1、曲线与方程建议用时：45 分钟一、选择题1若方程 x2y2a1(a 是常数)，则下列结论正确的是()A任意实数 a 方程表示椭圆B存在实数 a 方程表示椭圆C任意实数 a 方程表示双曲线D存在实数 a 方程表示抛物线B 当 a0 且 a1 时，该方程表示椭圆；当 a0 时，该方程表示双曲线；当 a1 时，该方程表示圆故选 B.2(2019深圳调研)已知点 F(0,1)，直线 l：y1，P 为平面上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，且QP QF FPFQ，则动点 P 的轨迹 C 的方程为()Ax24y By23xCx22yDy24xA 设点 P(x，y)，则 Q(x，1)QP Q
2、F FPFQ，(0，y1)(x,2)(x，y1)(x，2)，即 2(y1)x22(y1)，整理得 x24y，动点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y.3已知圆 M：(x 5)2y236，定点 N(5，0)，点 P 为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在线段 MP 上，且满足NP2NQ，GQ NP0，则点 G 的轨迹方程是()A.x29y241Bx236y2311C.x29y241Dx236y2311A 由NP2NQ，GQ NP0 知 GQ 所在直线是线段 NP 的垂直平分线，连接 GN，|GN|GP|，|GM|GN|MP|62 5，点 G 的轨迹是以 M，N为焦点的椭圆，其中 2
3、a6,2c2 5，b24，点 G 的轨迹方程为x29y241，故选 A.4在ABC 中，B(2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出ABC 满足的条件，就能得到动点 A 的轨迹方程下表给出了一些条件及方程：条件方程ABC 周长为 10C1：y225ABC 面积为 10C2：x2y24(y0)ABC 中，A90C3：x29y251(y0)则满足条件，的轨迹方程依次为()AC3，C1，C2BC1，C2，C3CC3，C2，C1DC1，C3，C2A ABC 的周长为 10，即|AB|AC|BC|10，又|BC|4，所以|AB|AC|6|BC|，此时动点 A 的轨迹为椭圆，与 C3 对应；ABC 的面
4、积为 10，所以12|BC|y|10，即|y|5，与 C1 对应；因为A90，所以ABAC(2x，y)(2x，y)x2y240，与 C2 对应故选 A.5设线段 AB 的两个端点 A，B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，且|AB|5，OM 35OA 25OB，则点 M 的轨迹方程为()A.x29y241By29x241C.x225y291Dy225x291A 设 M(x，y)，A(x0,0)，B(0，y0)，由OM 35OA 25OB，得(x，y)35(x0,0)25(0，y0)，则x35x0，y25y0，解得x053x，y052y，由|AB|5，得53x 252y 225，化简得x29y241
5、.二、填空题6已知ABC 的顶点 B(0,0)，C(5,0)，AB 边上的中线长|CD|3，则顶点 A的轨迹方程为_(x10)2y236(y0)设 A(x，y)，则 Dx2，y2.|CD|x25 2y243，化简得(x10)2y236，由于 A，B，C 三点构成三角形，A 不能落在 x 轴上，即 y0.7一条线段的长等于 6，两端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上滑动，P 在线段 AB 上且AP2PB，则点 P 的轨迹方程是_4x2y216 设 P(x，y)，A(a,0)，B(0，b)，则 a2b236.因为AP2PB，所以(xa，y)2(x，by)，所以xa3，y2b3，即a3x
6、，b32y，代入 a2b236，得 9x294y236，即 4x2y216.8已知圆的方程为 x2y24，若抛物线过点 A(1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是_x24y231(y0)设抛物线焦点为 F，过 A，B，O 作准线的垂线 AA1，BB1，OO1，则|AA1|BB1|2|OO1|4，由抛物线定义得|AA1|BB1|FA|FB|，所以|FA|FB|4，故 F 点的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆(去掉长轴两端点)所以抛物线的焦点轨迹方程为x24y231(y0)三、解答题9已知动点 M 到定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4
