1、-1-3.2.2 函数模型的应用实例-2-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.会利用已知函数模型解决实际问题.2.能建立函数模型解决实际问题.3.了解利用拟合函数模型解决实际问题.-3-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 1.常用的函数模型 剖析:在实际问题中,常用的函数模型如下表所示:函数模型解析式正比例函数模型f(x)=kx(k 为常数,k0)反比例函数模型f(x)=kx(k
2、为常数,k0)一次函数模型f(x)=kx+b(k,b 为常数,k0)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a0)指数函数模型f(x)=abx+c(a,b,c 为常数,a0,b0,b1)对数函数模型f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数,m0,a0,a1)幂函数模型f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a0,n1)-4-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 2.在应用题中列出函数解析式的三种方法 剖析:解答应用题的实质是要转化题意,寻找所给条件中含有的相等关系
3、,用等式把变量联系起来,然后再整理成函数的解析式的形式.常用的方法有:(1)待定系数法:若题目给出了含参数的函数关系式,则可用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,从而得到确定的函数解析式.(2)归纳法:先让自变量x取一些特殊值,计算出相应的函数值,从中发现规律;再推广到一般情形,从而得到函数解析式.(3)方程法:用x,y表示自变量及其他相关的量,根据问题的实际意义,运用掌握的数学、物理等方面的知识,列出关于x,y的二元方程;把x看成常数,解方程得y(即函数关系式),此种方法形式上和列方程解应用题类似,故称为方程法.-5-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦
4、 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一已知函数模型的应用题【例1】灌满开水的热水瓶放在室内,如果瓶内开水原来的温度是1,室内气温是0,t min后,开水的温度可由公式=0+(1-0)e-kt求得,这里,k是一个与热水瓶类型有关的正的常量.现有一只某种类型的热水瓶,测得瓶内水温为100,过1 h后又测得瓶内水温变为98.已知某种奶粉必须用不低于85 的开水冲调,现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100 的开水,问:能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉(假定该地白天室温为20)?分析:先用待定系数法来确定k的值,然
5、后根据给出的时间列出方程,解出水的温度,并与85 相比,若高于这个温度,该热水瓶的水就可以用,否则不可以用.-6-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 利用计算器,解得k0.000 422.故=20+80e-0.000 422t.从早上六点至中午十二点共6 h,即360 min.当t=360时,=20+80e-0.000 422360=20+80e-0.151 92.由计算器算得89 85,即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.解:根据题意,有 98
6、=20+(100-20)e-60k,整理得 e-60k=3940.-7-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练1】某种病毒经30 min繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数,t表示时间,单位:h,y表示病毒个数),则k=,经过5 h,1个病毒能繁殖为 个.解析:当t=0.5时,y=2,当t=5时,y=225=1 024.答案:2ln 2 1 024 2=e2;k=2ln 2,y=e2tln 2=22t.-8-3.2.2 函数
7、模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二建立函数模型的应用题【例 2】某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是M(单位:亿元)和 N(单位:亿元),它们与投资额 t(单位:亿元)的关系有经验公式:M=13 ,N=16.今该公司将用3 亿元投资这两个项目,若设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;(2)求总利润 y 的最大值.分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)转化为求(1
8、)中函数的最大值.-9-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)当甲项目投资 x 亿元时,获得利润为 M=13 (亿元),此时乙项目投资(3-x)亿元,获得利润为 N=16(3-x)(亿元),则有 y=13 +16(3-x),x0,3.(2)令 =,t0,3,则x=t2,此时 y=13 +16(3-t2)=16(t-1)2+23.由 t0,3,知当t=1,即 x=1 时,y 有最大值,为 23,即总利润y 的最大值是 23亿元.-10-3.2.2 函数
9、模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思当实际应用题中没有给出函数模型时,其解题步骤是:第一步:认真读题,缜密审题,确切理解题意,明确问题的实际背景,找出题意中所蕴含的函数关系;第二步:恰当地设未知数,列出函数解析式,将实际问题转化成函数问题,即实际问题函数化;第三步:运用所学的数学知识和数学方法解答函数问题,得出函数问题的解;第四步:将所得函数问题的解还原成实际问题的结论,要注意检验所得的结论是否符合实际问题的意义.-11-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN
10、 JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练 2】大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发现 v 与 log3 100 成正比,且当Q=900 时,v=1.(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;(2)计算一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时耗氧量的单位数;(3)一条鲑鱼要想把游速提高 1 m/s,其耗氧量的单位数应怎样变化?-12-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例
11、透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)设 v=klog3 100,当 Q=900 时,v=1,1=klog3 900100,k=12,v 关于 Q 的函数解析式为 v=12 log3 100.(2)令 v=1.5,则 1.5=12 log3 100,解得 Q=2 700,故一条鲑鱼的游速是 1.5 m/s 时,耗氧量为 2 700 个单位.(3)设鲑鱼耗氧量为 Q1,Q2时,游速分别为 v1,v2,由题意:v2-v1=1,即 12 log32100 12 log31100=1.12 log321=1,21=9,即Q2=9Q1.故鲑鱼要想把游速提高
