1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）第4课时 基本不等式 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）2016 考纲下载 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最值问题第4页高考调研 高三总复习 数学（理）请注意基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用第5页高考调研 高三总复习 数学（理）课前自助餐 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）基本不等式若 a，bR，则ab2 ab，当且仅当 ab 时取“”这一定理叙述为
2、：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数第7页高考调研 高三总复习 数学（理）常用不等式(1)若 a，bR，则 a2b22ab，当且仅当 ab 时取“”(2)a2b22ab22ab.(3)a2b22|ab|.(4)x1x 2.第8页高考调研 高三总复习 数学（理）利用基本不等式求最大、最小值问题(1)如果 x，y(0，)，且 xyp(定值)，那么当 xy 时，xy 有最小值 2 p(2)如果 x，y(0，)，且 xyS(定值)，那么当 xy 时，xy 有最大值S24 第9页高考调研 高三总复习 数学（理）1xR，下列不等式恒成立的是()Ax21x B.1x21lg(2x)Dx244x答案
3、A第10页高考调研 高三总复习 数学（理）2下列不等式证明过程正确的是()A若 a，bR，则baab2baab2B若 x0，y0，则 lgxlgy2 lgxlgyC若 x0，则 x4x2x4x4D若 x2 2x2x2第11页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 x1.2x2x2 2x2x2.D 正确 而 A，B 首先不满足“一正”，C 应当为“”第12页高考调研 高三总复习 数学（理）3若x2y4，则2x4y的最小值是()A4 B8C2 2D4 2答案 B解析 2x4y2 2x22y2 2x2y2 248，当且仅当 2x22y，即 x2y2 时取等号，2x4y的最小值为 8.第13页高
4、考调研 高三总复习 数学（理）4设x0，y0，且x4y40，则lgxlgy的最大值是()A40 B10C4 D2第14页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 D解析 x4y40，且 x0，y0，x4y2 x4y4 xy.(当且仅当 x4y 时取“”)4 xy40.xy100.lgxlgylgxylg1002.lgxlgy 的最大值为 2.第15页高考调研 高三总复习 数学（理）5(课本习题改编)建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁 1 m2 的造价分别为 120 元和 80 元，那么水池表面积的最低造价为_元答案 1 760解析 设水池底面的长度、宽度分别为
5、 a m，b m，则 ab4，令水池表面的总造价为 y，则 yab1202(2a2b)80 480320(ab)4803202 ab48032041 760，当且仅当 ab2 时取“”第16页高考调研 高三总复习 数学（理）授人以渔 第17页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 求最值例 1 在下列条件下，求 y4x214x5的最值(1)当 x54时，求最小值；(3)当 x2 时，求最小值第18页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)x0.y4x214x554x154x 3231.当且仅当 54x154x，即 x1 时，上式等号成立 故当 x1 时，ymax1.(2)x54，4x50
6、.y4x214x54x514x53235.第19页高考调研 高三总复习 数学（理）当且仅当 4x514x5，即 x32时上式“”成立 即 x32时，ymin5.(3)当 x2 时，y4x214x5为增函数，ymin4221425193.【答案】(1)1(2)5(3)193第20页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，如例(1)，“二定”不满足时，需变形如例(2)，“三相等”不满足时，可利用函数单调性如例(3)第21页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1(1)已知函数 y16x228x114x5.当
7、 x45时，求 y 的最大值；当 x54时，求 y 的值域；当 0 x0，y0，且 x2y1，求1x1y的最小值第26页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】x2y1，1x1y(1x1y)(x2y)3xy2yx 32xy2yx 32 2.当且仅当xy2yx，x2y1，即x 21，y1 22时取等号 故1x1y的最小值为 32 2.【答案】32 2第27页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)已知 x0，y0，且1x9y1，求 xy 的最小值【解析】方法一：减少元素个数根据条件1x9y1 解出 y或 x，用只含 x 或 y 的代数式表示 y 或 x，代数式 xy 转化为只含x 的函数，再考虑利
8、用基本不等式求出最值 由 1x9y1，得 x yy9.x0，y0，y9.xy yy9yyy99y9 y 9y91(y9)9y910.第28页高考调研 高三总复习 数学（理）y9，y90.y9 9y9102（y9）9y91016.当且仅当 y9 9y9，即 y12 时取等号 又1x9y1，则 x4.当 x4，y12 时，xy 取最小值 16.方法二：在利用基本不等式求最值时，巧妙运用“1”的代换，也会给解决问题提供简捷的解法 第29页高考调研 高三总复习 数学（理）1x9y1，xy(xy)(1x9y)10yx9xy.x0，y0，yx9xy 2yx9xy 6.当且仅当yx9xy，即 y3x 时，取
9、等号 又1x9y1，x4，y12.当 x4，y12 时，xy 取最小值 16.【答案】16第30页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2(1)要创造条件应用均值定理：和定积最大，积定和最小多次应用时，必须保证每次取等号的条件相同，等号才可以传递到最后的最大(小)值(2)注意“1”的代换技巧(3)本题(1)易错解为：1x2y2 2xy，xy 24.1x1y 2xy 824 2.其错因是两次用基本不等式时等号不能同时成立第31页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题2(1)已知正数a，b满足ab4，1a2b的最小值为_(2)(2015福建文)若直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，则ab的
