1、-1-3.5.2 简单线性规划-2-3.5.2 简单线性规划 目标导航 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 1.体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用,会求解简单的线性规划问题.2.经历在线性约束条件下,求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程,提高用线性规划解决实际问题的能力.-3-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 线性规划中的基本概念 名称
2、 定义 目标函数 要求最大值或最小值的函数,叫做目标函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性目标函数 如果目标函数是关于变量的一次函数,则称为线性目标函数 线性约束条件 如果约束条件是关于变量的一次不等式(或等式),则称为线性约束条件 线性规划问题 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值或最小值问题,称为线性规划问题 -4-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 名称 定义 最优解 使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标,称为问题的最优解 可行
3、解 满足线性约束条件的解,叫做可行解 可行域 由所有可行解组成的集合叫做可行域 名师点拨1.线性约束条件包括两点:一是关于变量x,y的不等式(或等式),二是次数为1.2.目标函数与线性目标函数的概念不同,线性目标函数在变量x,y的次数上做了严格的限定:一次解析式,即目标函数包括线性目标函数和非线性目标函数.3.可行解必须使线性约束条件成立,而可行域是所有的可行解构成的一个区域.-5-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做1】目标函数z=2x-y,将其看成
4、直线方程时,z的意义是()A.该直线的截距B.该直线的纵截距 C.该直线纵截距的相反数D.该直线的横截距 解析:y=2x-z,故z的意义是该直线纵截距的相反数.故选C.答案:C-6-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航【做一做2】设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y-2x的最小值为()A.-7B.-4C.1D.2 解析:作约束条件所表示的可行域,如图所示,z=y-2x可化为y=2x+z,z表示直线在y轴上的截距,截距越大z越大,作直线l0:y=2x,平移l
5、0,当直线过点A(5,3)时,z取最小值,且为-7,故选A.3+-6 0,-2 0,-3 0,3+-6 0,-2 0,-3 0,答案:A -7-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 一 二 一、图解法求最值的实质 剖析:设目标函数为 z=Ax+By+C(AB0),由 z=Ax+By+C,得 y=-x+-.这样,二元一次函数就可以视为斜率为-,在 y 轴上截距为-,且随z变化的一族平行线.于是,把求z的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时,直线在y轴
6、上的截距的最大值和最小值的问题.当B0时,z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大;当B0),若当z取最大值时对应的点有无数多个,求a的值.-4 -3,3+5 25,1.解:由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示.一般情况下,当z取最大值时,直线所经过的点都是唯一的,但若直线平行于边界直线,如图所示,即直线z=ax+y(a0)平行于直线AC,则直线经过线段AC上任意一点时,z均取得最大值,此时满足条件,即有无数多个点使函数取得最大值.-17-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUX
7、I典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型四 题型五 题型三 题型六 分析知,当直线y=-ax+z刚好移动到直线AC时,将会有无数多个点使函数取得最大值.又由于 kAC=4.4-21-5=-35,即-a=-35,故 a=35.-18-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 非线性目标函数的最值问题 【例 3】已知-+2 0,+-4 0,2-5 0,求:(1)z=x2+y2-10y+25 的最小值;(2)z=2+1+
8、1 的取值范围.分析:(1)中 z=x2+y2-10y+25=(x-0)2+(y-5)2 的几何意义为平面区域内的点(x,y)到(0,5)的距离的平方;(2)z=2+1+1=2-12-(-1)的几何意义为平面区域内的点(x,y)与-1,-12 连线斜率的 2 倍.关键是将目标函数进行变形找到几何意义,再利用数形结合知识求解.-19-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 解:作出可行域,如图阴影部分所示.可求得A(
9、1,3),B(3,1),C(7,9).-20-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六(1)z=x2+(y-5)2 表示可行域内任一点(x,y)到点 M(0,5)的距离的平方,过点 M 作 MNAC 于 N,则|MN|=|0-5+2|1+(-1)2=3 2=3 22.所以|MN|2=92,所以 z=x2+y2-10y+25 的最小值为92.(2)z=2-12-(-1)表示可行域内点(x,y)与定点 Q-1,-12 连
10、线斜率的 2倍.因为 kQA=74,kQB=38,故 z 的取值范围是 34,72.-21-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 反思 1.对形如 z=(x-a)2+(y-b)2 型的目标函数均可化为求可行域内的点(x,y)与点(a,b)间的距离的平方的最值问题.2.对形如 z=+(ac0)型的目标函数,可先变形为 z=-的形式,将问题转化为求可行域内的点(x,y)与-,-连线斜率的倍的范围、最值等,注意斜率不存
