;C.空间的任意两个向量都共面;D.空间的任意三个向量都共面.练习:CababOABb思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示；凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.不唯一.规定:零向量与任意向量共线.1.共线向量的定义:如果表示空间向量的有
8、向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作:./ab二、共线向量2.共线向量定理:对空间任意两个向量(),的充要条件是存在唯一实数 ,使.ab、/ab0b ab或 对空间任意两个向量 (),的充要条件是存在唯一实数 ,使.ab、/ab0a ba注意:ABCD/ABCD/,ABCDCAB/ABCD/ABCD二、共线向量1.共线向量的定义:3.共线向量定理的推论:如果直线 l 为经过已知点 A 且平行已知非零向量的直线,那么,对空间任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一实数 t,使,其中向量叫做直线 l 的方向向量.在 l 上取,则,aOPOA t
9、aaOAPalOOABaOPOAt AB、称为空间直线 l 的向量表示式.B空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一确定.注意:二、共线向量3.共线向量定理的推论:如果直线 l 为经过已知点 A 且平行已知非零向量的直线,那么,对空间任意一点 O,点 P 在直线 l 上的充要条件是存在唯一实数 t,使,其中向量叫做直线 l 的方向向量.在 l 上取,则,aOPOA t aaOAPalABaOPOAt AB、称为空间直线的向量表示式.B,ABOBOA()OPOA t OBOA(1)t OAt OB 点 P、A、B 共线.OPOA t aOAPalOPOAt AB4.空间直线的向量表示式:B(1
10、)OPt OAt OBOPx OAy OB或 1xy,其中.2.对于空间任意一点 O，下列命题正确的是()A.若 ，则 P、A、B 共线;B.若 ，则 P 是 AB 的中点;C.若 ，则 P、A、B 不共线;D.若 ，则 P、A、B 共线.OPOAt AB3OPOAABOPOAt AB OPOAAB练习:AOPOA t aOAPalOPOAt AB4.空间直线的向量表示式:B(1)OPt OAt OBOPx OAy OB或 1xy,其中.练习:3.若对空间任意一点 O，且 ，则 x+y=1 是P、A、B三点共线的()A.充分不必要条件;B.必要不充分条件;C.充要条件;D.既不充分也不必要条件
11、.OPxOAyABDOPOA t aOAPalOPOAt AB4.空间直线的向量表示式:B(1)OPt OAt OBOPx OAy OB或 1xy,其中.若 P 为 A、B 中点,则.12OPOAOB练习:4.已知 A、B、P 三点共线，O 为空间任意一点，且 ，则 的值是 _.OPOAOB15.线段中点的向量公式:1.共面向量的定义:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面.三、共面向量平面向量的基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使1e2ea121122a=e+e我们
12、把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.1e2e同一平面可以有不同的基底.如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组(x，y，z)，使.abc、2.空间向量的基本定理及其推论:ppx ay bz cABDCOabccBCaBDbAB/,/,/pOBBAOCODOEx ay bz cEp1.共面向量的定义:三、共面向量任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底，零向量的表示唯一.如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组(x，y，z)，使.abc、2.空间向量的基本定理及其推论:ppx ay bz c注意:推论:设 O、A、B、C 是不共
13、面的四点,则对空间任一点 P，存在一个唯一的有序实数组(x，y，z)，使.OPx OAy OBz OCP课本 93注：空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.,a b c叫做空间的一个基底.,a b c 叫做基向量.P课本 94 练习第 1、2 题三、共面向量1.共面向量的定义:OABCMNP例题:3.如图,已知 M、N 分别是四面体 OABC 的边 OA、BC 的中点，P、Q 是 MN 的三等分点，用基底表示和.,OA OB OCOPOQQP课本 94 例4111633OPOAOBOC111366OQOAOBOC3.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在唯
