1、高考资源网（） 您身边的高考专家2021年江西省上饶市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1已知集合A1，2，3，4，Bx|x3，则AB（）A1，2，3，4B1，2C3，4D1，2，32复数z满足zi1+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3等比数列an中，a34，a2a664，则a5（）AB8C16D324大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴O
2、B在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，B设OB3AB，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A与水平地面所成锐角记为，直线OB与水平地面所成角记为，则+为定值B点A在某个定球面上运动C可能在某个时刻，ABD直线OA与平面所成角的余弦值的最大值为5函数f（x）sin（2x+）的图象（）A关于点（，0）对称B可由函数ysin2x的图象向左平移个单位得到C关于直线x对称D可由函数ysin2x的图象向左平移个单位得到6变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）AB2C3D57函数f（x）cosx的部分图象大致为（）ABCD8在边
3、长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足AMB为锐角的概率为（）ABCD9函数f（x）2sinxx（x0）的所有极大值点从小到大排成数列an，设Sn是数列an的前n项和，则cosS2021（）A1BCD010如图，AB是圆O的一条直径且AB2，EF是圆O的一条弦，且EF1，点P在线段EF上，则的最小值是（）ABCD11双曲线E：的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限连结AF2并延长交双曲线于点P，连结BF2、BP，若BF2P是等边三角形，则双曲线E的离心率为（）ABCD12对任意x0，不等式ax（e2.71828）恒成立，则正实数a的取值范围是（）A（0，e3B
4、CD二、填空题（每小题5分）.13曲线y（x+1）ex在点（0，1）处的切线方程为 14若（2x1）7a0+a1x+a2x2+a7x7，则a1+a2+a3+a7 15过抛物线y22x的焦点作两条相互垂直的弦AB，CD，且|AB|+|CD|AB|CD|，则实数的值为 16点M为正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，且2NB1NC1，DMBN，若球O的体积为36，则动点M的轨迹的长度为 三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17请在，c2，2sinA5sinC这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答问题：在ABC中，
5、a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，_，_，计算ABC的面积18某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作、（1）某教练将所带6名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3项的概率科目学员（1）（2）（3）（4）（5）（6）注“”表示合格，空白表示不合格（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报名费，并进行第一轮测试（按、的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第一轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若选择补考，则需另外缴纳300元补考费，并获得最多
6、2轮补测机会，否则考试结束（注：每1轮补测都按，的顺序全部重考，学员在同一轮补测中5个项目均合格，则可通过“科二”考试）每人最多只能补考1次学员甲每轮测试或补测通过、各项测试的概率依次为1、1、1、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考求：（）学员甲能通过“科二”考试的概率；（）学员甲缴纳的考试费用X的数学期望19已知正ABC的边长为3，点D、E分别是AB、AC上的三等分点（点E靠近点A，点D靠近点B）（如图1），将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB的平面角为90，连接A1B，A1C（如图2）（1）求证：A1E平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使得直线PA1与平
7、面A1EC所成的角为60？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由20如图，在平面直角坐标系xOy中，AB为半圆ADB的直径，O为圆心，且A（4，0），B（4，0），G为线段OD的中点；曲线C过点G，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变（1）求曲线C的方程；（2）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，1，2，求证：1+2为定值21已知函数f（x）2exsinx（e是自然对数的底数）（1）求f（x）的单调区间；（2）记g（x）f（x）ax，0a6，试讨论g（x）在（0，）上的零点个数（参考数据：e4.8）请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则
8、按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin，直线l的极坐标方程为（R，0）（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）直线l与曲线C1交于点A，与曲线C2交于O，B两点，求|AB|的最大值选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2x1|x+1|+2ax，aR（1）若，求不等式f（x）0的解集；（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数a的取值范围参考答案一、选择题（每小题5分）.1已知集