11、在的情况.3.z=|Ax+By+C|可转化为点(x,y)到直线 Ax+By+C=0 的距离的 2+2倍.-22-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六【变式训练 3】设 x,y 满足条件-+5 0,+0,3.求:(1)u=x2+y2 的最大值与最小值;(2)v=-5的最大值与最小值.解:(1)令t=x2+y2,则对t的每个值,x2+y2=t表示一族同心圆(圆心为原点O),且对同一圆上的点,x2+y2的值都相等.由图
12、可知:-23-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 当(x,y)在可行域内取值时,当且仅当圆过C点时,u最大,过(0,0)时u最小.又C(3,8),所以umax=73,umin=0.(2)v=-5表示可行域内的点 P(x,y)到定点 D(5,0)的连线的斜率,由图可知,kBD最大,kCD最小.又C(3,8),B(3,-3),所以 vmax=-33-5=32,vmin=83-5=-4.-24-3.5.2 简单线性规
13、划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 简单的线性规划问题【例4】某校伙食长期以面粉和大米为主食,面食每100克含蛋白质6个单位,含淀粉4个单位,售价0.5元,米饭每100克含蛋白质3个单位,含淀粉7个单位,售价0.4元,学校要求给学生配制盒饭,每盒盒饭至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉,问应如何配制盒饭,才既科学又费用最少?分析:根据实际问题中的已知条件,找出约束条件和目标函数,再用图解法解之.先作可行域,再作出初始直线l0,通
14、过向上或向下平移直线l0至可行域的边界点,便得最优解,再进一步求最值.-25-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 解:设每盒盒饭需要面食x百克,米饭y百克,所需费用为 z=0.5x+0.4y,且 x,y 满足 6+3 8,4+7 10,0,0,作出可行域,如图阴影部分所示.令z=0,作直线l0:0.5x+0.4y=0,即直线5x+4y=0.由图形可知,把直线l0平移至过点A时,z取最小值.-26-3.5.2 简
15、单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 由 6+3=8,4+7=10,得 A 1315,1415.答:每盒盒饭为面食1315百克,米饭1415百克时既科学又费用最少.反思1.在线性规划应用问题中,常常是题中的条件较多,因此认真审题非常重要.2.线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断.3.结合实际问题,分析未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、非负数等.4.分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等式,而线性目
16、标函数却是一个等式.5.图对解决线性规划问题至关重要,关键步骤基本上都是在图上完成的,所以作图应尽可能准确,图上操作尽可能规范.但作图中必然会有误差,假如图上的最优点不容易看出时,需将几个有可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检查,以确定最优解.-27-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六【变式训练4】某工厂投资生产A产品时,每生产一百吨需要资金200万元,需场地200平方米,可获得利润300万元;投资生产B产品
17、时,每生产一百吨需要资金300万元,需场地100平方米,可获利润200万元.现某单位可使用资金1 400万元,场地900平方米,问应做怎样的组合投资,可使获利最大?分析:这是一个线性规划问题,可将题中数据整理成下表,设未知数列出约束条件和目标函数,最后作图求解.资金(百万元)场地(百平方米)利润(百万元)A 产品(百吨)2 2 3 B 产品(百吨)3 1 2 限制 14 9 -28-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
18、题型六 解:设生产A产品x百吨,生产B产品y百吨,利润为S百万元,则约束条件为 2+3 14,2+9,0,0.目标函数 S=3x+2y.作出可行域(如图阴影部分所示),-29-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型六 将目标函数 S=3x+2y 变形为 y=-32x+2,这是斜率为-32,随 S 变化的一族平行直线.2是直线在 y 轴上的截距,当2最大时,S 最大,但直线要与可行域相交.由图知,使3x+2y取得最大值
19、的(x,y)是两直线2x+y=9与2x+3y=14的交点M(3.25,2.50).此时Smax=33.25+22.50=14.75.答:生产A产品3.25百吨,生产B产品2.50百吨时,获利最大,且最大利润为14.75百万元.-30-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型六 最优整数解的问题【例5】某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元
20、/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为()A.31 200元B.36 000元 C.36 800元D.38 400元 解析:设需A,B型车分别为x,y辆(x,yN),则 x,y 需满足 36+60 900,+21,-7,N,N,-31-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型六 设租金为z,则z=1 600 x+2 400y,画出可行域如图,根据线性规划中截距问题
21、,可求得最优解为x=5,y=12,此时z最小等于36 800,故选C.答案:C 反思如果要求最优整数解,可先求出线性规划的最优解,若它是整数解,则问题解决;若不是,要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解,可通过精确作图,打网格的办法求得.-32-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型六【变式训练5】配制A,B两种药剂,需要甲、乙两种原料,已知配一剂A种药需甲料3毫克,乙料5毫克;配一剂B种药需甲料5毫克,乙料
