1、思维特训(八)抛物线背景下的平行四边形存在性问题方法点津 此类问题往往由于几何图形构成条件的不足，需分类讨论构成完整图形的各种情形，通过确定点的坐标来解决图形的存在性问题解决此类问题时用到的主要知识和方法有：1平行于x轴的直线上两点间的距离等于这两点的两个横坐标差的绝对值；平行于y轴的直线上两点间的距离等于这两点的两个纵坐标的差的绝对值2已知平行四边形的三个顶点，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质可以确定第四个顶点典题精练 类型一已知平行四边形的三个顶点在抛物线上，在平面上确定平行四边形的第四个顶点1如图81，抛物线yx2x与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐
2、标(2)在坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由图81类型二已知两个定点以及抛物线对称轴上一动点，在抛物线上确定平行四边形的第四个顶点2如图82，抛物线yax2bx3与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，顶点记为D.(1)求该二次函数的解析式(2)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由图82类型三已知抛物线上两定点，一动点，在x轴上确定平行四边形的第四个顶点3如图83，抛物线yx
3、2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，点C在抛物线上且横坐标为2.(1)求抛物线的解析式(2)G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G四点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由图83类型四平行四边形两顶点为定点且横坐标相同，另外两个顶点在已知直线上和抛物线上4如图84，过A(1，0)，B(3，0)作x轴的垂线，分别交直线y4x于点C，D.抛物线yax2bxc经过O，C，D三点(1)求抛物线的解析式(2)M为直线OD上的一个动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，是否存在这样的点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边
4、形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由图84典题讲评与答案详析1解：(1)令y0，则x2x0，解得x13，x21，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(1，0)(2)存在yx2x(x1)22，点P的坐标为(1，2)，所有符合条件的点F的坐标为(1，2)，(3，2)，(5，2)2解：(1)将点A，B的坐标分别代入yax2bx3，得解得抛物线的解析式为yx22x3.(2)存在如图(a)，当点P1与点D重合时，P1，Q关于AB对称时，四边形AP1BQ是平行四边形，此时P1(1，4)；如图(b)，当PQAB，且PQAB时，四边形APQB是平行四边形A(1，0)，B(3，0)，
5、AB4.点Q的横坐标为1，PQ|x1|4，x5或x3.当x5时，yx22x312，P2(5，12)；当x3时，yx22x312，P3(3，12)综上所述，点P的坐标为(1，4)，(5，12)，(3，12)3解：(1)将A(1，0)，B(3，0)代入yx2bxc，得b2，c3，yx22x3.(2)存在将点C的横坐标x2代入yx22x3，得y3，C(2，3)如图(a)，连接C与抛物线和y轴的交点G.当x0时，yx22x33，G(0，3)C(2，3)，CGx轴，此时AFCG2，点F的坐标是(3，0)；如图(b)，同可得AFCG2.点A的坐标为(1，0)，点F的坐标为(1，0)；如图(c)，(d)，此
6、时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此点G的纵坐标为3.将y3代入抛物线解析式中即可得出点G的坐标为(1，3)，线段GF可以看成是由线段AC平移得到的A(1，0)，G(1，3)，C(2，3)，F(4，0)综上所述，所有满足条件的点F的坐标为(3，0)，(1，0)，(4，0)，(4，0)4解：(1)过点A(1，0)，B(3，0)作x轴的垂线，分别交直线y4x于点C，D，C(1，3)，D(3，1)抛物线yax2bxc经过O，C，D三点，抛物线的解析式为yx2x.(2)存在A(1，0)，C(1.3)，AC3.ACx轴，MNx轴，ACMN.以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，ACMN.点D的坐标为(3，1)，直线OD的解析式为yx.M为直线OD上的一个动点，可设M(m，m)，N(m，m2m)，MN|4m212m|.ACMN，|4m212m|3，|4m212m|9.当4m212m0，即m0或m3时，4m212m9，m，点M的横坐标为或；当4m212m0，即0m3时，4m212m9，m.综上所述，存在符合条件的点M，此时点M的横坐标为或或.
