1、天水市一中2019届高三第五次模拟考试数学试题（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知为虚数单位，复数，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由题意，得；故选D考点：复数的除法运算2.已知，则（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题知M=0，+），N=-，所以0，故选D考点：二次函数值域，圆的性质，集合运算3.若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由可得，所以，所以与的夹角为；故选D考点：向量的运算及夹角4.如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）.A.
2、 B. C. D. 【答案】B【解析】该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为，故选B5.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差为（ ）.A. 1B. 2C. 4D. 6【答案】B【解析】试题分析：等差数列的前项和为，所以有，代入中，即，所以有，故本题的正确选项为B.考点：等差数列的前项和.6.直线ykx3与圆(x3)2(y2)24相交于M，N两点，若，则k的取值范围是()A. B. (，0，)C. D. 【答案】A【解析】试题分析：圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为 ，解不等式得k的取值范围考点：直线与圆相交的弦长问题7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球
3、面上，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：根据正四棱柱的几何特征得：该球的直径为正四棱柱的体对角线，故，即得，所以该球的体积，故选D.考点：正四棱柱的几何特征；球的体积.【此处有视频，请去附件查看】8.函数的大致图象是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：容易看出，该函数是奇函数，所以排除B项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究x0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断解：令f（x）=xln|x|，易知f（x）=xln|x|=xln|x|=f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x0时，f（x）
4、=xlnx，容易判断，当x+时，xlnx+，排除D选项；令f（x）=0，得xlnx=0，所以x=1，即x0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C选项满足题意故选：C考点：函数的图象9.设，满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）.A. B. 3C. 4D. 【答案】B【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域：直线过点时，z最大值3，即目标函数的最大值为3.故选B考点：线性规划.10.我国古代数学名著九章算术中的更相减损法的思路与下面的程序框图相似执行该程序框图，若输入的，分别为14，18，则输出的等于（ ）.A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】A【解析】由a=14，b=18，ab，则b变为1
5、814=4，由ab，则a变为144=10，由ab，则a变为104=6，由ab，则a变为64=2，由ab，则b变为42=2，由a=b=2，则输出的a=2故选：A11.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为（ ）.A. 24里B. 12里C. 6里.D. 3里【答案】C【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数
6、列的通项公式求得该人最后一天走的路程【详解】解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，由，得，解得：，故选：C【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前项和，是基础的计算题12.已知函数是定义在上的奇函数，当时，给出下列命题：当时，； 函数有2 个零点；的解集为； ，都有.其中真命题的序号是（ ）.A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由奇函数得性质可求得时，然后分，讨论函数的零点，大于0的解集，以及最值，可判断出错，对.【详解】解：由题意可知时，因为奇函数，所以，所以命题不成立；时，此时有1个零点，当，此时有1个零点，又为上的奇函数，必有，即总共有3个零点，所以
7、命题错误；当时，可求得解集为，当时，可求得解集为，所以命题不成立；当时，令，通过函数的单调性可求得此时的值域为，则当时的值域为，所以有，所以命题成立.故选：D【点睛】本题考查了函数解析式的求法，函数的零点，函数奇偶性的运用，导数研究函数的最值，考查函数与导数基本知识的综合应用.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在区间上随机取一个数，则的值介于0与之间的概率为_【答案】【解析】试题分析：解：由于函数是一个偶函数，可将问题转化为在区间0，1上随机取一个数x，则的值介于0到0.5之间的概率,在区间0，1上随机取一个数x，,即x0，1时，要使cosx的值介于0到0.5之间，需使x
8、1，区间长度为由几何概型知的值介于0到0.5之间的概率为,故答案为：考点：几何概型点评：几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关14.已知数列满足，那么成立的的最大值为_【答案】5【解析】【分析】由，得成等差数列，求出，然后求出，解得出答案.【详解】解：因为，所有成等差数列，且首项，公差所以，解，得所以成立的的最大值为5故答案为：5【点睛】本题考查了等差数列的判断与通项公式，属于基础题.15.已知函数，若在区间上单调递增，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】化简函数的解析式，利用函数的导数，转化求解函数的最
9、大值，即可得到结果【详解】解：函数，若区间-，上单调递增，可得可得，即所以.所以的最小值为：故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，求解参数时可将参数分离出来，转化为求解函数的最值，从而得到参数的取值范围。16.设，分别是双曲线的左、右焦点，是的右支上的点，射线平分，过原点作的平行线交于点，若，则的离心率为_.【答案】【解析】试题分析：设交轴于点，则，由于，得，即，则，所以，又是的角平分线，则有，代入整理得，所以离心率为.考点：圆锥曲线的离心率.【方法点睛】离心率是圆锥曲线一个重要性质，离心率的几种常用求法：1、已知圆锥曲线的标准方程或易求时，可利用率心率公式来解决；2、
10、根据题设条件，借助之间的关系，沟通的关系，构造的齐次式，（特别是齐二次式），进而得到关于的一元方程，从而解得离心率.【此处有视频，请去附件查看】三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答请写出必要的文字说明和演算步骤.）17.已知向量，设（1）求函数的解析式及单调增区间；（2）在中，分别为角，的对边，且，求的面积【答案】（），单调递增区间为，；（）【解析】【分析】（I）根据向量数量积的坐标公式得出f（x），利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式化简，根据正弦函数的单调性得出f（x）的单调区间；（II）根据f（A）=1和A的范围解出A，利用余弦定理得出bc，代入面积公式 即可【详解】（1）解：，得
11、，所以函数的单调递增区间为，（2）解：，即由余弦定理得：，【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，余弦定理，属于中档题18.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，内的频率之比为. （1）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（2）用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间内的概率【答案】（）；（）【解析】试题分析：（）利用频率分布直方图中所有频率之和等于可得这些产品质量指标值落在区间内的频率；（）先算出落在区间，内的产品
12、件数，再列举出从件产品中任意抽取件产品的基本事件和这件产品都在区间内的基本事件，进而利用古典概型公式可得这件产品都在区间内的概率试题解析：（）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和依题意得，解得所以区间内的频率为（）由（）得，区间，内的频率依次为，用分层抽样的方法在区间内抽取一个容量为6的样本，则在区间内应抽取件，记为，在区间内应抽取件，记为，在区间内应抽取件，记为设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间内”为事件M，则所有的基本事件有：，共15种事件M包含的基本事件有：，共10种所以这2件产品都在区间内的概率为考点：1、频率分布直方图；2、古典概型；3、分层抽样19.如图，在四棱
13、锥中，底面为边长为的正方形，.（1）求证：；（2）若，分别为，的中点，平面，求三棱锥的体积【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：本题主要考查线面垂直的判定与性质、锥体的体积等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的判定定理，先证出平面，利用线面垂直的性质定理得，在中再证明；第二问， 用体积转化法，将转化为，证明出是锥体的高，再利用锥体的个数求解.试题解析：（）连接交于点，因为底面是正方形，所以且为的中点.又所以平面，由于平面,故.又,故.（）设的中点为,连接,=,所以为平行四边形，因为平面，所以平面，所以,中点为,所以.