22、4毫克,今有甲料20毫克,乙料25毫克,若A,B两种药至少各配一剂,问共有多少种配制方法?若A种药价值10元,B种药价值20元,则配出的药价值最大为多少?解:设 A,B 两种药分别配 x,y 剂,由题意得 ,N+,1,1,3+5 20,5+4 25.上述不等式组的解集是以直线x=1,y=1,3x+5y=20及5x+4y=25为边界所围成的区域内的整点(如图所示),这个区域内的整点为(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1).-33-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGL
23、IANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型六 所以,在至少各配一剂的情况下,共有8种不同的配制方法.由目标函数z=10 x+20y,作直线l:10 x+20y=0,平移直线l过整点(1,3)和(3,2)时,z最大,此时zmax=70(元).-34-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型六 易错辨析 易错点:在解答线性规划实际问题时,因忽视整点的要求而致误
24、【例6】某公司招收男职员x名,女职员y名,x和y需满足约束条件则z=10 x+10y的最大值是 .5-11 -22,2+3 9,2 11,错解:画出可行域如图所示的阴影部分.由 =112,5-11=-22,解得 A 112,92.画直线 10 x+10y=0,平移至过点 A 时,z 取得最大值,故 z 的最大值为 zmax=10112+1092=100.答案:100-35-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 题型四 题型五 题型一 题型二 题型三 题型六 错
25、因分析:本题中的 x,y 分别为男、女职员的人数,因此 x,y 均为自然数.故 A 112,92 并非本题的最优解.正解:画出可行域如错解图.由 =112,5-11=-22,解得 A 112,92.由题意知 x 和 y 必须是自然数,直线 y=-x+10向下平移经过的第一个整点为 B(5,4).故 z=10 x+10y 取得最大值 90.答案:90 -36-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 51若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值
26、和最小值分别为()A.4和3 B.4和2 C.3和2 D.2和0 解析:画出可行域如图阴影部分所示.画出直线2x+y=0,并向可行域方向移动,当直线经过点(1,0)时,z取最小值.当直线经过点(2,0)时,z取最大值.故zmax=22+0=4,zmin=21+0=2.答案:B +2,1,0,-37-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 52设E为平面上以三点A(4,1),B(-1,-6),C(-3,2)为顶点的三角形区域(包括边界),则z=4x
27、-3y,(x,y)E的最大值与最小值分别为()A.14,-18B.-14,-18 C.18,14 D.18,-14 解析:当动直线z=4x-3y通过点B时,z取最大值,通过点C时,z取最小值,即zmax=4(-1)-3(-6)=14,zmin=4(-3)-32=-18.答案:A-38-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 53已知变量x,y满足则z=3x+y的最大值是 .答案:16 ,+2,2-4,-39-3.5.2 简单线性规划 ZHISHI
28、SHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 54已知变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.若目标函数z=ax+y(其中a0)仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为 .解析:变量x,y满足约束条件1x+y4,-2x-y2.在直角坐标系中画出可行域,如图阴影部分所示,得四边形ABCD,其中A(3,1),kAD=1,kAB=-1,目标函数z=ax+y(其中a0)中的z表示斜率为-a的直线截距的大小,若仅在点(3,1)处取得最大值,则斜率应小于kAB=-1,即-a1,所以a的取
29、值范围为(1,+).答案:(1,+)-40-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 55某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐,已知1个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;1个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果1个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么要满足上
30、述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?解:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意,得z=2.5x+4y,且x,y满足 0,0,N,12+8 64,6+6 42,6+10 54,即 0,0,N,3+2 16,+7,3+5 27.-41-3.5.2 简单线性规划 ZHISHISHULI知识梳理 ZHONGNANJUJIAO重难聚焦 SUITANGLIANXI随堂演练 DIANLITOUXI典例透析 目标导航 1 2 3 4 5作出可行域如图阴影部分所示,画出直线2.5x+4y=0,使其在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在B(4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.
