1、华中师大一附中20122013学年度上学期高三期中检测数学试题和答案（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）=（ D ） A B2 C2 D+22“”是“sin”的（ B ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件3设集合 ，则等于（ C ）A B C D 4设是等差数列的前n项和，若，则 （ A ）A B C D5若两个非零向量，满足，则向量与的夹角为（ C ）A B C D6ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为，若，则sinBsinC的取值范围是（ B ） A B（， C，1）
2、 D，1）7设正项等差数列的前n项和为，若，则的最小值为（ B ）A1 B2 C4 D88关于实数的方程，其中都是非零平面向量且不共线，则该方程解的情况是（ A ）A至多有一个解 B至少有两个解 C至多有两个解 D可能有无数个解9已知函数 若，90180，则的大小关系是（ C ）A B C D10已知，若方程在（0,2）上有两个解，则的取值范围为（ C ）A B C D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11函数=cos（x+）cosx的图像的相邻两对称轴之间的距离是_12.已知，如果BAC是钝角，则的取值范围是_13某资料室使用计算机给文件编码，编码以一定的规律排列，如下表所示
3、从左至右以及从上到下都是无限的，此表中主对角线上的数列的通项_111111123456135791114710131615913172114.设函数，根据如图所示的程序框图，输出的结果是 15已知函数满足，且分别是上的偶函数和奇函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_三、解答题：(本大题共有6小题，共75分)16（本题满分10分）已知向量，设为“”为“”若为的充分条件，求实数的取值范围解：= 当时， 又 若为的充分条件，则 17（本题满分12分）在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案第一种方案是每年年末(12月底)加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加
4、1000美元；第二种方案是每半年(6月底和12月底)各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300美元，请选择一种根据上述条件，试问：(1)如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？(说明理由)(2)如果第二种方案中的每半年加300美元改成每半年加美元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？解：(1)第10年末，依第一方案得：(美元) 依第二方案得 (美元) (美元)在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000美元5分(2)第年末，依第一方案，得：(美元) 依第二方案，得： 8分 由题意： 对所有正整数恒成立即 ，总是第
5、二方案加薪多 11分答：当美元时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪. 18（本题满分12分）在锐角中，角的对边分别为，且求的值；若，的面积为，求的值解：（1）由正弦定理得： 又为锐角三角形， 又 （2） （1） 又，由余弦定理得： （2） 由（1）（2）解得： 19(本小题满分13分)已知函数(1) 求函数的单调区间；(2) 当时，求函数在上最小值.解： (1) (), 1分当a 0时，0， 故函数为增函数，即函数的单调递增区间为 3分当时，令，可得,当时，；当时，故函数的单调递增区间为,单调递减区间是. 6分(2)当,即时,函数在区间1,2上是减函数,的最小值是. 8分 当，即时，函
6、数在区间1,2上是增函数，的最小值是. 10分当，即时，函数在上是增函数，在是减函数所以的最小值产生于与之间，又，当时,最小值是；当时,最小值为. 12分综上所述,当时, 函数的最小值是；当时，函数的最小值是 13分20（本题满分14分）已知数列的首项，前n项的和为，且对任意的，总是 与的等差中项（1）求证：数列是等比数列，并求通项；（2）证明：；（3）若分别为数列的前项和问：是否存在正整数，使得若存在，请求出所有的值；若不存在，请说明理由证：（1）当时，即故（）又，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列。 （2）由（1）知： 要证： 即证： 而： 所以原不等式成立。 （3） 当时， 当时，当时，当时， 当时， 因此存在正整数，使得，且所有的集合为 21（本题满分14分）设函数（1）曲线在点处的切线与轴平行，求实数的值；（2）求证：；（3）求证：解：（1）由，得由于曲线在点处的切线与轴平行，所以 因此： （2）因为等价于等价于令设 则= 当时，0,所以在上单调递减，又因为=0，所 以当时，恒有=0,即恒成立。 取，则有 即 上单调递增，= = 又在上单调递减，= = = = 2