14、由平面，又可得，又，又所以平面所以,又,所以平面（注意：没有证明出平面，直接运用这一结论的，后续过程不给分）故三棱锥D-ACE的体积为.考点：本题主要考查：1.线面垂直的判定与性质；2.空间几何体体积求解.20.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，.（1）求椭圆方程；（2）以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由【答案】（）；（）经过两定点，.【解析】试题分析：（）椭圆的左焦点为，所以由点在椭圆上，得，进而解出得到椭圆的方程；（）直线与椭圆联立，解得的坐标（用表示），设出，的方程，解出的坐
15、标，圆方程用表示，最后可求得为直径的圆经过两定点.试题解析：（） 设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以因为点在椭圆上，所以由解得，所以椭圆的方程为（）因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为因为直线与椭圆交于两点，设点（不妨设），则点联立方程组消去得所以，则所以直线方程为因为直线，分别与轴交于点，令得，即点同理可得点所以设的中点为，则点的坐标为则以为直径的圆的方程为 ，即令，得，即或故以为直径的圆经过两定点，考点：1、 待定系数法求椭圆；2、圆的方程及几何意义.21.已知函数.（1）当时，求证：若，则；（2）当时，试讨论函数的零点个数.【答案】（）证明见解析；（）当时，函数有且仅有一个零点，当时，
16、函数有两个零点【解析】试题分析：（1）函数求导，再求导得恒成立，又因为恒成立；（2）由（1）可知，当x0时，f(x)0，可得 对xR，f(x)0，即exx+1，分类讨论当x-1时，当x-1时，函数y=f(x)的零点个数即可得解；当x-1时，再分0m1和m0两种情况进行讨论，由函数零点定理进行判断即可得到答案.试题解析：，所以(1)当时，则，令，则，当时，即，所以函数在上为增函数，即当时，所以当时，恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，所以当时，对恒成立.(2)由（1）知，当时，所以，所以函数的减区间为，增函数为.所以，所以对 ，即.当时，又，即，所以当时，函数为增函数，又，所以当 时，当时，所
17、以函数在区间上有且仅有一个零点，且为. 当时，（）当时，所以，所以函数在上递增，所以，且，故时，函数在区间上无零点. ()当时， ，令，则，所以函数在上单调递增，当时，又曲线在区间上不间断，所以，使，故当时，当时，所以函数的减区间为，增区间为，又，所以对，又当时，又，曲线在区间上不间断.所以，且唯一实数，使得，综上，当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有个两零点.点睛：已知函数有零点求参数常用的方法和思路：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一个平面直角
18、坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解.选做题：请在以下两题中任选一题作答，若两题都做，则按第22题给分.22.在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为，若曲线与相交于、两点（1）求的值； （2）求点到、两点的距离之积【答案】(1);(2).【解析】试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的转化、极坐标方程与直角坐标方程的转化、点到直线的距离公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力第一问，利用、将直线的极坐标方程转化为普通方程，再利用点到直线的距离公式计算，利用三角函数的有界性求最值；第二问，利用平方关系
19、将曲线C的方程转化为普通方程，将直线的参数方程与曲线C的方程联立，消参，得到，即得到结论试题解析：解析：（1） 曲线的普通方程为，则的普通方程为，则的参数方程为：代入得，（2）考点：1参数方程与普通方程的转化；2极坐标方程与直角坐标方程的转化；3点到直线的距离公式23.（1）已知实数，满足，证明：.（2）已知，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用分析法从结论出发一步步处理，得只需证 ，然后由条件出发即可证出结论；（2）利用分析法从结论出发一步步处理，得只需证，有基本不等式知显然成立，所以得证.【详解】证明：（1）要证，只需证 只需证，只需证即，成立.要证明的不等式成立.（2）要证，只需证只需证即证只需证即证，由基本不等式知此式显然成立.原不等式成立.【点睛】本题考查了分析法证明不等式，当条件处理方向不明确时，常用分析法从结论出发进行处理解题.
