1、2016-2017学年江西省无锡市江阴市南菁高中高一（下）开学数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1函数的最小正周期为2不等式x2+5x6的解集是3sin75cos30sin15sin150=4若向量与共线，其中为不共线的单位单位向量，则实数的值等于5将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是6已知是第三象限角，tan=，则sin=7已知函数f（x）=，则ff（）的值是8若向量，满足且与的夹角为，则=9设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=10若不等式（a+2）x2+2（a
2、+2）x+40对一切恒成立，则a的取值范围是11设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），f（）=12若函数f（x）=lg（x22mx+3m）在1，+）上是增函数，则m的取值范围为13已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（+）（+）的最大值为 14若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x0，1时，f（x）=x，则函数y=f（x）log3|x|的零点的个数是二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15在平行四边形ABCD中，A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，2），C点的坐标为（4，1
3、）（1）求点D的坐标；（2）求与夹角的余弦值16已知（1）求tan的值（2）求的值17若二次函数f（x）=ax2+bx+c（a0）满足f（x+1）f（x）=2x，且f（0）=1（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间1，1上，不等式f（x）2x+m恒成立，求实数m的取值范围18据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N
4、城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由19已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数（）求a，b的值；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围20已知函数是定义在（0，+）上的函数（1）求证：函数y=f（x）在（0，+）上是增函数；（2）若函数y=f（x）在m，n上的值域是2m，2n（mn），求实数a的取值范围；（3）若不等式x2|f（x）|1对恒成立，求实数a的取值范围2016-2017学年江西省无锡市江阴市南菁高中高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析
5、一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1函数的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】根据三角函数的周期公式即可得到结论【解答】解：由三角函数的周期公式：T=，故答案为：2不等式x2+5x6的解集是（2，3）【考点】一元二次不等式的解法【分析】将不等式x2+5x6变形为x25x+60，因式分解为（x2）（x3）0，即可求解【解答】解：不等式x2+5x6变形为x25x+60，因式分解为（x2）（x3）0，解得：2x3不等式x2+5x6的解集为x|2x3，故答案为（2，3）3sin75cos30sin15sin150=【考点】两角和与差的正弦函数【分析】利用诱导公式把s
6、in15转换成cos75，sin150转换成sin30，进而利用两角和公式求得答案【解答】解：sin75cos30sin15sin150=sin75cos30cos75sin30=sin（7530）=sin45=答案：4若向量与共线，其中为不共线的单位单位向量，则实数的值等于1【考点】平行向量与共线向量【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出【解答】解：向量与共线，其中为不共线的单位单位向量，存在实数k使得： =k（）=kk，=k，1=k解得=1故答案为：15将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解
7、析式是【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式【分析】先根据左加右减进行左右平移，然后根据横坐标伸长到原来的2倍时，x的系数变为原来的倍进行横向变换从而可得函数解析式【解答】解：由题意，将函数y=sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，利用左加右减，可所函数图象的解析式为y=sin（x）再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），利用x的系数变为原来的倍进行横向变换，可得图象的函数解析式是故答案为6已知是第三象限角，tan=，则sin=【考点】同角三角函数间的基本关系【分析】由已知中，根据同角三角函数平方关系，我们易求出cos2值，进而求出sin2的值，结合是第三象
