1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。核心考点精准研析考点一直接法求轨迹方程【典例】已知ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).(1)求ABC外接圆的标准方程;世纪金榜导学号(2)若过定点P的直线与ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为,kAC=,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,则AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方
2、程为y-=-.由得所以ABC的外接圆圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),ABC外接圆的圆心为N,则N(2,0),由MNMP,得=0,所以(x-2,y)(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,故弦EF中点的轨迹方程为+=.直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性
3、和完备性.(1)已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且=,则动点P的轨迹C的方程为()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x(2)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为_.【解析】(1)选A.设点P(x,y),则Q(x,-1).因为=,所以(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以
4、点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得=-,化简得x2+3y2=4(x1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).答案:x2+3y2=4(x1)考点二定义法求轨迹方程【典例】1.已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.世纪金榜导学号2.如图,已知ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.世纪金榜导学号【解析】1.如图所示
5、,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,则有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2|MC1|,故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,则2a=2,所以a=1.又c=3,则b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),则动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x-1).2.由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长
6、为4的椭圆(挖去与x轴的交点).设曲线M:+=1(ab0,y0),则a2=4,b2=a2-=3,所以曲线M的方程为+=1(y0).1.定义法的适用范围若动点运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.2.注意2个易误点(1)因对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或忽视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.(如典例1中,动点M的轨迹是双曲线的一支,故应限制条件x-1)(2)不会迁移应用已知条件,而找不到解题思路,而无法解题.(如典例2中,若不能正确转化|CA|+|CB|,则很难求出曲线M的轨迹方程)(
7、2019衢州模拟)已知动圆P与定圆C:(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=1相切,那么动圆的圆心P的轨迹方程为()A.y2=-4xB.y2=4xC.y2=-8xD.y2=8x【解析】选C.由于动圆P 与定圆C:(x+2)2+y2=1相外切,又与定直线l:x=1相切,所以动圆的圆心P到点(-2,0)的距离比到直线l:x=1的距离大1,从而动圆的圆心P到点(-2,0)的距离与到直线l:x=2的距离相等,由抛物线的定义知动圆的圆心P的轨迹为抛物线,其方程为y2=-8x.考点三相关点法求轨迹方程【典例】如图,已知P是椭圆+y2=1上一点,PMx轴于M.若=.世纪金榜导学号(1)求点N的轨迹
8、方程.(2)当点N的轨迹为圆时,求的值.【解析】(1)设点P,点N的坐标分别为P(x1,y1),N(x,y),则M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),=(x1-x,-y)=(0,-y),由=得(0,y-y1)=(0,-y).所以y-y1=-y,即y1=(1+)y.因为P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,则+=1,所以+(1+)2y2=1,故+(1+)2y2=1为所求的点N的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆,则(1+)2=,解得=-或=-.故当=-或=-时,N点的轨迹是圆.相关点法求曲线方程的四个步骤:已知双曲线-y2=1的左、右顶点分别为A1,A
9、2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同于A1,A2的两个不同的动点,则直线A1P与A2Q交点的轨迹方程为_;该曲线的形状是_.【解析】由已知,|x1|,A1(-,0),A2(,0),则直线A1P的方程为y=(x+),直线A2Q的方程为y=(x-),联立,解得所以所以x0,且|x|,因为点P(x1,y1)在双曲线-y2=1上,所以-=1,将代入上式,整理得所求轨迹的方程为+y2=1(x0且x).答案:+y2=1(x0且x)椭圆去掉四个顶点【变式备选】1.已知方程ax2-ay2=b,且ab0,则它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.圆D.椭圆【解析
10、】选B.当ab0时,方程ax2-ay2=b化简得y2-x2=-,方程表示双曲线.焦点坐标在y轴上.2.已知曲线:y2=x;x2+y2=1;y=x3;x2-y2=1.上述四条曲线中,满足“若曲线与直线y=kx+b有且仅有一个公共点,则它们必相切”的曲线的序号是()A.B.C.D.【解析】选B.当直线y=kx+b和抛物线y2=x的对称轴平行时,曲线与直线有且仅有一个公共点,但此时直线不是切线,故错误,当直线y=kx+b和圆x2+y2=1只有一个公共点时,直线与圆相切,故正确,当直线y=kx+b和x轴平行时,直线和y=x3只有一个交点,但此时直线和曲线不相切,故错误,当直线y=kx+b和双曲线x2-
11、y2=1的渐近线平行时,直线和双曲线有一个交点,但此时直线y=kx+b和双曲线不相切,故错误,故正确的只有.3.已知抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,则点M的轨迹方程是()A.y2=x-1B.y2=2x-C.y2=2(x-1)D.y2=x-【解析】选D.设M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦点F的坐标为(1,0).因为M是FQ的中点,所以即又Q是OP的中点,所以即因为P在抛物线y2=4x上,所以(4y)2=4(4x-2),M点的轨迹方程为y2=x-.4.已知动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,则动圆圆心Q的轨迹方程为_.【解析】设Q(x,y).因为动圆Q过定点A(2,0)且与y轴截得的弦MN的长为4,所以2+|x|2=|AQ|2,所以|x|2+22=(x-2)2+y2,整理得y2=4x.所以动圆圆心Q的轨迹方程是y2=4x.答案:y2=4x关闭Word文档返回原板块- 9 - 版权所有高考资源网
