1、等差数列及其前n项和1等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是ana1(n1)d.3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A叫做a与b的等差中项4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman.(3)若an是等差数列，公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d.(4)若a
2、n，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为d，则ak，akm，ak2m，(k，mN*)是公差为md的等差数列(6)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列(7)若an是等差数列，则也是等差数列，其首项与an的首项相同，公差为d.5等差数列的前n项和公式设等差数列an的公差为d，其前n项和Sn或Snna1d.6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snn2n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值概念方法微思考1“a，A，b是等差数列”是“A”的什
3、么条件？提示充要条件2等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？提示不一定当公差d0时，Snna1，不是关于n的二次函数1（2020北京）在等差数列中，记，2，则数列A有最大项，有最小项B有最大项，无最小项C无最大项，有最小项D无最大项，无最小项【答案】B【解析】设等差数列的公差为，由，得，由，得，而，可知数列是单调递增数列，且前5项为负值，自第6项开始为正值可知，为最大项，自起均小于0，且逐渐减小数列有最大项，无最小项故选2（2020新课标）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块下一
4、层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A3699块B3474块C3402块D3339块【答案】C【解析】方法一：设每一层有环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差，由等差数列的性质可得，成等差数列，且，则，则，则三层共有扇面形石板块，方法二：设第环天石心块数为，第一层共有环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设为的前项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，下层比中层多729块，解得，故选3（2019新课标）记为等差数列的前项和已知，则ABCD【答案】A【解析】设等差数列的公差为，由，
5、得，故选4（2018新课标）记为等差数列的前项和若，则ABC10D12【答案】B【解析】为等差数列的前项和，把，代入得故选5（2017全国）设等差数列的前项和为，则公差的取值范围是ABCD，【答案】A【解析】等差数列的前项和为，解得公差的取值范围是，故选6（2017新课标）记为等差数列的前项和若，则的公差为A1B2C4D8【答案】C【解析】为等差数列的前项和，解得，的公差为4故选7（2017新课标）等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则前6项的和为ABC3D8【答案】A【解析】等差数列的首项为1，公差不为0，成等比数列，且，解得，前6项的和为故选8（2020上海）已知数列是公差不为零
6、的等差数列，且，则_【答案】【解析】根据题意，等差数列满足，即，变形可得，所以故答案为：9（2020新课标）记为等差数列的前项和若，则_【答案】25【解析】因为等差数列中，所以，即，则故答案为：2510（2020海南）将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前项和为_【答案】【解析】将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则是以1为首项、以6为公差的等差数列，故它的前项和为，故答案为：11（2019新课标）记为等差数列的前项和若，则_【答案】100【解析】在等差数列中，由，得，则故答案为：10012（2019新课标）记为等差数列的前项和若，则_【答案】4【解析】设等差数列的公差为，则由，可得，
7、故答案为：413（2019北京）设等差数列的前项和为，若，则_，的最小值为_【答案】0，【解析】设等差数列的前项和为，解得，或时，取最小值为故答案为：0，14（2019江苏）已知数列是等差数列，是其前项和若，则的值是_【答案】16【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得故答案为：1615（2018北京）设是等差数列，且，则的通项公式为_【答案】【解析】是等差数列，且，解得，的通项公式为故答案为：16（2018上海）记等差数列的前项和为，若，则_【答案】14【解析】等差数列的前项和为，解得，故答案为：1417（2018上海）已知是等差数列，若，则_【答案】15【解析】是等差数列，解得，故答案
8、为：1518（2017上海）若等差数列的前5项的和为25，则_【答案】10【解析】等差数列的前5项的和为25，故答案为：1019（2019北京）设是等差数列，且，成等比数列（1）求的通项公式；（2）记的前项和为，求的最小值【解析】（）是等差数列，且，成等比数列，解得，（）由，得：，或时，取最小值20（2019新课标）记为等差数列的前项和已知（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围【解析】（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，若，则，变形可得，即，若，则，则，（2）若，则，当时，不等式成立，当时，有，变形可得，又由，即，则有，即，则有，又由，则有，则有，综合可得：的取值范围是，21