14、一的有序实数对(x,y),使.pxaybOMabABAPpab、pab、三、共面向量2.空间向量的基本定理及其推论:1.共面向量的定义:空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使;或对空间任意一点 O,有.APxAByACOPOAxAByAC4.共面向量定理的推论:称为空间平面 ABC 的向量表示式.空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.注意:3.共面向量定理:三、共面向量2.空间向量的基本定理及其推论:1.共面向量的定义:对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C，试问满足向量关系式（其中 ）的四点 P、A、B、C 是否共面？OPxOAy
15、OBzOC1xyz思考:P课本 88 思考?第 2 问OPxOAyOBzOC分析:yzOAy OBz OC(1-)1xyz1 xyz()OAy OBOAz OCOA(-)OAy ABz ACOPOAy ABz ACAPy ABz AC P、A、B、C 四点共面.kOCkOA4.如图，已知平行四边形 ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量 ,.求证：E、F、G、H 四点共面；OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD例题:P课本 88 例 1HEFGDABCO证明：(1)四边形 ABCD 为平行四边形,ACABAD（）EGOGOE()k OCOAkAC()k ABAD()k OBOAODOAO
16、FOEOHOE E、F、G、H 四点共面.EFEH例题:P课本 88 例 1HEFGDABCO4.如图，已知平行四边形 ABCD，从平面 AC 外一点 O 引向量 ,.求证：平面 EG/平面 AC.OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD证明：(2)EFOFOEkOBkOA()k OBOAkAB由(1)可知,EGkAC/,EFAB/EFAB，,EAB/EGAC，,EAC/,EGAC,ACACABACACABA平面，平面，,EGEGEFEGEFEGE平面，平面，平面 EG/平面 AC.四、本节小结一、空间向量的数乘运算及运算律1、定义：2、运算律：1.共线向量的定义:二、共线向量3.共线向量定理
17、的推论:5.线段中点的向量公式：3.共面向量定理:三、共面向量2.空间向量的基本定理及其推论:1.共面向量的定义:4.共面向量定理的推论:结束 2.共线向量定理:4.空间直线的向量表示式：P课本 94练习第 3 题P课本117 复习参考题A 组第 1、2 题五、作业布置P课本 86 练习第 3 题P课本 89 练习第 1、3 题P课本 97-98习题 3.1 A 组第 2、11 题结束 B(1)1(2)()21(3)()2ABBCCDABBDBCAFABACAECFD练习:5.如图,已知空间四边形 ABCD，连结 AC、BD,E、F 分别是BC、CD 的中点.化简下列各表达式，并标出化简结果的
18、向量：P课本 89 练习第 1 题结束 ABECFD(1)1(2)()21(3)()2ABBCCDABBDBCAFABAC练习:P课本 89 练习第 1 题5.如图,已知空间四边形 ABCD，连结 AC、BD,E、F 分别是BC、CD 的中点.化简下列各表达式，并标出化简结果的向量：结束 ABECFD(1)1(2)()21(3)()2ABBCCDABBDBCAFABAC练习:P课本 89 练习第 1 题5.如图,已知空间四边形 ABCD，连结 AC、BD,E、F 分别是BC、CD 的中点.化简下列各表达式，并标出化简结果的向量：结束 BACOA/B/C/O/Gabc参考答案：/(1)OBabc
19、 P课本 94 练习第 3 题/BAbc /CAabc11(2).22OGabc练习:结束 6.已知 A、B、M三点不共线，对于平面 ABM 外的任一点 O，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M 一定共面？空间四点 P、M、A、B 共面(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，存在唯一的有序实数对(x,y),使;APxAByAC分析:共面 不共面(1)3OBOMOPOA(2)4OPOAOBOM练习:结束 7.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点 P 是否与 A、B、C共面？练习:共面 不共面 空间四点 P、M、A、B 共面(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，
20、存在唯一的有序实数对(x,y),使;APxAByAC分析:212(1);555OPOAOBOC(2)22OPOAOBOC；结束 8.下列命题中,正确的有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个练习:D(1)pxaybpab 与、共面;(2)pabpxayb与、共面；(3)MPxMAyMBPMAB、共面；(4)PMABMPxMAyMB、共面；结束 9.对于空间中的三个向量 ,它们一定是()A.共面向量;B.共线向量;C.不共面向量;D.既不共线又不共面向量.10.已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点 O，有则 x 的值为()练习:ADOMxOAOBOC11331.1.0.3.3ABCD2MAMBMAMB、结束
