1、江西省上饶市铅山一中2016-2017学年高二（下）期中数学试卷（理科）（解析版）一、选择题1、命题“若q则p”的否命题是（ ） A、若q则pB、若q则pC、若q则pD、若p则q2、已知命题p：存在x00，使2 1，则p是（ ） A、对任意x0，都有2x1B、对任意x0，都有2x1C、存在x00，使2 1D、存在x00，使2 13、已知向量=（+1，1，2）， =（+2，2，1），若（+ ）（ ），则=（ ） A、B、 C、2D、14、设f（x）=ax3+3x2+2，若f（1）=4，则a的值等于（ ） A、B、C、D、5、如果函数y=f（x）的图象如图，那么导函数y=f（x）的图象可能是（ ）
2、 A、B、C、D、6、已知椭圆 + =1（m0 ）的左焦点为F1（4，0），则m=（ ） A、2B、3C、4D、97、函数f（x）= x2lnx的递减区间为（ ） A、（，1）B、（0，1）C、（1，+）D、（0，+）8、若f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x1）f（x）0，则必有（ ） A、f（0）+f（2）2f（1）B、f（0）+f（2）2f（1）C、f（0）+f（2）2f（1）D、f（0）+f（2）2f（1）9、直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ） A、2 B、4 C、2D、410、三棱锥OABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且 = ， = ， =
3、 ，用 ， ， 表示 ，则 等于（ ） A、（ + + ）B、（ + ）C、（ + ）D、（ + ）11、在正三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB=CC1=2，则异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为（ ） A、0B、C、 D、12、若函数f（x）= +bx+c有极值点x1 ， x2（x1x2），且f（x1）=x1 ， 则关于x的方程f（x）2+2af（x）+b=0的不同实数根的个数为（ ） A、1B、2C、3D、4二、填空题13、如图，函数F（x）=f（x）+ x2的图象在点P处的切线方程是y=x+8，则f（5）+f（5）=_ 14、若直线l的方向向量 ，平面的一个法向量 ，则直线l与平面所
4、成角的正弦值等于_ 15、若“x2，5或xx|x1或x4”是假命题，则x的取值范围是_ 16、若函数f（x）在其定义域的一个子集a，b上存在实数 （amb），使f（x）在m处的导数f（m）满足f（b）f（a）=f（m）（ba），则称m是函数f（x）在a，b上的一个“中值点”，函数f（x）= x3x2在0，b上恰有两个“中值点”，则实数b的取值范围是_ 三、解答题17、设集合A=x|x2+2x30，集合B=x|x+a|1 (1)若a=3，求AB； (2)设命题p：xA，命题q：xB，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围 18、已知命题p：方程 表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：关于x的
5、方程x2+2mx+2m+3=0无实根，若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数m的取值范围 19、已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值 (1)求a，b的值； (2)判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间 20、如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BEB1C (1)求CE的长； (2)求证：A1C平面BED； (3)求A1B与平面BDE夹角的正弦值 21、已知椭圆 =1（ab0）的离心率为 ，右焦点与抛物线y2=4x的焦点F重合 (1)求椭圆的方程； (2)过F的直线l交椭圆于A、B两点，椭圆的左焦点力F，求AF
6、B的面积的最大值 22、已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数） (1)当a=4时，求函数f（x）在1，e上的最大值及相应的x值； (2)当x1，e时，讨论方程f（x）=0根的个数 (3)若a0，且对任意的x1 ， x21，e，都有 ，求实数a的取值范围 答案解析部分一、选择题 1、【答案】C 【考点】四种命题间的逆否关系 【解析】【解答】解：根据否命题的定义，同时否定原命题的条件和结论即可得到命题的否命题 命题“若q则p”的否命题是的否命题是：若q则p故选：C【分析】根据否命题的定义进行判断即可 2、【答案】A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：命题p：存
7、在x00，使2 1为特称命题， p为全称命题，即对任意x0，都有2x1故选：A【分析】由全称命题和特称命题的关系和否定规律可得 3、【答案】B 【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直 【解析】【解答】解：向量 =（+1，1，2）， =（+2，2，1）， （ + ）（ ），则（ + ）（ ）=（2+3，3，3）（1，1，1）=23=0，解得 故选：B【分析】利用向量垂直的性质直接求解 4、【答案】D 【考点】导数的运算 【解析】【解答】解：f（x）=3ax2+6x， f（1）=3a6=4，a= 故选D【分析】先求出导函数，再代值算出a 5、【答案】A 【考点】函数的单调性与导数的关系 【解析】
8、【解答】解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正负正负， 故选A【分析】由y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负 6、【答案】B 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【解答】解：椭圆 + =1（m0 ）的左焦点为F1（4，0）， 25m2=16，m0，m=3，故选：B【分析】利用椭圆 + =1（m0 ）的左焦点为F1（4，0），可得25m2=16，即可求出m 7、【答案】B 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：f（x）的定义域是（0，+）， f（x）=x = ，令f（x）0，解得：0x1，故函数f（x）在（0，1）递减，故选：B【分析】求出函数的导数，解
