1、3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式【阅读教材】根据下面的知识结构图阅读教材,了解几个常用函数的导数的得出过程,并初步识记基本初等函数的导数公式.【知识链接】1.导数的公式:f(x)=2.用导数的定义求导数的步骤:(1)求函数的增量 y.(2)求平均变化率 (3)求极限得出导函数 x0f(xx)f xlim.x f(xx)f xy.xx x0 x0f(xx)f xylimlimf x.xx 主题:几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式【自主认知】1.根据导数的定义,推导函数y=c(c为常数),y=x的导数.提示:对于函数y=c(c为常数),所以 y=对于
2、函数y=x,所以y=1.f(xx)f xyc c0 xxx ，x0 x0ylimlim 0 0.x f(xx)f xyxxx1xxx ，x0 x0ylimlim1x 2.根据导数的定义,推导函数y=x2,y=的导数.提示:对于函数y=x2,所以y=(2x+x)=2x.对于函数y=,所以 1x 22f(xx)f xy(xx)xxxx 222x2xx(x)x2xxx ，x0 x0ylimlimx 1x 11f(xx)f xyx(xx)xxxxxxx(xx)x 21xxx，22x0 x0y11ylimlim.xxxxx ()根据以上探究过程,试着写出四种常见函数的导数与基本初等函数的导数公式.1.四
3、种常见函数的导数(1)y=c(c为常数)的导函数为:_;(2)y=x的导函数为:_;(3)y=x2的导函数为:_;(4)y=的导函数为:_.y=0 y=1 y=2x 1x21yx2.基本初等函数的导数公式(1)若f(x)=c(c为常数),则f(x)=_;(2)若f(x)=x(Q*),则f(x)=_;(3)若f(x)=sinx,则f(x)=_;(4)若f(x)=cosx,则f(x)=_;(5)若f(x)=ax,则f(x)=_(a0);(6)若f(x)=ex,则f(x)=_;0 x-1 cosx-sinx axlna ex(7)若f(x)=logax,则f(x)=_(a0,且a1);(8)若f(x
4、)=lnx,则f(x)=_.1xln a1x【合作探究】1.函数y=x2与y=的导函数能否看作一类函数的导数?提示:能,都可以看作幂函数y=x(Q*)的导函数.2.函数y=kx(k0)增加(减少)的快慢与什么有关?提示:函数y=kx(k0)增加(减少)的快慢与k有关,即与函数的导数有关,k越大,函数增加(减少)得越快(越慢),k越小函数增加(减少)得越慢(越快).1x【拓展延伸】几个常见函数的物理意义(1)y=c表示路程关于时间的函数,则y=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.(2)y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体的瞬时速度始终为1的匀速运动.(3)
5、y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x.3.如何区分f(x)=sinx与f(x)=cosx的导数特征?提示:从导数公式(sinx)=cosx,(cosx)=-sinx看出:一要注意函数 名称的变化,二要注意符号的变化,特别注意(cosx)=-sinx,而不是(cosx)=sinx.4.函数f(x)=lnx与f(x)=logax的导数公式之间有哪些差异与联系?提示:函数f(x)=logax的导数公式为f(x)=(logax)=,当a=e时,上述公式就变为(lnx)=.即f(x)=lnx的导数公式是f(x)=logax的导数公式的特例.1x
6、ln a1x【拓展延伸】正、余弦函数导数的周期性 若令f1(x)=sinx,fk+1(x)=fk(x)(kN*),f2(x)=cosx,f3(x)=-sinx,f4(x)=-cosx,f5(x)=sinx,于是可知函数fk+1(x)=fk(x)(kN*)的 结果具有周期性.【过关小练】1.函数f(x)=0的导数是()A.0 B.1 C.不存在 D.不确定【解析】选A.常数函数的导数为0.2.已知函数f(x)=,则f(-2)=()A.4 B.C.-4 D.-【解析】选D.因为f(x)=所以f(-2)=1x1414211()xx，211.423.已知f(x)=2x,则f(1)=_.【解析】因为f(
7、x)=2x,所以f(x)=2xln2,所以f(1)=21ln2=2ln2.答案:2ln2【归纳总结】基本初等函数的导数公式的特点(1)常数函数的导数为零.(2)有理数幂函数的导数是幂函数型函数,其系数为原函数的次数,幂指数是原函数的幂指数减去1.(3)正弦函数的导数为余弦函数,余弦函数的导数为正弦函数的相反数.(4)指数函数的导数是指数型函数,其系数为以原函数底数为真数的自然对数.类型一:常用函数的导数【典例1】(1)函数f(x)=e的导数为()A.e B.0 C.不存在 D.不确定(2)函数y=在点 处的导数值是()A.4 B.-4 C.-D.1x1(2)2，1414【解题指南】(1)直接利
