1、第1页高考调研 高三总复习 数学（理）专题研究 数学归纳法 第2页高考调研 高三总复习 数学（理）专题要点 第3页高考调研 高三总复习 数学（理）1数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，若 n0是起始值，则 n0 是使命题成立的最小正整数第4页高考调研 高三总复习 数学（理）2数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当 nn0(n0N*)时，验证命题成立；(2)假设 nk，(kn0，kN*)时命题成立，推证 nk1 时命题也成立，从而推出对所有的 nn0，nN*命题成立，其中第一步是归纳基础，第二步是归纳递推二者缺一不可第5页高考调研 高三总复习
2、数学（理）专题讲解 第6页高考调研 高三总复习 数学（理）题型一 证明恒等式例 1 求证：112131412n1 12n 1n1 1n2 12n(nN*)【解析】(1)当 n1 时，左边11212，右边 11112.左边右边 第7页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)假设 nk 时等式成立，即 112131412k1 12k1k1 1k2 12k，则当 nk1 时，112131412k1 12k(12k112k2)1k11k2 12k(12k112k2)第8页高考调研 高三总复习 数学（理）1k2 1k312k112k2.即当 nk1 时，等式也成立 综合(1)，(2)可知，对一切 nN*，
3、等式成立【答案】略第9页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 1 用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与 n 的取值是否有关 由 nk 到 nk1 时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项第10页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 1 用数学归纳法证明：124 146 16812n（2n2）n4（n1）(其中 nN*)【解析】(1)当 n1 时，等式左边 12418，等式右边14（11）18，等式成立 第11页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)假设 nk(k1，kN*)时等式成立 即 124 14612k（
4、2k2）k4（k1）成立，那么当 nk1 时，124146 168 12k（2k2）12（k1）2（k1）2 k4（k1）14（k1）（k2）第12页高考调研 高三总复习 数学（理）k（k2）14（k1）（k2）（k1）24（k1）（k2）k14（k1）1，即 nk1 时等式成立 由(1)，(2)可知，对任意 nN*等式均成立【答案】略第13页高考调研 高三总复习 数学（理）题型二 证明不等式例 2 用数学归纳法证明不等式2124142n12n n1.【证明】当 n1 时，左式32，右式 2，左式右式，所以结论成立 假设 nk(k1，kN*)时结论成立，即212 414 2k12k k1，则当
5、 nk1 时，第14页高考调研 高三总复习 数学（理）212 414 2k12k 2k32（k1）k12k32（k1）2k32 k1，要证当 nk1 时结论成立，只需证 2k32 k1 k2，即证2k32（k1）（k2），第15页高考调研 高三总复习 数学（理）由 基 本 不 等 式 2k32（k1）（k2）2（k1）（k2）成立，故 2k32 k1 k2成立 所以，当 nk1 时，结论成立 由可知，nN*时，不等式212 414 2n12n n1成立【答案】略第16页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 2 在运用数学归纳法时，要注意起点 n0 并非一定取 1，也可能取 0，2 等值；第二步
6、证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清从 k 到 k1 时命题变化的情况，应用放缩技巧第17页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 2 求证：1n1 1n2 13n56(n2，nN*)【解析】(1)当 n2 时，左边1314151656，不等式成立(2)假设 nk(k2，kN*)时命题成立，即 1k1 1k2 13k56.当 nk1 时，1（k1）1 1（k1）2 13k 13k1 13k2 13（k1）第18页高考调研 高三总复习 数学（理）1k1 1k2 13k(13k113k213k3 1k1)56(13k113k213k3 1k1)56(313k3 1k1)56.当 nk1 时不等式
7、亦成立 原不等式对一切 n2，nN*均成立【答案】略第19页高考调研 高三总复习 数学（理）题型三 归纳猜想证明例3 已知数列an的前n项和Sn满足Snan21an1且an0，nN*.(1)求 a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性第20页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)当 n1 时，由已知得 a1a121a11，a122a120.a1 31(a10)当 n2 时，由已知得 a1a2a221a21，将 a1 31 代入并整理得 a222 3a220.a2 5 3(a20)同理可得 a3 7 5.猜想 an 2n1 2n1(nN*)(2)由(1)知，当
8、n1，2，3 时，通项公式成立 第21页高考调研 高三总复习 数学（理）假设当 nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即 ak 2k1 2k1.由 ak1Sk1Skak12 1ak1ak21ak，将 ak 2k1 2k1代入上式并整理，得 ak122 2k1ak120.解得 ak1 2k3 2k1(an0)即当 nk1 时，通项公式也成立 由和，可知对所有 nN*，an 2n1 2n1都成立 第22页高考调研 高三总复习 数学（理）【答案】(1)a1 31，a2 5 3，a3 7 5，an2n1 2n1(2)略第23页高考调研 高三总复习 数学（理）探究 3“归纳猜想证明”的模式，是不完全归纳
9、法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式第24页高考调研 高三总复习 数学（理）思考题 3 在数列an，bn中，a12，b14，且 an，bn，an1 成等差数列，bn，an1，bn1 成等比数列(nN*)(1)求 a2，a3，a4 及 b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a1b11a2b21anbn 512.第25页高考调研 高三总复习 数学（理）【解析】(1)由条件得 2bnanan1，a
