1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.直线y=kx-k+1与椭圆x29+y24=1的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定答案A解析直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.2.已知椭圆M:x2+y24=经过点(1,2),则M上一点到两焦点的距离之和为()A.2B.22C.4D.42答案D解析由椭圆M:x2+y24=经过点(1,2)可得=2,即椭圆方程为y28+x22=1,则a=22,由椭圆的定义可知M上一点到两焦点
2、的距离之和为2a=42.3.已知04,则双曲线C1:x2sin2-y2cos2=1与C2:y2cos2-x2sin2=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等答案D解析双曲线C1和C2的实半轴长分别是sin 和cos ,虚半轴长分别是cos 和sin ,半焦距都等于1,故选D.4.已知点M(3,y0)是抛物线y2=2px(0p6)上一点,且M到抛物线焦点的距离是M到直线x=p2的距离的2倍,则p等于()A.1B.2C.32D.3答案B解析由抛物线的定义及已知可得3+p2=23-p2.又0p2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.6.已知ab0,椭圆C1的方程为x2a2+
3、y2b2=1,双曲线C2的方程为x2a2-y2b2=1,C1与C2的离心率之积为32,则C2的渐近线方程为()A.x2y=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=0答案A解析设椭圆和双曲线的半焦距为c1,c2,则e1e2=c1ac2a=a2-b2aa2+b2a=a4-b4a2=32,所以ba=22,所以双曲线C2的渐近线方程为y=bax=22x,即x2y=0.7.如图所示,双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于点M,连接MF2,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.6B.3C.2D.5答案B解析将x=c代入双曲
4、线的方程得y=b2a,即Mc,b2a,在RtMF1F2中,tanMF1F2=tan 30=b2a2c,即c2-a22ac=33,解得e=ca=3(负值舍去).8.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”,已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当F1PF2=60时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是()A.3B.2C.233D.2答案A解析设椭圆的长半轴长为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=ca1,a1=ce1.双曲线的实半轴长为a,双曲线的离心率为e,e=ca,a=ce,设|PF1|=x,|PF2|=y(xy0),则4c2=x2+y2-2
5、xycos 60=x2+y2-xy,当P被看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4a12-3xy,当P被看作是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=a12+3a2,即4c2=ce12+3ce2,所以1e12+31e2=4,又1e1=e,所以e2+3e2=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3或e2=1(舍去),所以e=3,即双曲线的离心率为3.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,
6、若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|=432,则曲线C的离心率等于()A.32B.23C.12D.2答案AC解析设圆锥曲线的离心率为e,由|PF1|F1F2|PF2|=432,知(1)若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的定义,得e=|F1F2|PF1|+|PF2|=34+2=12;(2)若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得e=|F1F2|PF1|-|PF2|=34-2=32.综上,所求的离心率为12或32.故选AC.10.若方程x25-t+y2t-1=1所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是()A.若t1,则C为双曲线B.若1t5,则C为椭圆C.若C为双曲线,则焦距为4D.若C为
7、焦点在y轴上的椭圆,则3t5答案AD解析对于A,当t4,t-10,t-10,5-tt-1,解得3tb0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1,椭圆C1的上顶点为M,且MF1MF2=0,双曲线C2和椭圆C1有相同焦点,且双曲线C2的离心率为e2,P为曲线C1与C2的一个公共点,若F1PF2=3,则正确的是()A.e2e1=2B.e1e2=32C.e12+e22=52D.e22-e12=1答案BD解析因为MF1MF2=0且|MF1|=|MF2|,故三角形MF1F2为等腰直角三角形,设椭圆的半焦距为c,则c=b=22a,所以e1=22.在焦点三角形PF1F2中,|PF1|=x,|PF2|=y,
8、双曲线C2的实半轴长为a,则x2+y2-xy=4c2,x+y=22c,|x-y|=2a,故xy=43c2,从而(x-y)2=x2+y2-xy-xy=8c23,所以(a)2=2c23即e2=62,故e2e1=3,e2e1=32,e12+e22=2,e22-e12=1.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=.答案2解析依题意,设抛物线的焦点为F,点Q的横坐标是x0(x00),则|QF|=x0+p2的最小值是p2=1,则p=2.14.过点M(1,1)作斜率为-13的直线l,l与椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交
9、于A,B两点,若AM=MB,则椭圆的离心率为.答案63解析设A(x1,y1),B(x2,y2),AM=MB,则x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=-13,由x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1两式相减,可得(x1+x2)(x1-x2)a2+(y1+y2)(y1-y2)b2=0,可得2a2+2b2-13=0,a2=3b2,则e=ca=1-(ba)2=63.15.如图所示,某桥是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降1 m后,水面宽为米;已知经过上述抛物线焦点且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点,则A,B两点间的距离|AB|=.答案
10、2610解析以拱顶为坐标原点建立直角坐标系,水平向右为x轴正方向,竖直向上为y轴正方向.设抛物线方程为x2=-2py,将点(-2,-2)代入x2=-2py,解得p=1,x2=-2y.水位下降1 m后,设直线y=-3与抛物线的交点为(x0,-3),则有x02=6,解得x0=6,水面宽为26 m.抛物线方程为x2=-2y,焦点0,-12,即直线方程为y=2x-12,联立方程x2=-2y,y=2x-12,得4y2+36y+1=0,有y1+y2=-9,焦点在y轴负半轴,由焦点弦公式得|AB|=-(y1+y2)+p=10.16.若等轴双曲线C的左顶点A、右顶点B分别为椭圆x2a2+1+y2=1(a0)的
