1、2015年江西省上饶市六校重点中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知i为虚数单位，aR，若a21+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a2）i 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合A=x|1，B=y|y=2x1，xR，则AB=（）ABx|x1Cx|1x0Dx|1x0或x13已知tan=，tan（）=，则tan=（）ABC2D24从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是（）ABCD5执行如图所示的程序框图，则输
2、出S的值是（）ABCD6下面四个命题：（1）“2a2b”是“lnalnb”的充要条件（2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”（3）“直线a直线b”的充分不必要条件是“直线a平行于直线b所在的平面”（4）命题“若x，则3”的逆命题是真命题其中正确命题的序号是（）A（1）（2）B（1）（3）C（4）D（2）（4）7已知向量=（3，4），2=（11，4），若向量与向量的夹角为，则cos=（）ABCD8观察下列各式： =2， =3， =4，若=9，则m=（）A80B81C728D7299一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个正方形，则这个几何体的体积是（）A64B32C16D810定
3、义在R上的函数y=f（x），满足f（2x）=f（x），（x1）f（x）0，若f（3a+1）f（3），则实数a的取值范围是（）A（，）B（，+）C（，）D（，）（，+）11过抛物线：y2=2px（p0）的焦点F作倾斜角为60的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）ABCD12如图，圆x2+y2=1上一定点A（0，1），一动点M从A点开始逆时针绕圆运动一周，并记由射线OA按逆时针方向绕O点旋转到射线OM所形成的AOM为x，直线AM与X轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）ABCD二、填空题（本大题
4、共4小题，每小题5分，共20分.）13若曲线：y=ax+1（a0且a1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=14某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：50，70），70，90），90，110），110，130），130，150，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中成绩不低于90分的人数是15已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是16若关于x的不等式|x1|x+m|a有解时，实数a的最大值为5，则实数m的值为三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量=（cosx，1），（si
5、nx，1）（0），函数f（x）=（）+3 图象的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为（1）求f（x）的解析式；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=，SABC=，且f（+）=，求边c的值18如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足在上的投影大于的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于的概率19如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如图2），使它的全面积与原三角形的面积相等D为AC上一点，且BDDC1（1）求证：直线AB1平面
6、BDC1（2）求点A到平面BDC1的距离20已知数列的前n项和Sn=13n（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求bn的前n项和Tn21已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足|OH|HF|=2（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F作直线l与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）连接AC，BC与直线x=分别交于点M，N试证明：以MN为直径的圆恒过点F22设函数f（x）=x22lnx（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）x2+（1x3），其图象上任意一点P（x0，y0）处切线的斜率k2恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对于任意
7、正整数n，有12+22+32+n2ln（122233n2）ln（）n2015年江西省上饶市六校重点中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知i为虚数单位，aR，若a21+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a2）i 在复平面内对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义【专题】数系的扩充和复数【分析】由复数为纯虚数求得a，进一步求出z的坐标得答案【解答】解：由a21+（a+1）i为纯虚数，得，解得a=1z=a+（a2）i=1i则复
8、数z=a+（a2）i 在复平面内对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限故选：D【点评】本题考查了复数的等式表示法及其几何意义，是基础题2已知集合A=x|1，B=y|y=2x1，xR，则AB=（）ABx|x1Cx|1x0Dx|1x0或x1【考点】交集及其运算【专题】集合【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式，当x0时，解得：x1；当x0时，解得：x1，此时x0，A=x|x0或x1，由B中y=2x11，得到B=x|x1，则AB=x|1x0或x1，故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键3已知ta
