1、专题3.3 函数的奇偶性与周期性【考纲解读与核心素养】1理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性，了解函数的周期性.2培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.3. 高考预测：（1）判断函数的奇偶性与周期性；（2）函数的奇偶性、周期性，通常与抽象函数、函数的图象以及函数的单调性结合考查，常结合三角函数加以考查4.备考重点：（1）抽象函数的奇偶性与周期性；（2）利用奇偶性与周期性求参数取值范围；（3）函数性质的综合应用问题.【知识清单】1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴
2、对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称2函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【典例剖析】高频考点一 ：函数奇偶性的判断【典例1】（广东省高考真题（理）设函数和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A+|g(x)|是偶函数B-|g(x)|是奇函数C|
3、 +g(x)是偶函数D|- g(x)是奇函数【答案】A【解析】由题设知:于是有，.【典例2】（2019北京高考模拟（理）下列函数中为偶函数的是( )ABCD【答案】B【解析】对于A，f（x）x3x（x3x）f（x），是奇函数.对于B，f（x）（x）24x24f（x），是偶函数.C、D是非奇非偶函数，所以，选B.【知识拓展】(1)奇、偶函数定义域的特点由于f(x)和f(x)须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)奇、偶函数的对应关系的特点奇函数有f(x)f(x)f(x)f(x)01(f(x)0)；偶函数有f(x)f(x)f(x
4、)f(x)01(f(x)0)(3)函数奇偶性的三个关注点若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空集合；函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数(4)奇、偶函数图象对称性的应用若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；若一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数【变式探究】1.（2019天津耀华中学高三月考）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）ABCD【答案】D【解析】易知和为奇函数，为偶函数.令，则，即且.所以为非
5、奇非偶函数.故选D.2.已知函数f(x)x的图象经过点(2,1).(1)求a的值；(2)判断f(x)的奇偶性【答案】(1)a2；(2)f(x)为奇函数【解析】 (1)点(2,1)在函数f(x)的图象上，12，a2.(2)由(1)知f(x)x，定义域为(，0)(0，)关于原点对称f(x)xx(x)f(x)，函数f(x)为奇函数高频考点二：函数奇偶性的应用【典例3】（2019全国高考真题（文）设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)=，则当x0时的图象 (1)由题意作出函数图象如图：(2)据图可知，单调增区间为(1,0)，(1，)【规律方法】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性
6、与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解（4）应用奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称【变式探究】1.（2020山西省高三其他（文）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】，由的解析式可知，在上是奇函数且单调递增，为偶函数，当时，有，任取，则，由不等式的性质可得，即，所以，函数在上递增再由，
7、得，得即，解得故选：B2. (2019哈尔滨六中二模)定义在R上的奇函数f(x)满足ff(x)，当x时，f(x)log (1x)，则f(x)在区间上是()A减函数且f(x)0B减函数且f(x)0C增函数且f(x)0 D增函数且f(x)0【答案】D【解析】当x时，由f(x)log (1x)可知f(x)单调递增且f(x)0，又函数为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)0，故选D.3.（2019山东高考模拟（理）已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满足.若，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为对,满足，所以当时，是单调递减函数，又因为为偶函数，所以关于对称，所以函数当时，是增函数，又因为，所以有，当时，即当时，当时，即当时，综上所述：不等式的解集为，故本题选A.4.（2020广西壮族自治区南宁三中高三月考（文）定义在上的奇函数满足，当时，则在上( )A是减函数，且B是增函数，且C是减函数，且D是增函数，且【答案】B【解析】定义在上的奇函数满足，即函数周期是4.在上的图象和在上的图象相同，当时，此时单调递增，且.是奇函数，当时，单调递增，且，即当时，单调递增，且，故选:B.