11、左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=.答案1解析依题意,椭圆x2a2+1+y2=1(a0)的左、右焦点分别为A(-a,0),B(a,0),所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2.设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y),则直线PA,PB的斜率分别为k1=yx+a,k2=yx-a,所以k1k2=yx+ayx-a=y2x2-a2=1.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)中心在原点,焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=21
12、3,椭圆的长半轴与双曲线的实半轴之差为4,离心率之比为37,求这两条曲线的方程.解设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1,双曲线的方程为x2a22-y2b22=1,半焦距c=13,由已知,得a1-a2=4,ca1ca2=37,解得a1=7,a2=3,所以b12=36,b22=4,所以两条曲线的方程分别为x249+y236=1,x29-y24=1.18.(12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹方程;(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?解(1)由题设点C到点F的距离等于它到l1
13、的距离,知点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,所求轨迹的方程为x2=4y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在,又抛物线方程为x2=4y,当直线l2的斜率为0时,|PQ|=42.当直线l2的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),则有x12=4y1,x22=4y2,两式作差得x12-x22=4(y1-y2),即得k=x1+x24=t2,则直线l2的方程为y-2=t2(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0.由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,|PQ|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=1+t244t2-4(2t
14、2-8)=(8-t2)(4+t2)6,当且仅当8-t2=4+t2,即t=2时,等号成立.即|PQ|的最大值为6.19.(12分)如图,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为A,离心率为12,长轴长为4,椭圆C和抛物线F:y2=2px(p0)有相同的焦点,直线l:x-y+m=0与椭圆交于M,N两点,与抛物线交于P,Q两点.(1)求抛物线F的方程;(2)若点D,E满足AD=AM+AN,AE=AP+AQ,求ADAE的取值范围.解(1)因为椭圆C的离心率为12,长轴长为4,2a=4,ca=12,所以a=2,c=1.因为椭圆C和抛物线F有相同的焦点,所以p2=1,即p=2,所以抛物线F的方程
15、为y2=4x.(2)由(1)知椭圆C:x24+y23=1,由x24+y23=1,x-y+m=0,消去y得7x2+8mx+4m2-12=0,1=64m2-47(4m2-12)0,得m27,-7m0,得m1.设P(x3,y3),Q(x4,y4),则x3+x4=4-2m,所以y3+y4=(x3+x4)+2m=4,所以AE=AP+AQ=(x3+x4+4,y3+y4)=(8-2m,4),所以ADAE=4-8m7,6m7(8-2m,4)=4-8m7(8-2m)+6m74=167m2-967m+32,-7mb0)的离心率为22,点(2,2)在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l
16、与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解由题意,得a2-b2a=22,又点(2,2)在C上,所以4a2+2b2=1,联立,可解得a2=8,b2=4.所以C的方程为x28+y24=1.(2)证明由题意知,直线l的斜率存在且不为0.设直线l:y=kx+m(k0,m0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+m代入x28+y24=1,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.故xM=x1+x22=-2km2k2+1,yM=kxM+m=m2k2+1.所以直线OM的斜率kOM=yMxM=-12k,所以kOMk=-
17、12.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值,该值为-12.21.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分.(1)求直线l的方程;(2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由.解(1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0.设直线AB:x-2=m(y-2),即x=my-2m+2,代入抛物线方程可得y2-8my+16m-16=0.=(-8m)2-4(16m-16)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=8m,由8m=4,得m=12,代入判别式大于0成立.所以直线l的
18、方程为2x-y-2=0.(2)假设C,D两点存在,则可设lCD:y=-12x+n,与抛物线y2=8x联立,消去y得14x2-(n+8)x+n2=0,其中=(n+8)2-n2=16n+640,则n-4.(*)又xC+xD=4(n+8),所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程,得n=-192,不满足(*)式.所以满足题意的C,D两点不存在.22.(12分)从椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A与短轴的一个端点B的连线AB平行于OM.(1)求椭圆的离心率;(2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求F1QF2
19、的取值范围.解(1)依题意知点F1坐标为(-c,0),设点M坐标为(-c,y)(y0).若点A坐标为(-a,0),则点B坐标为(0,-b),则直线AB的斜率k=-ba.点A坐标为(a,0),点B坐标为(0,b)时,同样有k=-ba则有y-c=-ba,y=bca.又点M在椭圆x2a2+y2b2=1上,c2a2+y2b2=1.由得c2a2=12,ca=22,即椭圆的离心率为22.(2)当点Q与椭圆长轴的端点重合时,F1QF2=0.当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,设|QF1|=m,|QF2|=n,F1QF2=,则m+n=2a,|F1F2|=2c.在F1QF2中,cos =m2+n2-4c22mn=(m+n)2-2mn-2a22mn=a2mn-1a2(m+n2)2-1=0.故当点Q与椭圆长轴的端点不重合时,当且仅当m=n时,等号成立,0cos 1,又(0,),0,2.综上,F1QF2的取值范围是0,2.