8、限角，sin0，即可求出sin的值【解答】解：，则1+tan2=则cos2=，则sin2=1cos2=又是第三象限角，sin=故答案为：7已知函数f（x）=，则ff（）的值是【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值【分析】先求，故代入x0时的解析式；求出=2，再求值即可【解答】解：，故答案为：8若向量，满足且与的夹角为，则=【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据可得答案【解答】解：且与的夹角为=7则=故答案为：9设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=4或2【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质求解【解答】解：函数f（x）=，f（a）=4，当x0时，a=4，解得a=4；当
9、x0时，a2=4，解得a=2或a=2（舍）a=4或a=2故答案为：4，210若不等式（a+2）x2+2（a+2）x+40对一切恒成立，则a的取值范围是2，2）【考点】函数恒成立问题【分析】当a+2=0，即a=2时，不等式化为40对一切实数x恒成立；当a+20时，要使不等式（a+2）x2+2（a+2）x+40对一切实数x恒成立，则，求解不等式组得到a的范围，取并集得答案【解答】解：若a+2=0，即a=2，不等式化为40对一切实数x恒成立；若a+20，要使不等式（a+2）x2+2（a+2）x+40对一切实数x恒成立，则，解得：2a2综上，使得不等式（a+2）x2+2（a+2）x+40对一切实数x恒
10、成立的a的取值范围是2，2）故答案为：2，2）11设f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），f（）=【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的值【分析】由题意得=f（）=f（），代入已知条件进行运算【解答】解：f（x）是周期为2的奇函数，当0x1时，f（x）=2x（1x），=f（）=f（）=2（1）=，故答案为：12若函数f（x）=lg（x22mx+3m）在1，+）上是增函数，则m的取值范围为（1，1【考点】对数函数的图象与性质【分析】令u（x）=x22mx+3m，由复合函数的单调性可得函数u（x）在区间1，+）上单调递增且恒为正实数，再解不等式组即可【解答】解：记
11、u（x）=x22mx+3m，则f（x）=lgu（x），显然，u（x）在（，m）上单调递减，在（m，+）上单调递增，再由复合函数的单调性可得，函数u（x）在区间1，+）上单调递增且恒为正实数，则，解得1m1，故答案为：（1，113已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（+）（+）的最大值为 1【考点】平面向量数量积的运算【分析】由已知中正方形ABCD的边长为2，我们可以建立直角坐标系，选求出各点坐标，设出动点P的坐标，再求出各向量的坐标，得到（+）（+）表达式，进而得到最大值【解答】解：以A为坐标原点，以AB为X轴正方向，以AD为Y轴正方向建立直角坐标系，则A（0，0），B（2
12、，0），C（2，2），D（0，2），P点有对角线AC上，设P（x，x），0x2所以=（x，x），=（2，2），=（2x，x），=（x，2x）（+）（+）=4x4x2=4（x）2+1当x=时，有最大值为1故答案为：114若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x0，1时，f（x）=x，则函数y=f（x）log3|x|的零点的个数是4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，这两个函数图象的交点个数即为所求【解答】解：偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），故函数的周期为2当x0，1时，f（x）=x，故当
13、x1，0时，f（x）=x函数y=f（x）log3|x|的零点的个数等于函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数在同一个坐标系中画出函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象，如图所示：显然函数y=f（x）的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点，故答案为4二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15在平行四边形ABCD中，A点的坐标为（1，0），B点的坐标为（3，2），C点的坐标为（4，1）（1）求点D的坐标；（2）求与夹角的余弦值【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的坐标运算【分析】（1）根据平行四边形ABCD中
14、， =；列出方程组求出点D的坐标；（2）根据平面向量数量积的定义求出向量与夹角的余弦值【解答】解：（1）平行四边形ABCD中，A（1，0），B（3，2），C（4，1）；设D的坐标为（x，y），则=；即（x1，y）=（1，3），解得，D（2，3）；（2）=（2，2），=（1，5），=2（1）+2（5）=12，|=2，|=，设与的夹角为，则cos=16已知（1）求tan的值（2）求的值【考点】同角三角函数基本关系的运用【分析】（1）由题意可得=，解方程求得 （2）利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得=，把代入运算【解答】解：（1）， =，解得 （2）=17若二次函数f（x）=ax2+bx+c
