1、高考资源网（） 您身边的高考专家第3课时余弦定理、正弦定理应用举例知识点实际问题中的相关概念1基线在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线一般来说，基线越长，测量的精确度越高2仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，把视线在水平线上方的角称为仰角，视线在水平线下方的角称为俯角如图(1)3方向角从指定方向到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.如图(2)4方位角指从正北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角如方位角是45，指北偏东45，即东北方向5视角观察物体的两端，视线张开的夹角，如图(3)1解三角形应用题的步骤(1)读懂题意，理解问题的实际
2、背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形的模型(3)选择正弦定理或余弦定理求解(4)将三角形的解还原为实际问题的解，注意实际问题中的单位、近似计算要求2解三角形在实际测量中的常见问题(1)距离问题(2)高度问题(3)角度问题测量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根据需要得出所求的角3解决问题的策略(1)测量高度问题策略“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面将空间问题转化为平面问题，利用“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思想(2)
3、测量角度问题策略测量角度问题主要指在海上或空中测量角度的问题，如确定目标的方位，观察某一建筑物的视角等，解决它们的关键是根据题意和图形的有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求量(3)测量距离问题策略选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)仰角与俯角都是与铅垂线所成的角()(2)方位角的范围是(0，)()(3)两个不能到达的点之间无法求两点间的距离()答案(1)(2)(3)2做一做(1)如图所示，OA
4、，OB的方向角分别是_(2)A，B两点间有一小山，选定能直接到达点A，B的点C，测得AC60 m，BC160 m，ACB60，则A，B两点间的距离为_(3)身高为1.70米的李明站在离旗杆20米的地方，目测该旗杆的高度，若李明此时的仰角为30，则该旗杆的高度约为_米(精确到0.1)(4)如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，测量者在A点所在的岸边选定一点C，测出AC60 m，BAC75，BCA45，则A，B两点间的距离为_答案(1)北偏东60，北偏西30(2)140 m(3)13.2(4)20 m题型一 两点间有一点不可到达的距离问题例1(1)如图，A，B两点之
5、间隔着一座小山，现要测量A，B两点间的距离，选择在同一水平面上且均能直线到达的C点，经测量AC50 m，BC40 m，B在C北偏东45方向上，A在C西偏北15方向上，求AB的长；(2)如图，某河岸的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得CAB75，CBA45，且AB100米求该河段的宽度解(1)依题意知ACB120，AC50 m，BC40 m，应用余弦定理得AB10，故AB的长为10 m.(2)在CAB中，ACB180754560，由正弦定理得，于是BC(3)于是河段的宽度为dBCsinCBA(3)(米)条件探究把本例(1)中“经测量AC50
6、m，BC40 m”改为“经测量CAB30，BC40 m”，又如何求A，B之间的距离？解解法一：ACB120，CAB30，CBA30，BC40 m，AC40 m.AB2AC2BC22ACBCcos120402402240404800，AB40(m)解法二：由正弦定理，得，AB40(m)三角形中与距离有关问题的求解策略(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应
7、用正、余弦定理来解决如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？解在ABC中，BC30海里，B30，ACB135，BAC15，由正弦定理，即，AC15()(海里)，A到直线BC的距离为dACsin4515(1)40.98海里38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险.题型二 两点都不能到达的两点间距离问题例2如图所示，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取相距千米的C，D两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同
8、一平面内)，求两目标A，B之间的距离解在ACD中，ADC30，ACD120，CAD30，ACCD.在BDC中，CBD180457560，由正弦定理，得BC.由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosBCAAB2()222cos755.AB(千米)故两目标A，B间的距离为千米求距离问题的注意事项(1)选定或确定所求量所在的三角形若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观
9、测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为_ m.答案900解析PAB90，PAQ60，BAQ30，在ABQ中，PBAPBQ60，ABQ120，又BAQ30，AQB1801203030，由正弦定理，得，AQ900(m)在RtABP中，解得AP900(m)AQAP900(m)，又PAQ60，APQ是等边三角形，PQ900(m)，P，Q两点间的距离为900 m.题型三 测量高度问题例3如图所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为，在塔底C处测得A处的俯角为.已知铁塔BC部分的高为h，求山高CD解在ABC中，BCA90，ABC90，BAC，CAD.根据正弦定理，得，
10、即，AC.在RtACD中，CDACsinCADACsin.即山的高度为.(1)解决实际问题时，通常是从实际问题中抽象出一个或几个三角形，先解够条件的三角形，再利用所得结果解其他三角形(2)测量高度的方法对于底部不可到达的建筑物的高度测量问题，由于不能直接通过解直角三角形解决，可通过构造含建筑物高度的三角形用正、余弦定理解决如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D现测得BCD，BDC，CDs，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB解在BCD中，BCD，BDC，CBD，由正弦定理，得，BC，在RtABC中，ABBCtanACB.题型四 测量角度问题例4如图所示，在
11、海岸A处发现北偏东45方向，距A处(1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30方向逃窜问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD10t海里，BD10t海里在ABC中，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosA(1)2222(1)2cos1206，BC海里又，sinABC.ABC45，B点在C点的正东方向上，CBD9030120.在BCD中，由正弦定理，得.sinBCD.
12、BCD30，缉私船应沿北偏东60的方向行驶又在BCD中，CBD120，BCD30，D30.BDBC，即10t，t小时15分钟缉私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出求救信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以10海
13、里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间解设所需时间为t小时，在ABC中，根据余弦定理，有AB2AC2BC22ACBCcos120，可得(10t)2102(10t)221010tcos120，整理得2t2t10，解得t1或t(舍去)故护航舰需1小时靠近货船此时AB10，BC10，又AC10，所以CAB30，所以护航舰航行的方位角为75. 1在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶A与塔底B的俯角分别是30，60，则塔高AB()A200 m B m C m D100 m答案C解析设ABx，则(200x)tan60200tan30，解得x.2某次测量中，A在B的北偏东55方向上
14、，则B在A的()A北偏西35方向上 B北偏东55方向上C南偏西35方向上 D南偏西55方向上答案D解析根据题意和方向角的概念画出草图，如图所示已知55，则55.所以B在A的南偏西55方向上故选D3一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60方向上，另一灯塔在船的南偏西75方向上，则这艘船的速度是每小时()A5 n mile B5 n mileC10 n mile D10 n mile答案C解析如图，依题意有BAC60，BAD75，CADCDA15，从而CACD10.在RtABC中，求得AB5，这艘船的速度是10
15、(n mile/h)4如图所示，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物点C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度CD为_答案60 m解析由三角形的内角和定理知ACB75，即ABCACB，所以ACAB120，在RtACD中，CAD30，则CDAC60(m)5某海轮以30海里/小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离解如图，在ABP中，AB3020，APB30，BAP120，由正弦定理，得，即，解得BP20.在BPC中，BC3040，由已知，得PBC90，PC 20(海里)P，C间的距离为20海里- 11 - 版权所有高考资源网
