1、第一课 常用逻辑用语 【网络体系】【核心速填】1.四种命题及其关系(1)四种命题 命题表述形式原命题若p,则q逆命题_否命题_逆否命题_若q,则p 若非p,则非q 若非q,则非p(2)四种命题间的逆否关系 逆命题 否命题 逆否命题(3)四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题,它们有_的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性_ _.相同 没有 关系 2.充分条件与必要条件(1)如果pq,那么称p是q的_,q是p的_.(2)分类:充要条件:_,记作pq;充分不必要条件:_;必要不充分条件:_;既不充分也不必要条件:_.充分条件 必要条件 pq且qp pq,q p qp,p q p q
2、且q p 3.简单的逻辑联结词(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q,可得_,_,_.(2)命题pq,pq,p的真假判断.pq中p、q有一假为假,pq有一真为真,p与p必定是 _.pq pq p 一真一假 4.全称量词与存在量词(1)全称量词与全称命题.全称量词用符号“_”表示.全称命题用符号简记为_.(2)存在量词与特称命题.存在量词用符号“_”表示.特称命题用符号简记为_.xM,p(x)x0M,p(x0)5.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 _xM,p(x)_ _x0M,p(x0)_ x0M,p(x0)xM,p(x)【易错警示】1.否命题和命题的否定是两个不同的概念
3、否命题是将原命题的条件否定作为条件,将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题;命题的否定只是否定命题的结论,常用于反证法.若命题为:“若p,则q”,则该命题的否命题是“若p,则q”;命题的否定为“若p,则q”.2.四种命题的三种关系,互否关系,互逆关系,互为逆否关系,只有互为逆否关系的命题是等价命题.3.判断p与q之间的关系时,要注意p与q之间关系的方向性,充分条件与必要条件方向正好相反,不要混淆.如a=0是“ab=0”的充分不必要条件,“ab=0”是“a=0”的必要不充分条件.4.注意常见逻辑联结词的否定 一些常见逻辑联结词的否定要记住,如:“都是”的否定“不都是”,“全是”的否定“不全是
4、”,“至少有一个”的否定“一个也没有”,“至多有一个”的否定“至少有两个”.类型一 四种命题及其关系【典例1】(1)(2016襄阳高二检测)命题“若ab,则2a2b”的否命题是()A.若ab,则2a2b B.若2a2b,则ab C.若ab,则2a2b D.若2a2b,则ab(2)设a0,b0,e是自然对数的底数,正确的命题 是()A.若ea+2a=eb+3b,则ab B.若ea+2a=eb+3b,则ab D.若ea-2a=eb-3b,则ab【解析】(1)选C.否命题为“若ab,则2a2b”.(2)选A.通过逆否命题判断真假.当0ab时,显然eaeb,且2a2b3b,所以ea+2ab成立,故A正
5、确,B错误;当0ab时,由eaeb,2a3b,知ea-2a与eb-3b的大小关系不确定,故C错误;同理,D错误.【方法技巧】1.四种命题的改写步骤(1)确定原命题的条件和结论.(2)逆命题:把原命题的条件和结论交换 否命题:把原命题中条件和结论分别否定 逆否命题:把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论.2.命题真假的判断方法【变式训练】(2016嘉峪关高二检测)下列四个结论:已知a,b,cR,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c23”的否命题是“若a+b+c3,则a2+b2+c20则C0.其中正确结论的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选B.a+b+c=3的
6、否定是a+b+c3,a2+b2+c23的否定是a2+b2+c20则C0或C0”的否命题;“若a2+b2=0,a,bR,则a=b=0”的逆否命题.其中真命题的序号是 (把所有真命题的序号填在横线上).【解析】“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等”,显然该命题为假命题;“若ab=0,则a=0”的否命题为“若ab0,则a0”,而由ab0可得a,b都不为零,故a0,所以该命题是真 命题;由于原命题“正三角形的三个角均为60”是 一个真命题,故其逆否命题也是真命题;易判断原命 题的逆命题假,则原命题的否命题假;逆否命题为“a,bR,若a0或b0,则a2+b20”为真命题.答案:类型二
7、 充分条件与必要条件的判定【典例2】(1)(2016潍坊高二检测)设xR,则“x2-3x0”是“x4”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2016南平高二检测)已知向量a=(m2,4),b=(1,1),则“m=-2”是“ab”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】(1)选B.由x2-3x0,得x3或x4,但当x4时,不等式x2-3x0恒成立,所以正确选项为B.(2)选A.依题意,当m=-2时,a=(4,4),b=(1,1),所以a=4b,ab,即由m=-2可以推出ab;当a