9、n=，tan（）=，则tan=（）ABC2D2【考点】两角和与差的正切函数【专题】三角函数的求值【分析】由已知及两角差的正切函数公式可得： =，从而可得解【解答】解：tan=，tan（）=，可解得：tan=故选：A【点评】本题主要考查了两角和与差的正切函数公式的应用，属于基本知识的考查4从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，那么这2张纸片数字之积为6的概率是（）ABCD【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】用列举法求出基本事件数是多少，计算出对应的概率即可【解答】解：从标有1，2，3，4，5，6的6张纸片中任取2张，不同的取法种数是12、13、14、
10、15、16、23、24、25、26、34、35、36、45、46、56共15种；其中这2张纸片数字之积为6的取法种数是23、16；对应的概率是P=故选：C【点评】本题考查了利用列举法求基本事件数以及计算古典概型的概率问题，是基础题目5执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）ABCD【考点】程序框图【专题】图表型；算法和程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=5时，满足条件i5，退出循环，输出s的值为【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，s=1i=2，s=不满足条件i5，i=3，s=不满足条件i5，i=4，s=不满足条件i5，i=5，s=满足条件i5，退出
11、循环，输出s的值为：故选：B【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次正确写出每次循环得到的i，s的值是解题的关键，属于基本知识的考查6下面四个命题：（1）“2a2b”是“lnalnb”的充要条件（2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”（3）“直线a直线b”的充分不必要条件是“直线a平行于直线b所在的平面”（4）命题“若x，则3”的逆命题是真命题其中正确命题的序号是（）A（1）（2）B（1）（3）C（4）D（2）（4）【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】根据充要条件的定义，可判断（1），（3）的真假，写出原命题的否定，可判断（2），写出原命题的逆命题，并判断真假，可
12、判断（4）【解答】解：（1）“2a2b”“ab”，“lnalnb”“ab0”，故“2a2b”是“lnalnb”的必要不充分条件故（1）错误；（2）命题“正方形是矩形”的否定是“存在正方形不是矩形”故（2）错误；（3）“直线a直线b”时，若a，b共面，则“直线a平行于直线b所在的平面”不成立，“直线a平行于直线b所在的平面”时，a与b平行或异面，故“直线a平行于直线b所在的平面”是“直线a直线b”的不充分不必要条件故（3）错误；（4）命题“若x，则3”的逆命题是“若3，则x”，解3得1x，此时满足x，故命题“若x，则3”的逆命题是真命题故（4）正确；故选：C【点评】本题考查的知识点是命题的真假判
13、断与应用，四种命题，充要条件，难度不大，属于基础题7已知向量=（3，4），2=（11，4），若向量与向量的夹角为，则cos=（）ABCD【考点】平面向量数量积的运算【专题】平面向量及应用【分析】首先求出向量的坐标，然后用数量积求向量的夹角【解答】解：向量=（3，4），2=（11，4），得到=（4，0），所以向量与向量的夹角为，则cos=；故选：B【点评】本题考查了向量的坐标运算以及运用数量积公式求向量的夹角8观察下列各式： =2， =3， =4，若=9，则m=（）A80B81C728D729【考点】归纳推理【专题】推理和证明【分析】观察每个等式可以发现每个被开方数的分数部分的分母是分子的立方减
14、去1所得，从而可求m【解答】解： =2=2，=3， =4=4，所以，所以=9=9，所以m=931=7291=728；故选C【点评】本题考查了归纳推理，关键是由具体的前几个发现与序号的关系，总结出规律，猜想一般结论9一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个正方形，则这个几何体的体积是（）A64B32C16D8【考点】由三视图求面积、体积【专题】空间位置关系与距离【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，并判断其形状，进而可得其体积【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体的直观图如下图所示：将这样的两个几何体组合在一起，能构成一个棱长为4的正方体，故几何体的体积V=444=32，故选：B
15、【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，根据三视图分析出几何体的形状是解答的关键10定义在R上的函数y=f（x），满足f（2x）=f（x），（x1）f（x）0，若f（3a+1）f（3），则实数a的取值范围是（）A（，）B（，+）C（，）D（，）（，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用；导数的运算【专题】函数的性质及应用；导数的综合应用【分析】根据导数和单调性之间的关系，判断函数的单调性，利用单调性和对称性之间的关系进行求解即可【解答】解：当x1时，f（x）0，此时函数单调递减，当x1时，f（x）0，此时函数单调递增，f（2x）=f（x），函数关于x=1对称，若f（3
16、a+1）f（3），则满足，即，解得a，即，解得a，综上实数a的取值范围（，）（，+），故选：D【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键11过抛物线：y2=2px（p0）的焦点F作倾斜角为60的直线l，若直线l与抛物线在第一象限的交点为A，并且点A也在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由题意画出图形，把A的坐标用p表示，代入双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，结合a2+b2=c2求得双曲线的离心率【解答】解：如图，设A（x0，y0），则|AF|=2（），又
