1、宁夏银川市第一中学2021届高三数学上学期第二次月考试题 理（含解析）一、选择题1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的性质先求出集合B，再利用交集的定义计算即可【详解】解：由的，又则故选：A【点睛】本题考查交集的运算，考查对数不等式，是基础题要注意对数函数的定义域和单调性的应用.2. 如果，那么下列不等式成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别作出角的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，在单位圆中分别作出的正弦线、余弦线、正切线，很容易地观察出，即.故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应
2、用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.3. 要将函数变成，下列方法中可行的有（ ）将函数图象上点的横坐标压缩一半 将函数图象上点的横坐标伸长一倍将函数的图象向下平移一个单位 将函数的图象向上平移一个单位（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由于的解析式有和两种形式，可知如何变换得到以上两种形式，即可确定选项【详解】由，其函数还可写成：(1)变成：将函数图象上点的横坐标压缩一半(2) 变成：将函数的图象向上平移一个单位故选：B【点睛】本题考查了通过函数解析式判断函数平移伸缩变换的方式
3、，注意：自变量前有系数：a、大于1：横向压缩；b、小于1：横向伸长；系数为1的自变量后加上一个正数：向左平移；减去一个正数：向右平移；函数式前有系数：a、大于1：纵向伸长；b、小于1：纵向压缩；函数式后加上一个正数：向上平移；减去一个正数：向下平移4. 1626年，阿贝尔特格洛德最早推出简写的三角符号：、（正割），1675年，英国人奥屈特最早推出余下的简写三角符号：、（余割），但直到1748年，经过数学家欧拉的引用后，才逐渐通用起来，其中，.若，且，则（ ）.A. B. C. 0D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可得，然后使用二倍角的正弦、余弦公式以及齐次化化简可得，进一步求得，最后根据
4、二倍角的正切公式计算即可.【详解】，解得或.又，则，故选：D.【点睛】本题考查弦切互换以及齐次化化简，还考查二倍角公式的应用，着重考查对公式的记忆，属基础题5. 已知角和角的终边垂直，角的终边在第一象限，且角的终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据任意角的三角函数定义求出，再根据诱导公式可求得结果.【详解】由已知得，所以，所以由任意角的三角函数定义可知，所以.故选：B.【点睛】本题考查了任意角的三角函数定义，考查了诱导公式，属于基础题.6. 设函数（e为自然底数），则使成立的一个充分不必要条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据
5、，得到，解得，再根据充分不必要条件要求满足真包含关系，从而求得结果.【详解】，解得：，观察选项，只有是的真子集，又“”可以推出“”所以“”是“”充分不必要条件.故选：A【点睛】该题考查的是有关充分不必要条件的判断，在解题的过程中，要掌握利用集合间的真包含关系求得结果，属于基础题目.7. 已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以.因为，所以，所以 ，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有
6、同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.8. 已知定义在上的奇函数，对任意实数，恒有，且当时，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出函数的周期为，求出的值即得解.【详解】由题得，所以函数的周期为.由题得，所以，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查函数周期的判断和应用，考查函数的奇偶性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. 已知函数，则以下结论错误的是（ ）A. 为偶函数B. 的最小正周期为C. 的最大值为2D. 在上单调递增【答案】C【解析】【分析】利用证得为偶函数，由此判断A选项正确.利用求得的最小正周期，由此判断B
7、选项正确.利用的解析式，求得的最大值，由此判断C选项错误.利用三角函数单调性的判断方法，判断D选项正确.【详解】由题知，则A选项，A选项正确.B选项，所以的最小正周期为，B选项正确.C选项，由知，所以选项C不正确.D选项，当时，由解得（），令可得，所以在上单调递增，所以D选项正确.综上所述，不正确的选项为C.故选：C【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、单调性、周期性、最值等知识，属于中档题.10. 已知函数，曲线在处的切线的方程为，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先根据导数的几何意义可知，由此可得，再根据切点即在曲线上，又在切
8、线上，可得，可得，求出切线方程，再分别令，求出切线在轴和轴上的截距，再根据面积公式即可求出结果.【详解】由得，则，得，由得加，即，切线的方程为，令，得到，令，得到，所求三角形面积为.故选：B.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.11. 已知函数是偶函数，则的值可能是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】当时，得到，得到答案.【详解】当时，函数为偶函数，故，即，即，对比选项知C满足.故选：C.【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，意在考查学生的计算能力和对于函数性质的灵活运用.12. 设函数，若关于x的不等式有且只有一个整数解，则实数a的取值范围为（
9、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把不等式只有一个整数解，转化为只有一个整数解，令，根据导数求得函数的单调性和极值，结合图象，即可求解实数a的取值范围.【详解】因为只有一个整数解，即只有一个整数解，令，则的图象在直线的上方只有一个整数解，又由，当时，单调递增；当时，单调递增；且，作出的图象，由图象可知a的取值范围为，即.故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的图象及应用，其中解答中把不等式的解转化为只有一个整数解，结合导数得到函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13. 正弦函数在上的图象与轴所围成曲边梯形的面积为_.【答案】【解析】
10、【分析】由题意可知，再根据定积分的运算法则求解即可【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查定积分在求不规则图形面积上的应用，熟练掌握定积分的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题14. 已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形半径为_【答案】2【解析】【分析】将圆心角化为弧度制，再利用扇形面积得到答案.【详解】圆心角为扇形的面积为故答案为2【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于简单题.15. 在处取得极值，则_.【答案】【解析】【分析】对求导，代入，使得，变形整理得到，利用三角函数的有界性，可得，再利用倍角公式可求【详解】解：由已知，因为在处取得极值，即，因为，即，故答案为：【点睛】本
11、题考查导数的运算，考察三角公式的应用，关键是对的整理变形，考查了学生的因式分解的能力，是一道中档题16. 对于任意实数，当时，有恒成立，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】转化为在上单调递增，再利用导数可得到结果.【详解】当时， 恒成立等价于恒成立，等价于在上单调递增，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为当时，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了转化划归思想，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.