8、b时,m2=4,得m=2,所以不能推得m=-2,即“m=-2”是“ab”的充分而不必要条件.【延伸探究】求本例(2)中向量ab的充要条件.【解析】abm21=41,解得m=2,所以向量ab的充要条件是m=2.【方法技巧】条件的充要关系的常用判断方法(1)定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假.(2)等价法:利用AB与BA,BA与AB,AB与 BA的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断:若AB,则A是B的充分 条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件.【变式训练】已知a,b是实数,则“a0且b0”是“a+b0且ab0”的()A.充分
9、而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由a0且b0可得a+b0,ab0.由a+b0有a,b至少有一个为正.由ab0可得a,b同号.两者同时成立,则必有a0,b0.【补偿训练】平面向量a,b共线的充要条件是()A.a,b方向相同 B.a,b两向量中至少有一个为零向量 C.x0R,b=x0aD.存在不全为零的实数 1,2,1a+2b=0【解析】选D.ab a,b方向相同,所以A不正确;同理B不正确;当a=0,b0时,b=x0a不成立,而此时,a,b共线,所以C不正确;根据共线向量定理知D正确.类型三 充分、必要、充要条件的应用【典例3】已知条件p:
10、-1,条件q:x2+xa2-a,且q的一个充分不必要条件是p,求a的取值范围.4x 1【解析】由 -1,即 +10,化简,得 0,解得-3x1;由x2+xa2-a,得x2+x-a2+a0,由q的一个充分不必要条件是p,可知p是q的充分不必要条件,即p是q的必要不充分条件,4x 14x 1x3x 1即条件q对应的x取值集合是条件p对应的x取值集合的真子集.设f(x)=x2+x-a2+a,则 所以 所以-1a2.22f3aa60,f 1aa20,2a3,1a2,【方法技巧】利用条件的充要性求参数范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列
11、出关于参数的不等式求解.(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件:若p是q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.【变式训练】已知p:2x2-9x+a0,q:且q是p的必要条件,求实数a的取值范围.22x4x30,x6x80,【解析】由 得 即2x3.所以q:2x3.设A=x|2x2-9x+a0,B=x|2x3,因为pq,所以qp,所以BA.22x4x30,x6x80,1x3,2x4,设f(x)=2x2-9x+a,要使BA,则方程f(x)=0的两根分别在区间(-,2,3,+)内,解得a9.故所求实数a的取值范围是a|a9.f 20,8 18 a0,1
12、8 27a0.f 30,所以即【补偿训练】已知p:-4x-a4,q:(x-2)(x-3)0,且q是p的充分条件,则实数a的取值范围为()A.-1a6 B.-1a6 C.a6 D.a-1或a6【解析】选B.设q,p表示的范围分别为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).因为q是p的充分条件,则有AB,即 所以-1a6.a42,a43,类型四 利用逻辑联结词的命题的真假求参数的取值(或范围)【典例4】(2016南昌高二检测)已知p:“对任意的x2,4,log2x-a0”,q:“存在x0R,x02+2ax0+2-a=0”,若p,q均为命题,而且“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是
13、.【解析】由p:“对任意的x2,4,log2x-a0,alog2x =1”,可知p:a1.由q:“存在x0R,x02+2ax0+2-a=0”,=4a2-4(2-a)0,所以a1或a-2.因“p且q”是真命题,可知a-2或a=1.答案:a-2或a=1 2minalog x【方法技巧】含逻辑联结词的命题中参数的讨论步骤(1)先根据条件推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况,如p或q为真).(2)求出每个命题为真命题时参数的取值范围.(3)最后根据每个命题的真假情况,求出参数的取值范围.【变式训练】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真,p且q为假,求实数m的取值范围.【解析】若p真 由题意,p,q中有且仅有一为真,一为假.当p假q真,则 解得10成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根.如果pq为假命题,pq为真命题,求实数a的取值范围.【解析】若p:对任意实数x都有ax2+ax+10成立为真,则a=0,或a0且a2-4a0.解得0a4.若q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根为真,则=1-4a0,得a .因为pq为假命题,pq为真命题,14故p,q有且仅有一个为真命题,解得a0或 a4.所以a的取值范围是(-,0)a0a4,0a4,11a,a.44或则或141(4).4，