9、合A1，2，3，4，Bx|x3，则AB（）A1，2，3，4B1，2C3，4D1，2，3解：集合A1，2，3，4，Bx|x3，AB1，2故选：B2复数z满足zi1+2i（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解：由zi1+2i，得z，复数z在复平面内所对应的点的坐标为（2，1），在第四象限故选：D3等比数列an中，a34，a2a664，则a5（）AB8C16D32解：等比数列an中，a34，a2a664，a2a664，解得a48，q2，a54416故选：C4大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全
10、束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动假设小明坐在点A处，“大摆锤”启动后，主轴OB在平面内绕点O左右摆动，平面与水平地面垂直，OB摆动的过程中，点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，B设OB3AB，在“大摆锤”启动后，下列结论错误的是（）A与水平地面所成锐角记为，直线OB与水平地面所成角记为，则+为定值B点A在某个定球面上运动C可能在某个时刻，ABD直线OA与平面所成角的余弦值的最大值为解：对于A，作出简图如下，OBl，所以+，故A正确；对于B，因为点A在平面内绕点B作圆周运动，并且始终保持OB，B，所以OA，又因为OB，AB为定值，所
11、以OA也是定值，所以点A在某个定球面上运动，故B正确；对于C，当A点距等于AB时AB，故C正确；对于D，点A在平面内绕点B作圆周运动，当AB时，直线OA与平面所成角最大，此时直线OA与平面所成角的余弦值为：，当AB在内时，直线OA与平面所成角为零，此时直线OA与平面所成角的余弦值为：1，故直线OA与平面所成角的余弦值为：，1），故D错误故选：D5函数f（x）sin（2x+）的图象（）A关于点（，0）对称B可由函数ysin2x的图象向左平移个单位得到C关于直线x对称D可由函数ysin2x的图象向左平移个单位得到解：函数f（x）sin（2x+），对于A：当x时，f（）sin（）1，故A错误；对于B
12、：函数ysin2x的图象向左平移个单位：得到g（x）sin（2x+）的图象，故B错误；对于C：当x时，f（）sin（）0，故C错误；对于D：函数ysin2x的图象向左平移个单位得到f（x）sin（2x+）的图象，故D正确故选：D6变量x，y满足约束条件，则的最大值为（）AB2C3D5解：画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数z，可化为z，表示平面区域的点与原点O（0，0）连线的斜率，结合图象可知，当过点A时，此时直线的斜率最大，又由，解得x1，y3，所以目标函数的最大值为z3，故选：C7函数f（x）cosx的部分图象大致为（）ABCD解：f（x）cos（x）cosxf（x），即f（x
13、）是奇函数，图象关于原点对称，排除B，C，当0x时，f（x）0，排除A，故选：D8在边长为4的正方形ABCD内部任取一点M，则满足AMB为锐角的概率为（）ABCD解：如果AEB为直角，动点E位于以AB为直径的圆上（如图所示）要使AMB为锐角，则点M位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分）；因为半圆的面积为，正方形的面积为4416，所以满足AMB为锐角的概率P11故选：A9函数f（x）2sinxx（x0）的所有极大值点从小到大排成数列an，设Sn是数列an的前n项和，则cosS2021（）A1BCD0解：f（x）2cosx1，（x0），f（x）是周期为2的周期函数，令f（x）0，则cosx，在
14、区间（0，2上，x，作出f（x）的图像：可得f（x）在（0，2上的极大值点为x，所以an是首项为a1，公差为d2，所以S20212021+，所以cosS2021cos（2021+）cos（）cos（674+）cos故选：B10如图，AB是圆O的一条直径且AB2，EF是圆O的一条弦，且EF1，点P在线段EF上，则的最小值是（）ABCD解：，当P为EF中点时，则的最小值为故选：B11双曲线E：的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限连结AF2并延长交双曲线于点P，连结BF2、BP，若BF2P是等边三角形，则双曲线E的离心率为（）ABCD解：因为BF2P是等边三角形，不妨设
15、|BF2|PF2|n，由双曲线的定义知，|BF2|BF1|2a，|PF1|PF2|2a，所以|BF1|n2a，|PF1|n+2a，由双曲线的对称性知，四边形AF1BF2为平行四边形，所以|AF2|BF1|n2a，|AF1|BF2|n，F1AF2PF2B60，所以|AP|AF2|+|PF2|n2a+n2（na），在PAF1中，由余弦定理知，+|AP|22|AF1|AP|cosF1AF2，所以（n+2a）2n2+4（na）22n2（na），即n5a，在AF1F2中，由余弦定理知，+2|AF1|AF2|cosF1AF2，所以4c2n2+（n2a）22n（n2a），即4c2n22na+4a225a21
16、0a2+4a219a2，所以ca，所以离心率e故选：D12对任意x0，不等式ax（e2.71828）恒成立，则正实数a的取值范围是（）A（0，e3BCD解：由ax恒成立，ax0，即alnex0，故0，令t，x0，h（x）exex，则h（x）exe，易得，当x1时，h（x）0，函数单调递增，当0x1时，h（x）0，函数单调递减，故当x1时，h（x）取得最小值h（1）0，所以，h（x）exex0，即exex，因为x0，所以e，即te，前面不等式转化为talnt+2e30，（te），令f（t）talnt+2e3，则，（te），当0ae时，f（t）0，f（t）minf（e）ea+2e30，故ae+2e
17、3所以0ae，当ae时，f（x）在e，a上单调递减，在（a，+）上单调递增，f（t）minf（a）aalna+2e30，令g（a）aalna+2e3，ae，则g（a）lna0，故g（a）在（e，+）上单调递减，因为g（e3）0，当g（a）0时，ae3，即eae3，综上a的范围（0，e3故选：A二、填空题（每小题5分）.13曲线y（x+1）ex在点（0，1）处的切线方程为y2x+1解：y（x+1）ex（e为自然对数的底数），y（x+2）ex，根据导数的几何意义，则切线的斜率为y|x02，又切点坐标为（0，1），由点斜式方程可得y2x+1，曲线y（x+1）ex（e为自然对数的底数）在点（0，1）处