7、2.(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程；(2)设 N(0,2)，过点 P(1，2)作直线 l，交曲线 C 于不同于 N 的两点 A，B，直线 NA，NB 的斜率分别为 k1，k2，求 k1k2 的值解(1)由椭圆的定义，可知点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点，4 2为长轴长的椭圆由 c2，a2 2，得 b2.故动点 M 的轨迹 C 的方程为x28y241.(2)当直线 l 的斜率存在时，设其方程为 y2k(x1)，由x28y241，y2kx1得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.4k(k2)24(12k2)(2k28k)0，则 k0 或 k47.设 A(x1，y1)，B(x2，y
8、2)，则 x1x24kk212k2，x1x22k28k12k2.从而 k1k2y12x1 y22x22kx1x2k4x1x2x1x22k(k4)4kk22k28k 4.当直线 l 的斜率不存在时，得 A1，142，B1，142，所以 k1k24.综上，恒有 k1k24.10.如图，P 是圆 x2y24 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影是点 D，点 M 满足DM 12DP.(1)求动点 M 的轨迹 C 的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点 N(3,0)的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A，B，求以 OA，OB 为邻边的平行四边形 OAEB 的顶点 E 的轨迹方程解(1)
9、设 M(x，y)，则 D(x,0)，由DM 12DP 知，P(x,2y)，点 P 在圆 x2y24 上，x24y24，故动点 M 的轨迹 C 的方程为x24y21，且轨迹 C 为椭圆(2)设 E(x，y)，由题意知 l 的斜率存在，设 l：yk(x3)，代入x24y21，得(14k2)x224k2x36k240，(*)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2 24k214k2，y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k 24k314k26k6k14k2.四边形 OAEB 为平行四边形，OE OA OB(x1x2，y1y2)24k214k2，6k14k2，又OE(x，y)，x
10、 24k214k2，y 6k14k2，消去 k，得 x24y26x0，由(*)中(24k2)24(14k2)(36k24)0，得 k215，0 x83.顶点 E 的轨迹方程为 x24y26x00 x4，且|QA|QM|PM|4|MA|，所以 Q 点的轨迹是以 M，A 为焦点的双曲线，见图(1)当 A 在圆 M 内，且与 M 不重合时，|MA|MA|，所以 Q 点的轨迹是以 M，A 为焦点的椭圆，见图(2)当 A 在圆 M 上时，l 过定点 M，l 与 PM 的交点 Q 就是点 M，所以点 Q 的轨迹就是一个点，见图(3)当 A 与 M 重合时，l 与 PM 的交点 Q 就是 PM 的中点，所以
11、点 Q 的轨迹就是圆，见图(4)综上所述，Q 点的轨迹可能是四种(2)因为 A(5,0)在圆 M 内，由(1)知，点 Q 的轨迹是以 M，A 为焦点的椭圆，且|MA|22c，|MP|42a，所以 b 3，由椭圆的几何性质可知，Q 为短轴端点时，SMQA 最大，所以 SMQA 的最大值为122cb 3.1(2019安庆模拟)如图，斜线段 AB 与平面 所成的角为 60，B 为斜足，平面 上的动点 P 满足PAB30，则点 P 的轨迹是()A直线B抛物线C椭圆D双曲线的一支C 可构造如图所示的圆锥母线与中轴线夹角为 30，然后用平面 去截，使直线 AB 与平面 的夹角为 60，则截口为 P 的轨迹
12、图形，由圆锥曲线的定义可知，P 的轨迹为椭圆故选 C.2(2019济南模拟)曲线 C 是平面内与两个定点 F1(2,0)和 F2(2,0)的距离的积等于常数 a2(a24)的点的轨迹给出下列三个结论：曲线 C 过坐标原点；曲线 C 关于坐标原点对称；若点 P 在曲线 C 上，则F1PF2 的面积不大于12a2.其中，所有正确结论的序号是_ 因为原点 O 到两个定点 F1(2,0)，F2(2,0)的距离的积是 4，又 a24，所以曲线 C 不过原点，即错误；设动点 P 在曲线 C 上，因为 F1(2,0)，F2(2,0)关于原点对称，所以|PF1|PF2|a2 对应的轨迹关于原点对称，即正确；因为 SF1PF212|PF1|PF2|sinF1PF212|PF1|PF2|12a2，即F1PF2 的面积不大于12a2，即正确