15、（a0）满足f（x+1）f（x）=2x，且f（0）=1（1）求f（x）的解析式；（2）若在区间1，1上，不等式f（x）2x+m恒成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）由二次函数可设f（x）=ax2+bx+c（a0），由f（0）=1求得c的值，由f（x+1）f（x）=2x可得a，b的值，即可得f（x）的解析式；（2）欲使在区间1，1上不等式f（x）2x+m恒成立，只须x23x+1m0在区间1，1上恒成立，也就是要x23x+1m的最小值大于0，即可得m的取值范围【解答】解：（1）由题意可知，f（0）=1，解得，c=1，由f（x+1）f（x）=2x可
16、知，a（x+1）2+b（x+1）+1（ax2+bx+1）=2x，化简得，2ax+a+b=2x，a=1，b=1f（x）=x2x+1；（2）不等式f（x）2x+m，可化简为x2x+12x+m，即x23x+1m0在区间1，1上恒成立，设g（x）=x23x+1m，则其对称轴为，g（x）在1，1上是单调递减函数因此只需g（x）的最小值大于零即可，g（x）min=g（1），g（1）0，即13+1m0，解得，m1，实数m的取值范围是m118据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v（km/h）与时间t（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（t，0）作横轴的垂线l，梯形OA
17、BC在直线l左侧部分的面积即为t（h）内沙尘暴所经过的路程s（km）（1）当t=4时，求s的值；（2）将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由【考点】函数解析式的求解及常用方法【分析】（1）设直线l交v与t的函数图象于D点由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=412=24（km）；（2）分类讨论：当0t10时；当10t20时；当20t35时；（3）根据t的
18、值对应求S，然后解答【解答】解：设直线l交v与t的函数图象于D点，（1）由图象知，点A的坐标为（10，30），故直线OA的解析式为v=3t，当t=4时，D点坐标为（4，12），OT=4，TD=12，S=412=24（km）；（2）当0t10时，此时OT=t，TD=3t（如图1）S=t3t=当10t20时，此时OT=t，AD=ET=t10，TD=30（如图2）S=SAOE+S矩形ADTE=1030+30（t10）=30t150当20t35时，B，C的坐标分别为（20，30），（35，0）直线BC的解析式为v=2t+70D点坐标为（t，2t+70）TC=35t，TD=2t+70（如图3）S=S梯形
19、OABCSDCT=（10+35）30（35t）（2t+70）=（35t）2+675；（3）当t=20时，S=3020150=450（km），当t=35时，S=（3535）2+675=675（km），而450650675，N城会受到侵袭，且侵袭时间t应在20h至35h之间，由（35t）2+675=650，解得t=30或t=40（不合题意，舍去）在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城19已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数（）求a，b的值；（）若对任意的tR，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围【考点】指数函数单调性的应用；奇函数【分析】（）利用奇函数定义，在f（x）=f（x
20、）中的运用特殊值求a，b的值；（）首先确定函数f（x）的单调性，然后结合奇函数的性质把不等式f（t22t）+f（2t2k）0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围【解答】解：（）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即又由f（1）=f（1）知所以a=2，b=1经检验a=2，b=1时，是奇函数（）由（）知，易知f（x）在（，+）上为减函数又因为f（x）是奇函数，所以f（t22t）+f（2t2k）0等价于f（t22t）f（2t2k）=f（k2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t22tk2t2即对一切tR有：3t22tk0，从而判别式所以k的取值范围是k20
21、已知函数是定义在（0，+）上的函数（1）求证：函数y=f（x）在（0，+）上是增函数；（2）若函数y=f（x）在m，n上的值域是2m，2n（mn），求实数a的取值范围；（3）若不等式x2|f（x）|1对恒成立，求实数a的取值范围【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明【分析】（1）直接用定义法证明；（2）将题目条件转化为2x2ax+1=0在（0，+）上有两个不等的根，然后结合判别式求解；（3）由x2|f（x）|1，令=t，t2，3，用换元法化简不等式【解答】（1）证明：任取x1，x2（0，+），且x1x2，则f（x1）f（x2）=（a）（a）=0函数y=f（x）在（0，+）上是增函数；（2）解：由（1）知y=f（x）在m，n上单调递增，m，n是f（x）=2x，即a=2x的两个不等的正根，2x2ax+1=0在（0，+）上有两个不等的根，解得a2；（3）解：由x2|f（x）|1，得a，令=t，t2，3，则tt2at+t2，2a6，故实数a的取值范围为2，62017年4月29日