17、|AF|=，解得，A（）在双曲线：=1（a0，b0）的一条渐近线上，解得：，由a2+b2=c2，得，即，故选：A【点评】本题考查了抛物线与双曲线的几何性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题12如图，圆x2+y2=1上一定点A（0，1），一动点M从A点开始逆时针绕圆运动一周，并记由射线OA按逆时针方向绕O点旋转到射线OM所形成的AOM为x，直线AM与X轴交于点N（t，0），则函数t=f（x）的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】根据动点移动过程的规律，利用单调性进行排除即可得到结论【解答】解：当x由0时，t从0，且单调递增，当x由2时，
18、t从0+，且单调递增，排除B，C，D故选：A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法，结合点的移动规律是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13若曲线：y=ax+1（a0且a1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a=e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；导数的概念及应用；直线与圆【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为1，可得a的方程，即可解得a【解答】解：y=ax+1的导数为y=axlna，即有曲线在点（0，2）处的切线斜率为k=lna，由于切线与直线x+2
19、y+1=0垂直，则lna（）=1，解得a=e2，故答案为：e2【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，主要考查导数的几何意义，同时考查两直线垂直的条件：斜率之积为1，属于基础题14某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽取100名学生，将其数学成绩分成五段：50，70），70，90），90，110），110，130），130，150，它的频率分布直方图如图所示，则该批学生中成绩不低于90分的人数是65【考点】频率分布直方图【专题】概率与统计【分析】根据频率分布直方图，结合频率、频数与样本容量的关系，求出对应的人数即可【解答】解：根据频率分布直方图，得；该批学生中成绩低于90分的频率是（0.0
20、025+0.0150）20=0.35，该批学生中成绩不低于90分的频率是10.35=0.65，该批学生中成绩不低于90分的人数是1000.65=65故答案为：65【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目15已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是【考点】简单线性规划【专题】数形结合；不等式的解法及应用【分析】由约束条件作出可行域，利用z=的几何意义结合两点连线的斜率得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得：A（1，1），联立，解得C（2，4），z=的几何意义是可行域内的动点与定点P（1，2）连线的斜率，z=的取值范围是故答案为：【点评
21、】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题16若关于x的不等式|x1|x+m|a有解时，实数a的最大值为5，则实数m的值为4或6【考点】绝对值不等式的解法【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用【分析】令f（x）=|x1|x+m|，运用绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值|m+1|，由题意可得|m+1|=5，解得m即可【解答】解：令f（x）=|x1|x+m|，由|x1|x+m|（x1）（x+m）|=|m+1|，可得f（x）的最大值为|m+1|，关于x的不等式|x1|x+m|a有解，即为a|m+1|，又实数a的最大值为5，则|m+1|=5，解
22、得m=4或6故答案为：4或6【点评】本题考查绝对值不等式的性质，主要考查不等式成立问题转化为求函数最值问题，属于基础题和易错题三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知向量=（cosx，1），（sinx，1）（0），函数f（x）=（）+3 图象的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为（1）求f（x）的解析式；（2）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=，SABC=，且f（+）=，求边c的值【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；余弦定理【专题】三角函数的求值；三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）首先根据向量的
23、数量积求出函数的关系式，再把函数的关系式变形成正弦形式，再利用函数的周期求出函数的解析式（2）利用上步的结果，先求出C的大小，进一步利用三角形的面积公式求出a的值，在利用余弦定理求出c的值【解答】解：（1）向量=（cosx，1），（sinx，1）（0），函数f（x）=（）+3=（cosxsinx，2）（sinx，1）+3=由于：函数f（x）=（）+3 图象的一条对称轴与其最近的一个对称中心的距离为所以函数的最小正周期为所以：，解得：=1所以函数的解析式为：f（x）=（2）由（1）得：f（x）=所以：f（+）=，整理得：所以：由于：0C所以：则：解得：C=，由于：所以：解得：a=2由余弦定理得：
24、解得：c=1【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用三角函数关系式的恒等变换，利用函数的周期求函数的解析式，利用函数的定义域求角的大小，三角形面积公式的应用，余弦定理的应用18如图，在边长为1的正六边形ABCDEF中，其中心为点O（1）在正六边形ABCDEF的边上任取一点P，求满足在上的投影大于的概率；（2）从A，B，C，D，E，F这六个点中随机选取两个点，记这两个点之间的距离为x，求x大于等于的概率【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】概率与统计【分析】（1）因为图形为正六边形，利用在的投影相等为，从而得到满足在上的投影大于的边有两条，由几何概型可得；（2）结合
