1、2017年邵阳市高三第一次联考试题卷理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，（ ）ABCD 2.复数的虚部为（ ）ABCD 3.已知等差数列，则其前项的和（ ）ABCD 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）ABCD 5.点是双曲线的右支上的一点，是圆上的一点，点的坐标为，则的最大值为（ ）ABCD 6.如图所示，程序框图的算法思路源于数学名著几何原本中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ ”表示除以的余数），若输入的，分别为，则输出的（ ）ABCD 7.若函数（且）
2、在上既是奇函数又是增函数，则函数的大致图象是（ ）8.在中，角，对应边分别为，已知三个向量，共线，则形状为（ ）A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰直角三角形 9.如图所示，阴影部分是由四个全等的直角三角形组成的图形，在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为，设直角三角形中较大的锐角为，则（ ）ABCD 10.设抛物线（）的焦点为，已知点，为抛物线上的两个动点，且满足，过弦的中点作抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）ABCD 11.设函数是奇函数（）的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD12.已知函数满足：对任意，恒有成立；当时，若，则满足条件的最小的正
3、实数的值为（ ）ABCD 第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若二项式展开式的第三项系数为80，则实数 14.已知向量，的夹角为，则 15.已知数列为等比数列，且（为自然对数的底数），数列首项为1，且，则的值为 16.已知，满足则的取值范围为 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知的内角，的对边分别为，且满足，（1）求的值；（2）若的面积为，求的值18.如图所示，已知三棱柱中，（1）求证：；（2）若，求二面角的余弦值19.空气质量按照空气质量指数大小分为七档（五级），相对应空气质量的七个类别，指数越
4、大，说明污染的情况越严重，对人体危害越大指数级别类别户外活动建议优可正常活动良轻微污染易感人群症状有轻度加剧，健康人群出现刺激症状，心脏病和呼吸系统疾病患者应减少体积消耗和户外活动轻度污染中度污染心脏病和肺病患者症状显著加剧，运动耐受力降低，健康人群中普遍出现症状，老年人和心脏病、肺病患者应减少体力活动中度重污染重污染健康人运动耐受力降低，由明显强烈症状，提前出现某些疾病，老年人和病人应当留在室内，避免体力消耗，一般人群应尽量减少户外活动现统计邵阳市市区2016年10月至11月连续60天的空气质量指数，制成如图所示的频率分布直方图（1）求这60天中属轻度污染的天数；（2）求这60天空气质量指数
5、的平均值；（3）一般地，当空气质量为轻度污染或轻度污染以上时才会出现雾霾天气，且此时出现雾霾天气的概率为，请根据统计数据，求在未来2天里，邵阳市恰有1天出现雾霾天气的概率20.如图所示，已知椭圆：，其中，分别为其左，右焦点，点是椭圆上一点，且（1）当，且时，求的值；（2）若，试求椭圆离心率的范围21.已知函数（），（1）求函数单调区间；（2）当时，求函数在上的值域；求证：，其中，（参考数据）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知直线：（为参数），曲线：（为参数）（1）设与相交于，两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的3
6、倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最大值23.已知函数（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数的取值范围2017年邵阳市高三第一次联考试题卷理科数学答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：（1），由正弦定理得，又，（2），当时，；当时，故或18.解：（1）四边形为平行四边形，且，为等边三角形，取中点，连接，则，平面，平面，平面，（2）为等边三角形，在中，为中点，又，平面以为原点，方向为，轴的正向，建立如图所示的坐标系，则，则，则平面的一个法向量，设为平面的法向量，则令，19.解：（1）依题意知，轻度
7、污染即空气质量指数在之间，共有天（2）由直方图知60天空气质量指数的平均值为（3）空气质量为轻度污染或轻度污染以上的概率，出现雾霾概率为，未来2天里，恰有1天为雾霾天气的概率20.解：（1）当，时，椭圆为：，则或，当时，,直线：，直线：，联立解得，同理可得当时，综上所述，（2）设，由，由，即，又，联立解得（舍）或（），即，故21.解：（1）当时，在单调递增；当时，令，得，即，在上单调递减，在单调递增（2）时，由，令，在单调递减，单调递增，且由，值域为由，设为前项和，则，设，在单调递减，即时，故原不等式成立22.解：（1）由题意得直线的普通方程为，曲线的普通方程为，联立得解得，（2）由题意得曲线的参数方程为（是参数），设点，点到直线的距离，当时，23.解：（1）当时，当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即；当时，不等式等价于，解得，即综上所述，原不等式的解集为（2）由，即，得，又，即，解得
