1、思维特训(十六)三角形的边长、面积与其内切圆半径之间的关系方法点津 基本图形与结论：设S为ABC的面积，l为ABC的周长，r为ABC内切圆O的半径rAFlBCDBlACCDlAB解题原理：切线长定理，内心到各边的距离相等解题策略：连接圆心与三角形各顶点或连接圆心与切点，利用相关性质及等面积法建立等量关系求解典题精练 1阅读材料：如图161，在面积为S的ABC中，BCa，ACb，ABc，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，ABC被划分为三个小三角形SSOBCSOACSOABBCrACrABrarbrcr(abc)r，r.(1)理解与应用：利用公式计算边长分别为5，12，13的三角形内切圆半
2、径；(2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆)如图，且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；(3)拓展与延伸：若一个n边形(n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，an，合理猜想其内切圆半径公式(不需说明理由)图1612如图162，ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB11 cm，BC16 cm，CA15 cm，求AF，BD，CE的长图1623如图163，在ABC中，C90，它的内切圆O分别与边AB，BC，CA相切于点D，E，F，且BD12，AD8，求O的半径r.图1634如图164
3、，ABC中，ABAC13 cm，BC10 cm，O是ABC的内切圆，求O的半径图1645如图165，在RtABC中，C90，AB，BC，AC的长分别是c，a，b.根据“切线长定理”，我们易得ABC的内切圆半径r；如图，当圆心O在RtABC外，且O与RtABC三边均相切时，求半径r.图1656“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I叫做ABC的内心，显然内心I到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法图166(1)如图166，已知ABC的三边长ABc，ACb，BCa，面积为S，则SSIABSIBCSIAC_，r_(用含a，b，c，S的代数式表示)；
4、(2)特别地，在RtABC中，ACB90，如图，(1)中的结论仍然成立，而S，故r_(用含a，b，c的代数式表示)，记作式；另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CPCQr，所以可以得到r的另一种表达方式r_(用含a，b，c的代数式表示)，记作式由上述式、式相等，请继续推导直角三角形中a，b，c的关系典题讲评与答案详析1解：(1)以5，12，13为边长的三角形为直角三角形，易求得r2.(2)如图，连接OA，OB，OC，OD，并设内切圆半径为r.可得S四边形ABCDSOABSOBCSOCDSODAarbrcrdr(abcd)r.r.(3)猜想：r.2解：ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相
5、切于点D，E，F，AFAE，BFBD，CDCE.AFAEBFBDCDCEABBCCA，2AF2BD2CDABBCCA，AF(ABBCCA)BC(111615)165(cm)BDBFABAF1156(cm)，CECDCAAE15510(cm)综上可得，AF5 cm，BD6 cm，CE10 cm.3解：如图，连接OE，OF.O分别与边AB，BC，CA相切于点D，E，F，OEBC，OFAC，AFAD8，BEBD12，OECOFC90.又C90，四边形OECF是矩形又OEOF，四边形OECF是正方形，CECFr，ACAFCF8r，BCBECE12r，ABADBD81220.在RtABC中，AB2BC2
6、AC2，即202(12r)2(8r)2，整理，得r220r960，解得r14，r224(舍去)O的半径r为4.4解：如图，设O与ABC各边的切点分别是D，E，F，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF.O是ABC的内切圆，ODBC，OEAB，OFAC.又OEOF，AO平分BAC.而ABAC，AOBC，AO，OD互相重合，即ADBC.ABAC，BDCDBC5.由勾股定理，得AD212.设O的半径为r，则SABC(ABACBC)r，又SABCBCAD，(131310)r1012，解得r，即O的半径为 cm.5解：如图，设O与ABC的边或边的延长线的三个切点分别是D，E，F，连接OE，OF，则OEBC，OFAC，即OECOFC90.ECFACB90，四边形CFOE是矩形又OFOE，四边形CFOE是正方形，OFOECECFr，BDBEBCCEar.由切线长定理，得ADAF，即c(ar)br，解得r.6解：(1)(abc)r(2)由式、式可得，(abc)(abc)2ab，(ab)2c22ab，a22abb2c22ab，从而a2b2c2，即直角三角形中，a，b，c的关系为a2b2c2.