10、最小值等于()A2 B3C4 D5第32页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)1a2b(1a2b)ab4 14(3ba2ab)32 24.(当且仅当 b=2a=4(2-2)时取等号).(2)方法一：因为直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a1b1，所以 11a1b21a1b 2ab(当且仅当 ab2 时取等号)，所以 ab2.又 ab2 ab(当且仅当 ab 时取等号)，所以 ab4(当且仅当 ab2 时取等号)，故选 C.第33页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：因为直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，所以1a1b1，所以 ab(ab)(1a1b)2ab
11、ba22abba4(当且仅当 ab2 时取等号)，故选 C.【答案】(1)32 24(2)C第34页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 求参数的取值范围例 3 若正数 a，b 满足 abab3，求：(1)ab 的取值范围；(2)ab 的取值范围第35页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)abab32 ab3，令 t ab0，t22t30，(t3)(t1)0.t3 即 ab3，ab9，当且仅当 ab3 时取等号(2)abab3，ab3(ab2)2.令 tab0，t24t120，(t6)(t2)0.t6 即 ab6，当且仅当 ab3 时取等号【答案】(1)9，)(2)6，)第36页高
12、考调研 高三总复习 数学（理）探究 3 利用方程的思想是解决此类问题的常规解法 另外，第二问也可用如下方法求解：由已知 ba3a10，a10，abaa3a1aa14a1 a1 4a1(a1)4a126.第37页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3 若正实数 x，y 满足 2xy6xy，则 xy 的最小值是_【解析】由基本不等式，得 xy2 2 xy6.令 xyt 得不等式 t22 2t60，解得 t 2(舍去)或者 t3 2，当且仅当 x3，y6 时，取等号故 xy 的最小值为 18.【答案】18第38页高考调研 高三总复习 数学（理）题型四 证明不等式例 4(1)已知 a，b，cR，求
13、证：a4b4c4a2b2b2c2c2a2abc(abc)第39页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】a4b42a2b2，b4c42b2c2，c4a42c2a2，2(a4b4c4)2(a2b2b2c2c2a2)即 a4b4c4a2b2b2c2c2a2.又 a2b2b2c22ab2c，b2c2c2a22abc2，c2a2a2b22a2bc，2(a2b2b2c2c2a2)2(ab2cabc2a2bc)即 a2b2b2c2c2a2ab2cabc2a2bcabc(abc)【答案】略第40页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)已知 a，b，cR，且 abc1，求证：1a1b1c9.【证明】abc1，
14、1a1b1cabcaabcbabcc 3bacaabcbacbc 3(baab)(caac)(cbbc)32229.当且仅当 abc13时，取等号【答案】略第41页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 4 证明不等式时，可依据求证式两端的式子结构，合理选择重要不等式及其变形不等式来证 本题先局部运用基本不等式，然后用不等式的性质，通过不等式相加(有时相乘)综合推出要求证的不等式，这种证明方法在证明这类轮换对称不等式时具有一定的普遍性 第42页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 4(1)已知 a0，b0，c0 且 a，b，c 不全相等，求证：bca acb abc abc.第43页高考调研
15、高三总复习 数学（理）【证明】a，b，c(0,+)，且不全相等，bca acb 2 bca acb 2c.同理：acb abc 2a，abc bca 2b.上述三个等号至少有一个不成立，三式相加，得 2bca acb abc 2(abc)即bca acb abc abc.【答案】略第44页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)a2b2 b2c2 c2a2 2(abc)第45页高考调研 高三总复习 数学（理）【证明】a2b22(ab2)2，a2b22|ab|2ab2.即 a2b2 22(ab)同理 b2c2 22(bc)，c2a2 22(ca)三式相加，得 a2b2 b2c2 c2a2 2(ab
16、c)【答案】略第46页高考调研 高三总复习 数学（理）题型五 实际应用例 5 如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽 2 m 的无盖长方体的沉淀箱，污水从 A 孔流入，经沉淀后从 B孔流出，设箱体的长度为 a m，高度为 b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与 a，b 的乘积 ab 成反比现有制箱材料 60 m2，问 a，b 各为多少 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B 孔面积忽略不计)第47页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】设 y 为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y kab，其中 k 是比例系数且 k0.依题意要使 y 最小，只需求 ab