10、n12bnbn1.由此可得 a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测 ann(n1)，bn(n1)2.用数学归纳法证明：当 n1 时，由上可得结论成立 假设当 nk 时，结论成立，即 akk(k1)，bk(k1)2.那么当 nk1 时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1ak12bk(k2)2.所以当 nk1 时，结论也成立 由，可知 ann(n1)，bn(n1)2 对一切正整数都成立 第26页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)1a1b1162(n1)n.故1a1b11a2b21anbn 1612(123 1341n（n1）)1612(1213
11、13141n 1n1)1612(12 1n1)12764(nN*)成立，其初始值至少应取()A7 B8C9 D10答案 B解析 11214 12n11 12n11212764，整理得 2n128，解得 n7.初始值至少应取 8.第32页高考调研 高三总复习 数学（理）2设 f(n)1121313n1(nN*)，那么 f(n1)f(n)等于()A.13n2 B.13n13n1C.13n113n2D.13n13n113n2答案 D第33页高考调研 高三总复习 数学（理）3若数列an的通项公式 an1（n1）2，记 cn2(1a1)(1a2)(1an)，试通过计算 c1，c2，c3 的值，推测 cn
12、_第34页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 n2n1解析 c12(1a1)2(114)32，c22(1a1)(1a2)2(114)(119)43，c32(1a1)(1a2)(1a3)2(114)(119)(1 116)54，故由归纳推理得 cnn2n1.第35页高考调研 高三总复习 数学（理）4设数列an的前 n 项和为 Sn，且对任意的自然数 n 都有：(Sn1)2anSn.(1)求 S1，S2，S3；(2)猜想 Sn 的表达式并证明答案(1)S112，S223，S334(2)Sn nn1，证明略第36页高考调研 高三总复习 数学（理）解析(1)由(S11)2S12，得 S112；由(S
13、21)2(S2S1)S2，得 S223；由(S31)2(S3S2)S3，得 S334.(2)猜想：Sn nn1.证明：当 n1 时，显然成立；第37页高考调研 高三总复习 数学（理）假设当 nk(k1 且 kN*)时，Sk kk1成立 则当 nk1 时，由(Sk11)2ak1Sk1，得 Sk112Sk12 kk1k1k2.从而 nk1 时，猜想也成立 综合得结论成立第38页高考调研 高三总复习 数学（理）5已知数列an的各项都是正数，且满足：a01，an1 12an(4an)，(nN)证明：anan12，(nN)证明 方法一：用数学归纳法证明：(1)当 n0 时，a01，a112a0(4a0)
14、32，所以 a0a12，命题正确 第39页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)假设 nk 时命题成立，即 ak1ak2.则当 nk1 时，akak1 12ak1(4ak1)12ak(4ak)2(ak1ak)12(ak1ak)(ak1ak)12(ak1ak)(4ak1ak)而 ak1ak0，所以 akak10.第40页高考调研 高三总复习 数学（理）又 ak112ak(4ak)124(ak2)22.所以 nk1 时命题成立 由(1)(2)可知，对一切 nN 时有 anan12.方法二：用数学归纳法证明：(1)当 n0 时，a01，a112a0(4a0)32，所以 0a0a12.第41页高考调研
15、 高三总复习 数学（理）(2)假设 nk 时有 ak1ak2 成立，令 f(x)12x(4x)，f(x)在0，2上单调递增，所以由假设有 f(ak1)f(ak)f(2)即12ak1(4ak1)12ak(4ak)122(42)也即当 nk1 时，akak12 成立 所以对一切 nN，有 akak11.证明：当 x1 且 x0 时，(1x)p1px.第43页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 略 证明 用数学归纳法证明，当 p2 时，(1x)212xx212x，原不等式成立 假设当 pk(k2，kN*)时，不等式(1x)k1kx 成立 则当 pk1 时，(1x)k1(1x)(1x)k(1x)(1
16、kx)1(k1)xkx21(k1)x.所以当 pk1 时，原不等式也成立 综合可得，当 x1，x0 时，对一切整数 p1，不等式(1x)p1px 均成立第44页高考调研 高三总复习 数学（理）7(2014陕西理选编)设函数 f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中 f(x)是 f(x)的导函数令 g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求 gn(x)的表达式第45页高考调研 高三总复习 数学（理）答案 gn(x)x1nx解析 由题设，得 g(x)x1x(x0)由已知，g1(x)x1x，g2(x)g(g1(x)x1x1 x1xx12x，g3(x)x13x，可得 gn(
17、x)x1nx.第46页高考调研 高三总复习 数学（理）下面用数学归纳法证明 当 n1 时，g1(x)x1x，结论成立 假设 nk 时结论成立，即 gk(x)x1kx.那么，当 nk1 时，gk1(x)g(gk(x)gk（x）1gk（x）x1kx1x1kxx1（k1）x，即结论成立 由可知，结论对 nN*成立第47页高考调研 高三总复习 数学（理）8(2016衡水调研)首项为正数的数列an满足 an114(an23)，nN*.(1)证明：若 a1 为奇数，则对一切 n2，an 都是奇数；(2)若对一切 nN*都有 an1an，求 a1 的取值范围第48页高考调研 高三总复习 数学（理）答案(1)
18、略(2)0a13解析(1)证明：已知 a1 是奇数，假设 ak2m1 是奇数，其中 m 为正整数，则由递推关系，得 ak1ak234m(m1)1 是奇数 根据数学归纳法，可知对任何 nN*，an 都是奇数 第49页高考调研 高三总复习 数学（理）(2)方法一：由 an1an14(an1)(an3)，知当且仅当 an3 时，an1an.另一方面，若 0ak1，则 0ak13，则 ak132343.根据数学归纳法，可知nN*，0a110an3an3.综上所述，对一切 nN*都有 an1an 的充要条件是 0a13.第50页高考调研 高三总复习 数学（理）方法二：由 a2a1234a1，得 a124a130.于是 0a13.an1anan234an1234（anan1）（anan1）4.因为 a10，an1an234，所以对任意 nN*，an 均大于 0.因此 an1an 与 anan1 同号 根据数学归纳法，可知nN*，an1an 与 a2a1 同号 因此，对于一切 nN*都有 an1an 的充要条件是 0a13.