8、用常用函数的导数即可.(2)可先求出函数 y=的导数,再代入求值.【解析】(1)选B.因为f(x)=e为常数函数,所以f(x)=0.(2)选B.因为y=-,所以当x=时,y=-4.1x21x12【延伸探究】1.(变换条件)若把本例(2)中的点“”改为“”,则结果如何?【解析】因为y=-,所以当x=2时,y=2.(变换条件,改变问法)若把本例(2)中的条件改为“函数y=在点(m,n)处的导数值为-1”,则m+n的值是多少?【解析】因为y=-,又在点(m,n)处的导数值为1,所以 =-1,故m2=1,所以m=1.当m=1时,n=1,当m=-1时,n=-1,故m+n=2或m+n=-2.1(2)2，1
9、(2)2，21x211.241x21x21m【规律总结】定义法求导与公式法求导的对比(1)定义法求导:导函数定义本身就是函数求导的最基本方法,但导函数是用极限定义的,所以该方法求导最终归结为求极限,在运算上很麻烦,运算会很困难.(2)公式法求导:用导数定义推导出常见函数与基本初等函数的导数公式后,就可以用公式直接求导,该方法简捷迅速.【补偿训练】求下列函数的导数:(1)y=sin .(2)y=x-1.【解析】(1)因为函数y=sin =,所以y=0.(2)因为函数y=x-1=,所以y=-.33121x21x类型二:利用基本初等函数的导数公式求导【典例2】求下列函数的导数.(1)y=x8.(2)
10、y=.(3)y=.(4)y=2x.(5)y=log2x.(6)y=41x3 xcos(x).2【解题指南】(1)利用幂函数公式求导.(2)先化简转化为幂函数求导.(3)先化简转化为幂函数求导.(4)利用指数函数求导.(5)利用对数函数求导.(6)先化简再求导.【解析】(1)y=(x8)=8x8-1=8x7.(2)y=(x-4)=-4x-5.(3)y=(4)y=(2x)=2xln2.(5)y=(log2x)=(6)因为y=sinx,所以y=(sinx)=cosx.41()x1121333311x(x)xx.33 1.xln 2cos(x)2【规律总结】求简单函数导数的策略(1)看形式:首先观察函
11、数的形式,看是否符合基本初等函数的形式,如 对于形如 的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函 数的求导公式求导.(2)化简:对于不具备基本初等函数特征的函数可进行适当变形,将其 化成基本初等函数或与之相接近的函数形式,如将根式、分式化为指 数式,利用幂函数求导.(3)选公式:选择恰当的公式求解函数的导数.提醒:区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.np1yyxx，【巩固训练】(2015惠州高二检测)已知f(x)=且f(1)=-,求n.【解析】f(x)=所以f(1)=-,由f(1)=-得-=-,得n=3.n1x，1311n 11nnnn111()(x)xxnnx，1n131n13
12、【补偿训练】求下列函数的导数.(1)y=a2(a为常数).(2)y=x12.(3)y=x-5.(4)y=lgx.【解析】(1)因为a为常数,所以a2为常数,所以y=(a2)=0.(2)y=(x12)=12x11.(3)y=(x-5)=-5x-6=(4)y=(lgx)=65.x1.xln 10类型三:利用导数公式求切线方程【典例3】(2015盐城高二检测)求过曲线y=cosx上点 且与在这点的切线垂直的直线方程.【解题指南】先根据导数求出切线的斜率,进而可得与切线垂直的直线的斜率,再利用点斜式求出与切线垂直的直线的方程.1P()3 2，【解析】令f(x)=y=cosx,则f(x)=y=-sinx
13、,曲线在点 处的切线斜率是 所以过点P且与切线垂直的直线的斜率为 所以所求的直线方程为 即 1P()3 2，3f()sin.33223，12y(x)233，232x3y0.32【规律总结】求切线方程的步骤(1)利用导数公式求导数.(2)求斜率.(3)写出切线方程.求解时注意导数为0和导数不存在的情形.【巩固训练】(2015广州高二检测)曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率为()A.1 B.2 C.e D.0【解析】选A.因为y=ex,所以y=ex,所以曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k=e0=1.【补偿训练】求函数y=6x在x=1处的切线方程.【解析】因为y=(6x)=6xln6,所以当x=1时,y=6ln6,又x=1时,y=6,所以切线方程为y-6=6ln6(x-1),即6xln6-y-6ln6+6=0.