25、图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距离一定是大于等于由古典概型公式解答【解答】解：（1）因为在上的投影为=|，P在线段FE（除点F）和线段ED（除点D）上运动时，在上的投影大于，在上的投影大于的概率P= （2）结合图形可知只要选取的两个点不是相邻的，那么这两点的距离一定是大于等于六个点中随机选取两个点，总共有15种：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）P（x）= 【点评】本题考查了几何概型和古典概型的公式的运用，关键是明确满足条件的事件，利
26、用公式解答19如图1是边长为4的等边三角形，将其剪拼成一个正三棱柱模型（如图2），使它的全面积与原三角形的面积相等D为AC上一点，且BDDC1（1）求证：直线AB1平面BDC1（2）求点A到平面BDC1的距离【考点】直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算【专题】空间位置关系与距离【分析】（1）根据题目条件得出BD平面AA1C1C，BDAC，D为AC中点，确定条件，即AB1平面BDC1（2）根据条件得出：d等于点C到平面BDC1的距离，CE是点C到平面BDC1的距离，根据CE=求解即可【解答】解：（1）证明：连接B1C与BC1交于点O，连接OD，BD平面AA1C1C，BDAC， 又ABC为
27、等边三角形，AB=BC，D为AC中点，平行四边形BB1C1C中O是B1C的中点，即AB1平面BDC1（2）设点A到平面BDC1的距离为d又AD=CD，d等于点C到平面BDC1的距离，过点C作CEDC1垂足为E，DB平面AA1C1C，BDCE，又DBDC1=D，CE平面DBC1，则CE是点C到平面BDC1的距离，AC=2，CD=1，CC1=，C1D=，d=CE=【点评】本题考查了空间直线平面的平行的判定 定理，空间点性质平面的距离问题，关键是确定距离，转化为平面问题求解，思路要清晰，计算认真20已知数列的前n项和Sn=13n（1）求数列an的通项公式；（2）令bn=nan，求bn的前n项和Tn【
28、考点】数列的求和；数列递推式【专题】等差数列与等比数列【分析】（1）利用递推式可得an；（2）利用“错位相减法”，等比数列的通项公式前n项和公式即可得出【解答】解：（1）当n2时， =SnSn1=13n13（n1）=3，an=3n当n=1时，a1=S1=2不满足上式（2）bn=nan=，Tn=2232333n3n，2Tn=1433343n+n3n+1=2+n3n+1=，【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式前n项和公式、“错位相减法”，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题21已知定点F（3，0）和动点P（x，y），H为PF的中点，O为坐标原点，且满足|OH|HF
29、|=2（1）求点P的轨迹方程；（2）过点F作直线l与点P的轨迹交于A，B两点，点C（2，0）连接AC，BC与直线x=分别交于点M，N试证明：以MN为直径的圆恒过点F【考点】直线与圆锥曲线的综合问题【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）取F（3，0），连接PF，可得|PF|PF|=4，由双曲线定义知，点P的轨迹是以F，F为焦点的双曲线的右支，即可求点P的轨迹方程；（2）直线l方程为x=ty+3，代入双曲线方程，利用三点共线，求出M，N的坐标，证明=0，即可得出结论【解答】解：（1）如图，取F（3，0），连接PF|OH|HF|=2，|PF|PF|=4 由双曲线定义知，点P的轨迹是
30、以F，F为焦点的双曲线的右支，a=2，c=3，b=P的轨迹方程为：（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（，m），N（，n），直线l方程为x=ty+3，代入双曲线方程整理得：（5t24）y2+30ty+25=0y1+y2=，y1y2=A，C，M三点共线，m=同理n=（3， ）（3， ）=+=+=0FMFN，即MFN=90以MN为直径的圆恒过点F【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题22设函数f（x）=x22lnx（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）x2+（1x3），其图象上任意一点P（x0，y0
31、）处切线的斜率k2恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：对于任意正整数n，有12+22+32+n2ln（122233n2）ln（）n【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；证明题；导数的综合应用【分析】（1）先求函数的定义域，再求导并令f（x）=2x=2=0，从而确定导数的正负以确定函数的单调性，（2）化简g（x）=f（x）x2+=2lnx+（1x3），再求导可得g（x）=，从而可得a22x0（1x03）恒成立；令m（x0）=22x0，从而化为最值问题即可；（3）由题意可得，122ln11，222ln21，322ln31，n22lnn1，相加化简即可【
32、解答】解：（1）f（x）的定义域是（0，+），解f（x）=2x=2=0得，x=1或x=1（舍去）；x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0；f（x）的单调递增区间是（1，+），单调递减区间是（0，1）；（2）g（x）=f（x）x2+=2lnx+（1x3），g（x）=，k=g（x0）=2（1x03）；即a22x0（1x03）恒成立；即a（22x0）max（1x03），令m（x0）=22x0，有m（x0）在1，3上单调递减，m（x0）max=m（1）=4；a4；（3）证明：由（1）知，f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；f（x）f（1）=1，122ln11，222ln21，322ln31，n22lnn1，以上n个式子相加，12+22+32+n22（ln1+ln2+ln3+lnn）n，即12+22+32+n2ln（122232n2）nlnenln；12+22+32+n2ln（122232n2）ln【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了导数的几何意义的应用及单调性在证明不等式中的应用，属于难题