9、（2018新课标）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值【解析】（1）等差数列中，解得，；（2），当时，前项的和取得最小值为强化训练1（2020运城模拟）已知等差数列的前项和为，满足，且，成等差数列，则ABCD【答案】B【解析】等差数列的前项和为，满足，且，成等差数列，即，故公差，且，故选2（2020东湖区校级模拟）在等差数列中，表示数列的前项和，则A134B135C136D137【答案】B【解析】在等差数列中，解得，表示数列的前项和，则故选3（2020青羊区校级模拟）周髀算经有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、
10、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为A七尺五寸B六尺五寸C五尺五寸D四尺五寸【答案】D【解析】从冬至日起，日影长构成数列，则数列是等差数列，则，所以，解可得，故故选4（2020威海二模）我国天文学和数学著作周髀算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度）二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是A相邻两个节气晷
11、长减少或增加的量为一尺B春分和秋分两个节气的晷长相同C立冬的晷长为一丈五寸D立春的晷长比立秋的晷长短【答案】D【解析】由题意知：设晷长为等差数列，公差为，则，解得相邻两个节气晷长减少的量为一尺，故正确秋分的晷长为：，春分的晷长为：75，春分和秋分两个节气的晷长相同，故正确立冬的晷长为：即为一丈五寸，故正确立春的晷长与立秋的晷长都为30，故不正确故选5（2020运城模拟）已知为等差数列的前项和，若，则ABCD【答案】A【解析】由等差数列的性质可得，解得故选6（2020福建模拟）等差数列的前项和为，若，是方程的两实根则A10B5CD【答案】C【解析】等差数列的前项和为，若，是方程的两实根，则，故选
12、7（2020乌鲁木齐三模）已知等差数列满足，则A20B24C26D28【答案】B【解析】等差数列满足，设公差为，相减可得，则，故选8（2020南平三模）已知等差数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是A有最大值32B有最小值10C有最大值D有最大值30【答案】D【解析】等差数列中，设公差为，由，得，所以；又，即，化简得；由解得，；所以；令，解得；所以或6时，取得最大值，此时故选9（2020焦作四模）设等差数列的前项和为，则ABC36D85【答案】B【解析】由题意利用等差数列的性质得，解得，所以，故选10（2020重庆模拟）设等差数列的公差为，前项和为，若，且，则ABC1D3【答案】A【解析】
13、等差数列中，所以；又，所以；所以，解得故选11（2020唐山二模）已知等差数列的前项和为，则AB0C10D20【答案】C【解析】等差数列中，所以故选12（2020天津模拟）已知在等差数列中，则A3B7CD【答案】C【解析】由等差数列的性质，得，所以，公差，又，所以故选13（2020梅州一模）已知等差数列的公差不为零，且，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则A10B11C12D13【答案】D【解析】由题意可得，整理可得，即，故故选14（2020宁德二模）已知等差数列的前项和为，且，则A21B27C30D36【答案】B【解析】等差数列的前项和为，且，则，故选15（2020天心区校级模拟）数
14、列是等差数列，且，那么ABC5D【答案】B【解析】，数列是等差数列，设公差为，解得，解得故选16（2020河南模拟）记等差数列的前项和为，若，则ABCD0【答案】A【解析】等差数列的前项和为，也成等差数列，又，故选17（2020哈尔滨三模）数列是等差数列，且，那么ABCD【答案】B【解析】设等差数列的公差为，且，解得，那么故选18（2020湖北模拟）已知首项为正的等差数列的前项和为，若对于任意的，都有，则A8B9C8或9D9或10【答案】C【解析】首项为正的等差数列的前项和为，整理得：，可得，可得或9时，取得最大值对于任意的，都有，则或9故选19（2020沙坪坝区校级模拟）设为等差数列的前项和
15、，若，则A1B2C3D4【答案】A【解析】为等差数列的前项和，解得，故选20（2020松原模拟）已知等差数列的前项和为，若，则公差A1B2C3D4【答案】C【解析】等差数列中，则，解可得，故选21（2020三模拟）已知数列既是等差数列又是等比数列，首项，则它的前2020项的和等于A0B1C2020D2021【答案】C【解析】数列既是等差数列又是等比数列，且首项，即数列是常数列它的前2020项的和等于2020故选22（2020运城模拟）等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）当时，证明：【解析】（1）设等差数列的公差为，联立解得：，（2）证明：当时，综上可得：23（2020安徽模拟
16、）记为等差数列的前项和已知，（）求的通项公式；（）设求数列的前项和【解析】设等差数列的公差为，解得：，（），数列的前项和24（2020汉中二模）设等差数列满足，（）求数列的通项公式；（）求的前项和及使得最小的的值【解析】（1），；（2），由于是二次函数，最小25（2020肥城市模拟）已知公差不为零的等差数列的前项和为，（1）求的通项公式；（2）求的最大值及对应的大小【解析】（1）设的公差为，且由，得，由，得，解得，的通项公式为，（2）由（1），得，当或时，有最大值为2026（2020吉林二模）已知等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）求使不等式成立的的最小值【解析】（1）设等差
17、数列的公差为，解得：，（2）不等式，即，化为：，解得使不等式成立的的最小值为827（2020陕西二模）在等差数列中，已知，（）求数列的通项公式；（）求【解析】因为是等差数列，所以解得，则， ，构成首项为，公差为9的等差数列则 28（2019吉安一模）已知等差数列的前项和为，（1）求数列的通项公式；（2）求的最大值【解析】（1），由得，得：，解得，故，由（1），得由二次函数的性质，当时有最大值62529（2019西安一模）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最大值【解析】（1）设的公差为，由题意得由得所以的通项公式为（2）由（1）得所以当时，取得最大值，最大值为430（2019兴庆区校级二模）已知等差数列中，求：（1）求的通项公式；（2）的前项和【解析】（1）设的公差为，解得，或，或，解得或，或（2）由（1）可得：或因此，或