9、关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可 8、【答案】D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：（x1）f（x）0 x1时，f（x）0；x1时，f（x）0f（x）在（1，+）为增函数；在（，1）上为减函数f（2）f（1）f（0）f（1）f（0）+f（2）2f（1）故选D【分析】对x分段讨论，解不等式求出f（x）的符号，判断出f（x）的单调性，利用函数的单调性比较出函数值f（0），f（2）与f（1）的大小关系，利用不等式的性质得到选项 9、【答案】D 【考点】定积分 【解析】【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0， 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所
10、围成的图形的面积是（4xx3）dx，而（4xx3）dx=（2x2 x4）| =84=4，曲边梯形的面积是4，故选：D【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可 10、【答案】B 【考点】空间向量的基本定理及其意义 【解析】【解答】解： = ， = ， = ， = ， = ， = = = + ， = + ，故选：B【分析】利用向量的平行四边形法则、三角形法则可得： = ， = ， = ， = ， = ，代入化简即可得出 11、【答案】D 【考点】异面直线及其所成的角 【解析】【解答】解：在正三棱
11、柱ABCA1B1C1中，AB=CC1=2， 以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂直为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B1（ ，1，2），B（ ，1，0），C1（0，2，2），=（ ）， =（ ，1，2），设异面直线AB1和BC1所成角为，则cos= = = 异面直线AB1和BC1所成角的余弦值为 故选：D【分析】以A为原点，在平面ABC中过A作AC的垂直为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1和BC1所成角的余弦值 12、【答案】C 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解：函数f（x）=x3
12、+ ax2+bx+c有两个极值点x1 ， x2 ， f（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，=a212b0而方程3（f（x）2+af（x）+b=0的1=0，此方程有两解且f（x）=x1或x2 ， 不妨取0x1x2 ， f（x1）0把y=f（x）向下平移x1个单位即可得到y=f（x）x1的图象，f（x1）=x1 ， 可知方程f（x）=x1有两解把y=f（x）向下平移x2个单位即可得到y=f（x）x2的图象，f（x1）=x1 ， f（x1）x20，可知方程f（x）=x2只有一解综上可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2 只有3个实数解即关于x的方程3（f（x）2+af（x）+b=0的
13、只有3不同实根故选：C【分析】函数f（x）=x3+ ax2+bx+c有两个极值点x1 ， x2 ， 可得f（x）=3x2+ax+b=0有两个不相等的实数根，必有=a212b0而方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的1=0，可知此方程有两解且f（x）=x1或x2 再分别讨论利用平移变换即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解得个数 二、填空题 13、【答案】-5 【考点】函数的值，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【解答】解：F（5）=f（5）+5=5+8=3，所以f（5）=2 又F（x）=f（x）+ x，所以F（5）=f（5）+ 5=1，解得f（5）=3，f（5）+f（5）=5故
14、答案为：5【分析】根据切点在函数F（x）的图象上，求出切点坐标，然后求出函数F（x）的导函数F（x），根据F（5）=1求出f（5），从而求出所求 14、【答案】【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】解：直线l的方向向量 ，平面的一个法向量 ， 直线l与平面所成的角的正弦值=| |= 故答案为 【分析】利用向量的夹角公式，即可求出直线l与平面所成角的正弦值 15、【答案】1，2） 【考点】元素与集合关系的判断，四种命题的真假关系 【解析】【解答】解：若“x2，5或xx|x1或x4”是假命题 则它的否命题为真命题即x|x2或x5且x|1x4是真命题所以的取值范围是1，2），故答案为1，2）【
15、分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可 16、【答案】【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：f（x）=x22x， 设 = b2b，由已知可得x1 ， x2为方程x22x b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，令g（x）=x22x b2+b，则 ，解得： b3，故答案为： 【分析】根据新定义得到x1 ， x2为方程x22x b2+b=0在（0，b）上有两个不同根，构造函数g（x）=x22x b2+b，列出不等式组，解得即可 三、解答题 17、【答案】（1）解：解不等式x2+2x30， 得3x1，即A=（3，1），当a=3时，由|x+3|1，
16、解得4x2，即集合B=（4，2），所以AB=（4，1）（2）解：因为p是q成立的必要不充分条件， 所以集合B是集合A的真子集又集合A=（3，1），B=（a1，a+1），所以 或 ，解得0a2，即实数a的取值范围是0a2 【考点】并集及其运算，必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【分析】（1）通过解不等式，求出集合A、B，从而求出其并集即可；（2）问题转化为集合B是集合A的真子集，得到关于a的不等式组，解出即可 18、【答案】解：方程 表示焦点在y轴上的椭圆， 0m+13m，解得：1m1，若命题p为真命题，求实数m的取值范围是（1，1）；若关于x的方程x2+2mx+2m+3=0无实根，则