12、1 m/s,其耗氧量单位数应变为原来的 9 倍.-13-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三拟合函数模型的应用题【例3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料,如下表所示.-14-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 年
13、序最大积雪深度 x/cm灌溉面积 y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9-15-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 (1)描点画出灌溉面积y hm2随积雪深度x cm变化的图象;(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f(x),并画出图象;(3)根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25 cm
14、,请估计可以灌溉的土地面积是多少?分析:首先根据表中数据作出散点图,然后通过观察图象来判断问题所适用的函数模型.-16-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)描点作图如图甲:-17-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四(2)从图甲中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性
15、函数模型y=a+bx(a,b为常数,b0).取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),代入y=a+bx,用计算器可算得a2.4,b1.8.这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图象如图乙,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由(2),得当x=25时,y=2.4+1.825=47.4,即当最大积雪深度为25 cm时,估计可以灌溉土地47.4 hm2.得 21.1=+10.4,45.8=+24.0,-18-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI
16、TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思对于此类的实际应用问题,关键是建立适当的函数关系式,再解决数学问题,最后验证并结合问题的实际意义作出回答.这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.函数拟合与预测的一般步骤是:(1)根据原始数据,绘出散点图.(2)通过观察散点图,画出“最贴近”的直线或曲线,即拟合直线或拟合曲线.(3)根据所学的函数知识,求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式.(4)利用函数关系式,根据条件对所给的问题进行预测,为决策和管理提供依据.-19-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI T
17、OUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练3】某企业常年生产一种出口产品,自2012年以来,每年在正常情况下,该产品产量平稳增长.已知2012年为第1年,前4年年产量f(x)(单位:万件)如下表所示:(1)画出20122015年该企业年产量的散点图;(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数模型,并求出函数解析式;(3)2016年(即x=5)因受到某种原因的影响,年产量减少30%,试根据所建立的函数模型,确定2016年的年产量为多少?x1234f(x)4.005.587.008.44-20-3.2.2 函数模型的
18、应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 由已知得 +=4,3+=7,解得 =1.5,=2.5.题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)画出散点图,如图所示.(2)由散点图知,可选用一次函数模型.设f(x)=ax+b(a0).f(x)=1.5x+2.5.检验:f(2)=5.5,且|5.58-5.5|=0.080.1.f(4)=8.5,且|8.44-8.5|=0.060.1.一次函数模型f(x)=1.5x+2.5能基本反映年产量的变化.(3)根据所建的函数模型,预计2016年的年产量为f(5)=1.55+2.5=10
19、(万件),又年产量减少30%,即10(1-30%)=7(万件),即2016年的年产量为7万件.-21-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四易混易错题 易错点 求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制【例4】如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(ba),在AB,AD,CD,CB上分别截取AE,AH,CG,CF,且AE=AH=CG=CF=x.问:当x为何值时,四边形EFGH的面积最大?并求出最大面积.-22-3.2.2 函数模型的应用实例
20、 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 错解:设四边形 EFGH 的面积为 S,则 S=ab-2 12 2+12(-)(-)=-2x2+(a+b)x=-2 -+4 2+(+)28.根据二次函数的性质可知,当 x=+4 时,S 有最大值(+)28.错因分析:错解中没有考虑所得二次函数的定义域,就直接利用二次函数的性质求解,从而导致出错.-23-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题
21、型二 题型三 题型四 正解:设四边形 EFGH 的面积为 S,则S=ab-2 12 2+12(-)(-)=2x2+(a+b)x=-2 -+4 2+(+)28,x(0,b.因为 0ba,所以 0b,即a3b 时,易知 S(x)在(0,b上是增函数,所以当 x=b时,S 有最大值 ab-b2.综上可得:当 a3b,x=+4 时,S 有最大值(+)28;当a3b,x=b时,S 有最大值 ab-b2.-24-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思利用函数解决实际问
22、题时,要遵循定义域优先的原则,即必须考虑到自变量的实际意义,否则会出现错解.-25-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四【变式训练4】渔场中鱼群的最大养殖量为m(m0),为了保证鱼群的生长空间,实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比,比例系数为k(k0).(1)写出y关于x的函数关系式,并指出该函数的定义域;(2)求鱼群年增长量的最大值.-26-3.2.2 函数模型的应用实例 ZHONGNAN JVJIAO重难聚焦 DIANLI TOUXI典例透析 MUBIAODAOHANG目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)根据题意知,空闲率是-,故y 关于 x 的函数关系式是y=kx-,0 xm.(2)由(1)知,y=kx-=2+kx=-2 2+4,0 xm.则当 x=2 时,ymax=4.所以,鱼群年增长量的最大值为 4.
