1、第二节直线的交点与距离公式最新考纲考情分析1.能根据直线的方程判断两条直线的位置关系2能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标3掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离.1.高考对本节内容的考查主要涉及两点间的距离和点到直线的距离2常与圆、椭圆、双曲线、抛物线交汇考查，有时也会命制新定义题目3题型以选择题、填空题为主，属于中低档题.知识点一 两条直线平行与垂直的判定知识点二 两条直线的交点知识点三 三种距离点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先将直线方程化为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将直线方程化为一般式且x，y的系数对应相
2、等1思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若两条直线的方程组成的方程组有解，则两条直线相交()(2)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(3)直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离()(5)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()解析：(1)当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷多个解，则两条直线重合(2)应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式，即点P到直线的距离为.(3)因
3、为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长，即点到直线的距离(4)两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长，即两条直线上各取一点的最短距离(5)根据对称性可知直线AB与直线l垂直且直线l平分线段AB，所以直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上2小题热身(1)已知直线(k3)x(4k)y10与2(k3)x2y30平行，那么k的值为(C)A1或3 B1或5C3或5 D1或2解析：法1：把k1代入已知两条直线，得2x3y10与4x2y30，此时两条直线的斜率不相等，所以两条直线不平行，所以k1，排除A，B，D.法2：因已知两条直线平行，所以k3或解得k3或k5.(2)直线ax2y10与直
4、线2x3y10垂直，则a的值为(D)A3 BC2 D3解析：由2a2(3)0，得a3.(3)直线2xy10，yx1，yax2交于一点，则a的值为.解析：由得代入yax2得a.(4)点(a，b)关于直线xy10的对称点是(b1，a1)解析：设对称点的坐标为(x0，y0)，则即解之得即对称点坐标为(b1，a1)(5)直线2x2y10，xy20之间的距离是.解析：先将2x2y10化为xy0，则两平行线间的距离为d.考点一两条直线的平行与垂直问题【例1】(1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()A1 B2C0或2 D1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2
5、：ax2y0，若l1l2，则a_.【解析】(1)若a0，两直线方程分别为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0；当a0时，两直线平行，则有，解得a1或2.(2)因为l1l2，所以k1k21.即(1)1，解得a2.【答案】(1)D(2)2方法技巧(1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.(2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.1若直线l1：(a1)xy10和直线l2：3xay20垂直，则实数a的值为(D)A. B. C
6、. D.解析：由已知得3(a1)a0，解得a.2已知a，b为正数，且直线axby60与直线2x(b3)y50平行，则2a3b的最小值为25.解析：由两直线平行可得，a(b3)2b，即2b3aab，1.又a，b为正数，所以2a3b(2a3b)1313225，当且仅当ab5时取等号，故2a3b的最小值为25.考点二两直线的交点与距离问题【例2】(1)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_(2)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_(3)若两平行直线3x2y10,6xayc0之间的距离为，则c的值是_【
7、解析】(1)先解方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.(2)由题意得，点P到直线的距离为.又3，即|153a|15，解之得0a10，所以a的取值范围是0,10(3)依题意知，解得a4，c2，即直线6xayc0可化为3x2y0，又两平行线之间距离为，所以，解得c2或6.【答案】(1)5x3y10(2)0,10(3)2或6方法技巧1.求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程2利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距
8、离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等1若直线l与两直线y1，xy70分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，1)，则直线l的斜率是(A)A BC D解析：由题意，设直线l的方程为yk(x1)1，分别与y1，xy70联立解得M，N.又因为MN的中点是P(1，1)，所以由中点坐标公式得k.2若P，Q分别为直线3x4y120与6x8y50上任意一点，则|PQ|的最小值为(C)A. B.C. D.解析：因为，所以两直线平行，将直线3x4y120化为6x8y240，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所
9、以|PQ|的最小值为.3(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，P是曲线yx(x0)上的一个动点，则点P到直线xy0的距离的最小值是4.解析：解法1：设P(x，x)，x0，则点P到直线xy0的距离d4，当且仅当2x，即x时取等号，故点P到直线xy0的距离的最小值是4.解法2：由yx(x0)得y1，令11，得x，则当点P的坐标为(，3)时，点P到直线xy0的距离最小，最小值为4.考点三对称问题命题方向1 点关于点对称【例3】(1)点M(m，1)关于点N(2，n)的对称点为P(4，5)，则()Am3，n8 Bm3，n8Cm3，n8 Dm8，n3(2)直线x2y30关于定点M(2,1)对称的直线
10、方程是_【解析】(1)因为点M，P关于点N对称，所以由中点坐标公式可知2，即m8，n3，故选D.(2)方法1：设对称的直线上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点M(2,1)对称的点的坐标为(4x,2y)(4x,2y)在直线x2y30上，(4x)2(2y)30，即x2y110.方法2：根据对称性知对称直线与已知直线平行，因此可设对称直线的方程为x2y0(3)，则点M到两条直线的距离相等，即，解得11，所以所求的直线方程为x2y110.【答案】(1)D(2)x2y110命题方向2 点关于线对称【例4】如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，
11、最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A3 B6C2 D2【解析】直线AB的方程为xy4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线经过的路程为|CD|2.【答案】C命题方向3 直线关于直线对称【例5】直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是_【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由得由点P(x0，y0)在直线2xy30上，2(y2)(x2)30，即x2y30.【答案】x2y30方法技巧 (2)轴对称点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点A(m，n)，则有直线关于直
12、线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决1(方向2)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn等于(A)A.B. C.D.解析：由已知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得所以mn.2(方向2)已知入射光线经过点M(3,4)，被直线l：xy30反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为6xy60.解析：设点M(3,4)关于直线l：xy30的对称点为M(a，b)，则反射光线所在直线过点M，所以解得a1，b0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为，即6xy60.3(方向1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为x4y40.解析：设l1与l的交点为A(a,82a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.