17、判别式=4m24（2m+3）0，即m22m30，得1m3若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，若p真q假，则 ，此时无解，柔p假q真，则 ，得1m3综上，实数m的取值范围是1，3） 【考点】命题的真假判断与应用 【解析】【分析】若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则p，q为一个真命题，一个假命题，进而可得实数m的取值范围 19、【答案】（1）解：因为函数f（x）=ax2+blnx， 所以 又函数f（x）在x=1处有极值 ，所以 即 可得 ，b=1（2）解：由（1）可知 ，其定义域是（0，+）， 且 当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，1）
18、1 （1，+） f（x）0+f（x）极小值所以函数y=f（x）的单调减区间是（0，1），单调增区间是（1，+） 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】（1）函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值 得到f（1）= ，f（1）=0得到a、b即可；（2）找到函数的定义域，在定义域中找到符合条件的驻点来讨论函数的增减性求出单调区间即可 20、【答案】（1）解：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4
19、），C1（0，2，4），D1（0，0，4）设E点坐标为（0，2，t），则 =（2，0，t）， =（2，0，4）BEB1C， =4+04t=0t=1，故CE=1（2）证明：由（1）得，E（0，2，1）， =（2，0，1）， 又 =（2，2，4）， =（2，2，0） =4+04=0，且 =4+4+0=0 且 ，即A1CDB，A1CBE，又DBBE=B，A1C平面BDE，即A1C平面BED（3）解：由（2）知 =（2，2，4）是平面BDE的一个法向量 又 =（0，2，4），cos ， = = A1B与平面BDE夹角的正弦值为 【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角 【解析】【分析】（1）建
20、立空间直角坐标系，求出 、 ，利用 =0，即可求得结论；（2）证明 且 ，可得A1CDB，A1CBE，从而可得A1C平面BED；（3）由（2）知 =（2，2，4）是平面BDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求A1B与平面BDE夹角的正弦值 21、【答案】（1）解：根据题意，得F（1，0），c=1， 又 ，a=2，b2=a2c2=3，椭圆的方程为： （2）解：显然l的斜率不为0，设l：x=my+1， 联立直线l与椭圆方程 ，化简，得（3m2+4）y2+6my9=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），则0恒成立，由韦达定理，得y1+y2= ，y1y2= ， = =|y1y2|=
21、= = ，令t= ，t1，则m2=t21， = = ，令 （t1），则 = 0，u（t）在1，+）上单调递增，当t=1即m=0时，umin（t）=u（1）=4，（ ）max=3，故当m=0时，AFB的面积的最大值为3 【考点】椭圆的简单性质 【解析】【分析】（1）根据题意得F（1，0），即c=1，再通过 及c2=a2b2计算可得椭圆的方程；（2）由题设l：x=my+1，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），联立直线l与椭圆方程，结合韦达定理，得 = ，利用换元法计算即可 22、【答案】（1）解：当a=4时，f（x）=4lnx+x2 ， 函数的定义域为（0，+） 当x 时，f（x）0，所以
22、函数f（x）在 上为减函数，在 上为增函数，由f（1）=4ln1+12=1，f（e）=4lne+e2=e24，所以函数f（x）在1，e上的最大值为e24，相应的x值为e（2）解：由f（x）=alnx+x2 ， 得 若a0，则在1，e上f（x）0，函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，由f（1）=10知，方程f（x）=0的根的个数是0；若a0，由f（x）=0，得x= （舍），或x= 若 ，即2a0，f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，由f（1）=10知，方程f（x）=0的根的个数是0；若 ，即a2e2 ， f（x）=alnx+x2在1，e上为减函数，由f（1）=1，f（e）=a
23、lne+e2=e2+ae20，所以方程f（x）=0在1，e上有1个实数根；若 ，即2e2a2，f（x）在 上为减函数，在 上为增函数，由f（1）=10，f（e）=e2+a= 当 ，即2ea2时， ，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是0当a=2e时，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是1当e2a2e时， ，f（e）=a+e20，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是2当2e2ae2时， ，f（e）=a+e20，方程f（x）=0在1，e上的根的个数是1；（3）解：若a0，由（2）知函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数， 不妨设x1x2 ， 则 变为f（x2）+ f（x1）+ ，由此
24、说明函数G（x）=f（x）+ 在1，e单调递减，所以G（x）= 0对x1，e恒成立，即a 对x1，e恒成立，而 在1，e单调递减，所以a 所以，满足a0，且对任意的x1 ， x21，e，都有 成立的实数a的取值范围不存在 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，不等式的证明，根的存在性及根的个数判断 【解析】【分析】（1）把a=4代入函数解析式，求出函数的导函数，由导函数的零点把给出的定义1，e分段，判出在各段内的单调性，从而求出函数在1，e上的最大值及相应的x值；（2）把原函数f（x）=alnx+x2求导，分a0和a0讨论打哦函数的单调性，特别是当a0时，求出函数f（x）在1，e上的最小值及端点处的函数值，然后根据最小值和F（e）的值的符号讨论在x1，e时，方程f（x）=0根的个数；（3）a0判出函数f（x）=alnx+x2在1，e上为增函数，在规定x1x2后把 转化为f（x2）+ f（x1）+ ，构造辅助函数G（x）=f（x）+ ，由该辅助函数是减函数得其导函数小于等于0恒成立，分离a后利用函数单调性求a的范围