17、的最大值 由题设，得 4b2ab2a60(a0，b0)，即 a2bab30(a0，b0)a2b2 2ab，2 2 abab30.第48页高考调研 高三总复习 数学（理）当且仅当 a2b 时取“”号，ab 有最大值 当 a2b 时有 2 2 abab30，即 b22b150.解之得 b13，b25(舍去)，a2b6.故当 a6 m，b3 m 时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小【答案】a6 m，b3 m第49页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 5(1)解应用题时，一定要注意变量的实际意义，从而指明函数的定义域(2)一般利用均值不等式求解最值问题时，通常要指出取得最值时的条件，即“等号”成立
18、的条件(3)在求函数最值时，除应用基本不等式外，有时会出现基本不等式取不到等号，此时要利用函数的单调性第50页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 5 如图，在半径为 30 cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点 A，B 在直径上，点 C，D 在圆周上(1)怎样截取才能使截得的矩形 ABCD 的面积最大？并求最大面积；(2)若将所截得的矩形铝皮 ABCD 卷成一个以 AD 为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接铝耗)，应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积第51页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)连接 OC.设 BCx，矩形 ABC
19、D 的面积为 S.则 AB2 900 x2，其中 0 x30.所以 S2x 900 x22 x2（900 x2）x2(900 x2)900.当且仅当 x2900 x2，即 x15 2时，S 取最大值 900 cm2.答：取 BC 为 15 2 cm 时，矩形 ABCD 的面积最大，最大值为 900 cm2.第52页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)设圆柱底面的半径为 r，高为 x，体积为 V.由 AB2 900 x22r，得 r 900 x2.所以 Vr2x 1(900 xx3)，其中 0 x0，b0)等第55页高考调研 高三总复习 数学（理）自 助 餐 第56页高考调研 高三总复习 数学
20、（理）1下列函数中，最小值为 4 的是()Ayx4xBysinx 4sinx(0 x)Cy4exexDylog3xlogx3(0 x0，ab5，则 a1 b3的最大值为_答案 3 2解析(a1b3)2ab42a1b392（a1）2（b3）229ab418，所以 a1 b33 2，当且仅当 a1b3 且 ab5，即 a72，b32时等号成立所以 a1 b3的最大值为 3 2.第59页高考调研 高三总复习 数学（理）3已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是()A.72 B4C.92D5第60页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 依题意得1a4b12(1a4b)(ab)125(
21、ba4ab)12(52ba4ab)92，当且仅当ab2，ba4ab，a0，b0，即 a23，b43时取等号，即1a4b的最小值是92.第61页高考调研 高三总复习 数学（理）4设 0ab，则下列不等式中正确的是()A.ab abab2Ba abab2 bCa abbab2D.abaab2 b第62页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 B解析 方法一(特值法)：代入 a1，b2，则有 0a1 ab 2ab2 1.5b2.方法二(直接法)：我们知道算术平均数ab2 与几何平均数 ab的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为 B.第63页高考调研 高三总复习 数学（理）5(2015陕西)设
22、 f(x)lnx，0ab，若 pf(ab)，qf(ab2)，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()AqrpCprq第64页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 C解析 pf(ab)ln ab，qf(ab2)lnab2，r12(lnalnb)ln ab 函数 f(x)lnx 在(0，)上单调递增，因为ab2 ab，所以 pr0，a0)在 x3 时取得最小值，则 a_答案 36解析 f(x)4xax24xax4 a(当且仅当 4xax，即 a4x2时取等号)，则由题意知 a43236.第66页高考调研 高三总复习 数学（理）课外阅读 第67页高考调研 高三总复习 数学（理）不等式中恒
23、成立问题的解法一般解法：(1)f(x)0(或0)恒成立f(x)max0(或 f(x)min0)；(2)含参数不等式恒成立问题，首选方法是分离参数转化为f(x)a(或a)形式，其次是数形结合第68页高考调研 高三总复习 数学（理）例 1 若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，则实数 a 的取值范围是_第69页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】若对任意 x0，xx23x1a 恒成立，只需求得yxx23x1的最大值即可因为 x0，所以 yxx23x11x1x312x1x315，当且仅当 x1 时取等号，所以 a 的取值范围是15，)【答案】15，)第70页高考调研 高三总复习 数学（理）例
24、2(2016衡水调研卷)设 x0，y0，不等式1x1y mxy0 恒成立，则实数 m 的最小值是_第71页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】原问题等价于 mxy(1x1y)恒成立，x0，y0，等价于 m(1x1y)(xy)的最大值 而(1x1y)(xy)2(yxxy)224，当且仅当 xy 时取“”，故 m4.【答案】4第72页高考调研 高三总复习 数学（理）例 3 已知 x0，y0，且2x1y1，若 x2ym22m 恒成立，则实数 m 的取值范围是()Am4 或 m2 Bm2 或 m4C2m4 D4m0，y0，且2x1y1，x2y(x2y)(2x1y)44yx xy424yx xy8，当且仅当4yx xy，即 4y2x2，x2y 时取等号，又2x1y1，此时 x4，y2，(x2y)min8，要使 x2ym22m 恒成立，只需(x2y)minm22m 恒成立，即 8m22m，解得4m2.【答案】D请做：题组层级快练（三十五）
