1、第二章 点、直线、平面之间的位置关系 章末归纳提升点、线、面的位置关系空间中直线与直线的位置关系包括相交、平行和异面三种位置关系，其中异面直线的判断是学习的重难点之一；空间中直线与平面的位置关系包括直线在平面内、直线与平面平行及直线与平面相交三种位置关系，其中直线与平面相交及直线与平面平行统称为直线在平面外，这是本章学习的易错点之一；空间中平面与平面具有相交、平行两种位置关系另外学习中应体会公理1、2、3、4在处理点、线、面位置关系中的作用，掌握好“点共线”、“线共点”等问题的求解策略如图所示，空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12
2、.求证：(1)E、F、G、H四点共面；(2)EG与HF的交点在直线AC上【思路点拨】(1)利用三角形的中位线性质及公理4证明EFGH便可(2)先证明EG与HF相交，再说明交点落在平面ABC与平面ACD的交线上【规范解答】(1)BGGCDHHC，GHBD.E，F分别为AB，AD的中点，EFBD，EFGH，E，F，G，H四点共面(2)G，H不是BC，CD的中点，EFGH，且EFGH，故EFHG为梯形EG与FH必相交，设交点为M，而EG平面ABC，FH平面ACD，M平面ABC，且M平面ACD.又平面ABC平面ACDAC，MAC，即GE与HF的交点在直线AC上正方体ABCDA1B1C1D1中，对角线A
3、1C与平面BDC1交于点O，AC、BD交于点M.求证：点C1、O、M共线【证明】如图，因为A1AC1C，所以直线A1A，C1C确定平面A1C.因为OA1C，A1C平面A1C，所以O平面A1C.因为平面BC1D直线A1CO，所以O平面BC1D，所以O在平面A1C与平面BC1D的交线上因为ACBDM，所以M平面BC1D，且M平面A1C.所以平面BC1D平面A1CC1M.所以OC1M.即O、C1、M三点共线.空间中的平行关系在本章中，空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面
4、平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律如下图所示是平行关系相互转化的示意图如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由【思路点拨】假设存在满足条件的点F，由于平面AFC平面PMD，且平面AFPM与平面AFC、平面PMD分别交于直线AF、PM，则必有AFPM，又PB2MA，则点F是PB的中点【规范解答】当点F是PB的中点
5、时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PFPB.四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MA綊PB，PF綊MA.四边形AFPM是平行四边形AFPM.又AF平面PMD，PM平面PMD.AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC.平面AFC平面PMD.已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点求证：平面EB1D1平面FBD.【证明】如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1.AC1是正方体，四边形EGC1D1是平行四边形，C1GED1.又四边形GBFC
6、1是平行四边形，C1GBF，所以ED1BF，ED1平面FBD，BF平面FBD，ED1平面FBD.又B1D1BD，B1D1平面FDB，且ED1B1D1D1，平面EB1D1平面FBD.空间中的垂直关系在本章中，空间中的垂直关系包括线与线的垂直、线与面的垂直及面与面的垂直，三种垂直关系是本章内容的核心，学习时要突出三者间的互化意识如在证明两平面垂直时一般从现有直线中寻找平面的垂线，若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决如有面面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，进一步转化为线线垂直如图所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形，ABAC，侧面BB1
7、C1C底面ABC. (1)若D是BC的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于点M，若AMMA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C.【思路点拨】(1)由面面垂直的性质可证(2)先证明C1N侧面BB1C1C，再证截面MBC1侧面BB1C1C.【规范解答】(1)ABAC，D是BC的中点，ADBC.底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1C.ADCC1.(2)延长B1A1与BM交于点N，连接C1N.AMMA1，NA1A1B1.A1C1A1NA1B1，C1NB1C1，C1N侧面BB1C1C.截面MBC1侧面BB1C1C.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABC
8、D是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点(1)求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF平面ABCD，并证明你的结论【解】(1)证明：在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又因为平面PAD平面ABCD.平面PAD平面ABCDAD.所以BG平面PAD.(2)证明：连接PG，因为PAD为正三角形，G为AD的中点，得PGAD，由(1)知BGAD，PGBGG.PG平面PGB，BG平面PGB.所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以ADPB.(3)解当