12、如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边做两个锐角，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为（1）求的值； （2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据题意，由三角函数的定义可得 与的值，进而可得出与的值，从而可求与的值就，结合两角和正切公式可得答案；（2）由两角和的正切公式，可得出 的值，再根据的取值范围，可得出的取值范围，进而可得出的值.由条件得cos，cos. ，为锐角， sin，sin.因此tan7，tan.(1) tan()3.(2) tan2， tan(2)1. ，为锐角， 02， 218. 某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业
13、，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于7万件时，（万元）；当年产量不小于7万件时，（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润（万年）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.【答案】（1）；（2）当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元【解析】【分析】（1）根据年利润=年销售收入-固定成本-流动成本，分和两种情况，得到与x的关系式即可
14、；（2）求出两种情况的最大值，作比较即可得到本题答案.【详解】（1）产品售价为6元，则万件产品销售收入为万元.依题意得，当时，当时，.（2）当时，所以当时，的最大值为（万元），当时，当时，单调递增，当单调递减，当时，取最大值（万元），当时，取得最大值11万元，即当年产量约为20万件，该同学的这一产品所获年利润最大，最大利润为11万元.【点睛】本题主要考查利用分段函数解决实际问题，其中涉及到二次函数值域问题以及用导数求最值问题.19. 已知函数.（1）求f(x)的最小正周期及单调递减区间；（2）若(0，)，且f()，求tan()的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅
15、助角公式化简，即可求出最小正周期及单调递减区间；（2）根据条件可以求出，代入即可计算tan().【详解】（1）f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin(4x)，f(x)的最小正周期T，令，得，f(x)的单调递减区间为；（2），(0，)，故，因此.【点睛】本题考查三角恒等变换的应用，属于中档题.20. 已知函数（，为常数），点的横坐标为0，曲线在点处的切线方程为（1）求，的值及函数的极值；（2）证明：当时，【答案】（1），极小值为；无极大值（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求得，再利用导数法求
16、得函数的极值；（2）构造函数，利用导数求得函数的最小值，即可得出结论【详解】（1）由已知代入切线方程得，令得，当时，单调递减；当时，单调递增；所以当时，即为极小值；无极大值（2）令，则，由（1）知在上增函数，即【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，利用导数证明不等式属于中档题.21. 已知函数，是的导数，且（1）证明：在区间上存在唯一的零点；（2）证明：对任意，都有【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用求导运算法则求得的函数表达式，然后利用导数研究其单调性，结合零点存在定理证明；（2）移项，构造函数，转化为证明恒成立，求得其导函数，研究函数的单调性，并根据零
17、点存在定理确定的零点的范围，进而确定的正负情况，从而得到的单调性，进而得到的最小值关于的函数表达式，然后利用基本不等式即可证明，从而证得原不等式.【详解】证明：，则，故在区间上单调递减又，所以在区间上存在唯一零点（2）要证，即证，令，则令，所以在单调递增，所以存在唯一的，使得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增故因为，所以，所以即恒成立，综上所述对任意，都有.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，利用导数证明不等式问题，关键在于导数和零点存在定理的综合应用.22. 已知曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)（1）求曲
18、线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）设点，若直线l与曲线C交于A、B两点，且，求实数m的值.【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）在极坐标方程是的两边分别乘以，再根据极坐标与直角坐标的互化公式及即可得到曲线的直角坐标方程；消去直线的参数方程中的参数得到直线的在普通方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，由直线参数方程中参数的几何意义构造的方程，进一步解的答案.【详解】（1）由，得， ，代入得：， 曲线C的普通方程为，即： 由l的参数方程(为参数，消去参数t得：. 当时，得， 在直线l上，将l参数方程代入曲线C的普通方程得： 化简得：. 设以上方程两根为，由解得： 由参数t的几何意义知，得或，解得(舍去或,【点睛】考点：本题主要考查参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化，同时考查直线的参数方程中参数的几何意义，属于中档题23. 已知函数（1）若，求的取值范围；（2）当时，函数的值域为，求的值【答案】（1）；（2）1或2【解析】【分析】（1），即可得的取值范围是；（2）对分类讨论，由单调性即可得的单调性【详解】解：（1），得即，故的取值范围（2）当时，函数在区间上单调递增则，得，得当时，则，得，得综上所述，的值是1或2【点睛】本题考查了绝对值不等式，属于中档题
