1、思维特训(五)反比例函数与几何图形的综合方法点津 解决反比例函数与几何图形的综合问题，要关注双曲线与几何图形的交点，发挥其既是双曲线上的点又是几何图形上的点的双重作用，结合反比例函数的性质及几何图形的性质寻找解题的思路典题精练 类型一反比例函数与三角形的综合应用1如图5Y1所示，过点O作直线与双曲线y(k0)交于A，B两点，过点B作BCx轴于点C，BDy轴于点D.在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一直线上，且AEAF.设图中矩形ODBC的面积为S1，EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是()图5Y1AS1S2B2S1S2C3S1S2 D4S1S22如图5Y2，在平面直角坐标
2、系中，AOB90，ABx轴，OB2，双曲线y过点B.将AOB绕点B逆时针旋转，使点O的对应点D落在x轴的正半轴上，且AB的对应线段CB恰好经过点O.(1)求点B的坐标和双曲线的解析式；(2)判断点C是否在双曲线上，并说明理由图5Y2类型二反比例函数与平行四边形的综合应用3如图5Y3，四边形ABCO是平行四边形，OA2，AB6，点C在x轴的负半轴上，将ABCO绕点A逆时针旋转得到ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上若点D在反比例函数y(x0)的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为_图5Y56如图5Y6，在矩形OABC中，OA3，OC2，F是AB上的一个动点(点F不与点A
3、，B重合)，过点F的反比例函数y(x0)的图象与BC边交于点E.(1)当F为AB的中点时，求该反比例函数的解析式；(2)当k为何值时，EFA的面积最大，最大面积是多少？图5Y6类型四反比例函数与菱形的综合应用7如图5Y7，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BEAC，AEOB.(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)如果OA3，OC2，求出经过点E的反比例函数的解析式图5Y7类型五反比例函数与正方形的综合应用8如图5Y8，在平面直角坐标系中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数y(x0)的图象过点B，E.若AB2
4、，则k的值为_图5Y89.如图5Y9，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点D，M分别在边AB，OA上，且AD2DB，AM2MO，一次函数ykxb的图象经过点D和M，反比例函数y的图象经过点D，与BC的交点为N.(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接MN，若点P在直线DM上，且使OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标图5Y9类型六反比例函数与圆的综合应用10如图5Y10，已知一次函数y1kxb的图象与反比例函数y2的图象交于点A(4，m)，且与y轴交于点B，第一象限内的点C在反比例函数y2的图象上，且以
5、点C为圆心的圆与x轴、y轴分别相切于点D，B.(1)求m的值；(2)求一次函数的解析式；(3)根据图象，当y1y20时，写出x的取值范围图5Y10详解详析1B解析 如图，过点A作AHx轴于点H，则AHy轴又A是EF的中点，H是OE的中点，S22SAOE4SAOH4OHAH2|k|.S1OCBC|k|，2S1S2.故选B.2解：(1)由旋转可知，ABOOBD，OBBD，所以BODBDO.又因为ABx轴，所以ABOBOD，所以ABOBODOBDBDO60，所以BOD是等边三角形，所以BOE30.因为ABx轴，所以ABy轴，所以BEOB1，OE，所以B(1，)，所以双曲线的解析式为y.(2)点C在双
6、曲线上理由：由(1)知ABO60，又因为AOB90，所以A30，AB2OB.由旋转可知，ABBC，所以BC2OB，所以OCOB，所以点C和点B关于原点对称，所以点C在双曲线上3. 4 解析 如图所示，过点D作DMx轴于点M，由题意可得BAOOAF，AOAF，ABOC，则BAOAOFAFOOAF，故AOF60DOM.ODADOAABOA624，MO2，MD2 ，D(2，2 )，k(2)(2 )4 .故答案为4 .4解：(1)反比例函数的图象在第一、三象限，12m0，解得m，m的取值范围是m.(2)四边形ABOD是平行四边形，A(0，3)，B(2，0)，D(2，3)把点D的坐标代入y，得3，12m
7、6，反比例函数的解析式为y.利用反比例函数图象的轴对称性可知，点P的坐标为(3，2)或(2，3)或(3，2)；分别以点D，点O为圆心，以OD的长为半径画圆，与反比例函数的图象相交，可知满足条件的点P有4个5(2，7)解析 如图，过点D作DFx轴于点F，则AOBDFA90，OABABO90.四边形ABCD是矩形，BAD90，ADBC，OABDAF90，ABODAF，AOBDFA，OADFOBAFABAD.ABBC32，点A(3，0)，B(0，6)，ABAD32，OA3，OB6，DF2，AF4，OFOAAF7，点D的坐标为(7，2)，反比例函数的解析式为y，点C的坐标为(4，8)设直线BC的解析式
8、为ykxb，则解得直线BC的解析式为yx6，联立解得或(舍去)，点E的坐标为(2，7)故答案为(2，7)6解：(1)在矩形OABC中，OA3，OC2，B(3，2)F为AB的中点，F(3，1)点F在反比例函数y(x0)的图象上，k3，该反比例函数的解析式为y.(2)由题意，知E，F两点的坐标分别为(，2)，(3，)，SEFAAFBEk2k(k3)2.当k3时，SEFA有最大值，最大值为.7解：(1)证明：BEAC，AEOB，四边形AEBD是平行四边形四边形OABC是矩形，DAAC，DBOB，ACOB，DADB，四边形AEBD是菱形(2)连接DE，交AB于点F，如图所示四边形AEBD是菱形，AB与
9、DE互相垂直平分OA3，OC2，EFDFOA，AFABOC1，3，点E的坐标为.设经过点E的反比例函数的解析式为y，把点E的坐标代入，得k，经过点E的反比例函数的解析式为y.862 解析 设E(a，a)，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，B(2，a2)，a22(a2)，整理，得a22a40，解得a1，而a0，a1，ka2(1)262 .9解：(1)正方形OABC的顶点C的坐标为(0，3)，OAABBCOC3，OABBBCO90，又AD2DB，ADAB2，D(3，2)把点D(3，2)的坐标代入y，得m6，反比例函数的解析式为y.AM2MO，OMOA1，M(1，0)把点M(1，0)和点D(
10、3，2)的坐标代入ykxb，得解得k1，b1，一次函数的解析式为yx1.(2)把y3代入y，得x2，N(2，3)，NC2.设P(x，y)，OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，(OMNC)OCOM，即(12)3，y9.当y9时，x10；当y9时，x8，点P的坐标为(10，9)或(8，9)10解：(1)把点A(4，m)的坐标代入y2，得m1.(2)连接BC，CD，C与x轴、y轴分别相切于点D，B，CBOCDO90BOD，BCCD，四边形BODC是正方形，BOODCDBC.设C(a，a)，把点C(a，a)的坐标代入y2，得a24.a0，a2，C(2，2)，B(0，2)把点A(4，1)和点B(0，2)的坐标代入y1kxb，得解得一次函数的解析式为y1x2.(3)A(4，1)，当y1y20时，x的取值范围是x4.