9、F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.取PC的中点F，连接DE、EF、DF，在PBC中，FEPB.在菱形ABCD中，GBDE，而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，所以平面DEF平面PGB，由(1)得PG平面ABCD，而PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD.所以平面DEF平面ABCD.空间角的求法1.空间中的角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角空间角的题目一般都是各种知识的交汇点，因此，它是高考重点考查的内容之一，应引起足够重视2求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角)3求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影)4二面角的平面
10、角的作法常有三种：(1)定义法；(2)垂线法；(3)垂面法如图，正方体的棱长为1，BCBCO，求： (1)AO与AC所成角的度数；(2)AO与平面ABCD所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成角的度数【思路点拨】先找出(或作出)空间角的平面角，再用解三角形的办法求其大小【规范解答】(1)ACAC，AO与AC所成的角就是OAC.OCOB，AB平面BCCB，OCAB且ABBOB.OC平面ABO.又OA平面ABO，OCOA.在RtAOC中，OC，AC，sinOAC，OAC30，即AO与AC所成角的度数为30.(2)如图，作OEBC于E，连接AE，平面BCCB平面ABCD，OE平面ABCD，
11、OAE为OA与平面ABCD所成的角在RtOAE中，OE，AE ，tanOAE.(3)OCOA，OCOB，OAOBO，OC平面AOB.又OC平面AOC，平面AOB平面AOC，即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90.AB平面BCD，CDCB，AD与平面BCD所成的角为30，且ABBC.(1)求AD与平面ABC所成角的大小；(2)求二面角CADB的余弦值【解】(1)如图所示，AB平面BCD，ADB30.DCCB，ABCD，DC平面ABC，设ABBCa，则ACa，BDa，AD2a，在RtACD中，cosCAD.CAD45.即AD与平面ABC所成的角为45.(2)取AD的中点E，连接CE.ACD为等
12、腰直角三角形，AD为斜边，CEAD.又AB平面BCD，AB平面ABD.平面BCD平面ABD，过点C作CFBD于F，CF平面ABD.连接EF，则EFAD，则CEF为二面角CADB的平面角，在RtCEF中，CEADa，EFatan 30a.cosCEF.即二面角CADB的余弦值为.等价转化思想通过添加辅助线或面，将空间几何问题转化为平面几何问题，这是一种降维转化思想线线、线面、面面的位置关系可以相互转化，使它们建立联系，揭示本质点面距、线面距、面面距、点线距之间也可相互转化例如求点面距时，可沿平行线平移，找到一个合适的点求点面距离，这就体现了“点面距线面距点面距”的转化思想如图所示，矩形ABCD中
13、，AB6，BC2，沿对角线BD将ABD折起，使点A移至点P，P在平面BCD内的射影为O，且O在DC上(1)求证：PDPC；(2)求二面角PDBC的平面角的余弦值【思路点拨】(1)证明PDPC，可以转化为证线面垂直(2)求二面角时，一般是在棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作棱的垂线，两垂线的夹角即为二面角但这里我们可转化为求两个面积的比，即求，求得的值即为所求二面角的余弦值【规范解答】(1)P在平面BCD内的射影为O，则PO平面BCD，BC平面BCD，POBC.BCCD，CDPOO，BC平面PCD.DP平面PCD，BCDP.又DPPB，PBBCB，DP平面PBC.而PC平面PBC，PDPC.(
14、2)PBD在平面BCD内的射影为OBD，且SPBD626，SOBDSCBDSBOC62OC.在RtDPC中，PC2DC2DP224.设OCx，则OD6x，PC2OC2DP2DO2，即24x212(6x)2.解得x4.SBOD642.过点P作PQDB，连接OQ，则DB平面OPQ，OQP即为二面角PDBC的平面角，cosOQP.如图所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，BC的中点，EFBDG. (1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离【解】(1)证明：连接AC.正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是正方形，ACBD.又ACDD1，且BDDD1D，故AC平面BDD1B1，E，F分别为棱AB，BC的中点，故EFAC，EF平面BDD1B1，又EF平 B1EF，平面B1EF平面BDD1B1.(2)由(1)平面B1EF平面BDD1B1且交线为B1G，所以作D1HB1G于H，则D1H平面B1EF，即D1H为D1到平面B1EF的距离B1D1BD，D1B1HB1GB，sinD1B1HsinB1GB.D1B1H中，D1B14，sinD1B1H，D1H.