18、的切线方程为y2x+1故答案为：y2x+114若（2x1）7a0+a1x+a2x2+a7x7，则a1+a2+a3+a72解：（2x1）7a0+a1x+a2x2+a7x7，令x0，得a01；令x1，则a0+a1+a2+a3+a71，a1+a2+a3+a72，故答案为：215过抛物线y22x的焦点作两条相互垂直的弦AB，CD，且|AB|+|CD|AB|CD|，则实数的值为解：由抛物线的方程可得F（，0），由题意可知直线AB，CD的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：yk（x），A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程，消去y整理可得：k2x2（2+k2）+0，所以x，所以|AB|x，直线CD
19、的方程为：y），同理可得|CD|2+，所以由|AB|+|CD|AB|CD|可得：，故答案为：16点M为正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点N为B1C1上一点，且2NB1NC1，DMBN，若球O的体积为36，则动点M的轨迹的长度为解：在BB1上取点P，使得2BPPB1，连结CP，DP，BN，因为NC12NB1，所以DCBN，则BN平面DCP，故点M的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，设正方体的棱长为a，因为球O的体积为36，所以，解得a6，连结OD，OP，OC，由VODPCVCDPO，所以点O到平面DCP的距离为，所以截面圆的半径，所以动点M的轨迹的长度为故答案为：三、解答题
20、：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17请在，c2，2sinA5sinC这三个条件中任选两个，将下面问题补充完整，并作答问题：在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且，_，_，计算ABC的面积解：由正弦定理知，bcosAcosCasinBsinCb，sinBcosAcosCsinAsinBsinCsinB，sinB0，cosAcosCsinAsinC，即cos（A+C），A+CB，cos（A+C）cosB，即cosB，又B（0，），B若选，由余弦定理知，b2a2+c22accosB，19a2+44a，即a22a150，解得a5或3（舍负），ABC的面积Sa
21、csinB52若选，2sinA5sinC，2a5c10，a5，ABC的面积SacsinB52若选，2sinA5sinC，2a5c，由余弦定理知，b2a2+c22accosB，19a2+（）22a，即a225，解得a5，ABC的面积SacsinB5218某市小型机动车驾照“科二”考试中共有5项考查项目，分别记作、（1）某教练将所带6名学员的“科二”模拟考试成绩进行统计（如表所示），从恰有2项成绩不合格的学员中任意抽出2人进行补测（只测不合格的项目），求补测项目种类不超过3项的概率科目学员（1）（2）（3）（4）（5）（6）注“”表示合格，空白表示不合格（2）“科二”考试中，学员需缴纳150元的报
22、名费，并进行第一轮测试（按、的顺序进行），如果某项目不合格，可免费再进行1轮补测；若第一轮补测中仍有不合格的项目，可选择“是否补考”；若选择补考，则需另外缴纳300元补考费，并获得最多2轮补测机会，否则考试结束（注：每1轮补测都按，的顺序全部重考，学员在同一轮补测中5个项目均合格，则可通过“科二”考试）每人最多只能补考1次学员甲每轮测试或补测通过、各项测试的概率依次为1、1、1、，且他遇到“是否补考”的决断时会选择补考求：（）学员甲能通过“科二”考试的概率；（）学员甲缴纳的考试费用X的数学期望解：（1）根据题意，学员（1），（2），（4），（6）恰有两项不合格，从中任意抽出2人，所有的可能情况
23、如下：学员编号补测编号项数（1）（2）3（1）（4）4 （1）（6）3（2）（4）3 （2）（6） 4（4）（6）3由表可知，全部6种情况中，有4种情况补测项数不超过3，故所求概率为；（2）由题意可知，该学员顺利完成每1轮测试（或补测）的概率为（）由题意，该学员无法通过“科二”考试，当且仅当其测试与3次补测均未能完成5项测试，相应的概率为，故学员甲能通过“科二”考试的概率为；（）根据题意，当且仅当该学员通过测试，或未通过测试但是通过第1轮补测时X150，其他情况时均有X450，而，故X的分布列为：X 150450P故E（X）19已知正ABC的边长为3，点D、E分别是AB、AC上的三等分点（点E
24、靠近点A，点D靠近点B）（如图1），将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使二面角A1DEB的平面角为90，连接A1B，A1C（如图2）（1）求证：A1E平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使得直线PA1与平面A1EC所成的角为60？若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明：因为正三角形ABC的边长为3且，在ADE中，DAE60，由余弦定理可得，因为AE2+DE24AD2，所以DEAE，折叠后，仍有A1EDE，因为二面角A1DEB的平面角为90，所以平面A1DE平面BCED，又平面A1DE平面BCEDDE，A1E平面A1DE，A1EDE，所以A1E平面BCED；（2
25、）解：假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1EC所成的角为60，建立空间直角坐标系如图所示，作PHx轴，交y轴于点H，设CP2a，则P的横坐标为，点P的纵坐标yP22acos602a，故，又A1（0，0，1），所以，又平面A1EC的法向量为，因为直线PA1与平面A1EC所成的角为60，所以，解得，故在线段BC上存在点P，且20如图，在平面直角坐标系xOy中，AB为半圆ADB的直径，O为圆心，且A（4，0），B（4，0），G为线段OD的中点；曲线C过点G，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变（1）求曲线C的方程；（2）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线
26、交于E点，1，2，求证：1+2为定值解：（1）由题意已知A（4，0），B（4，0），G为线段OD的中点；所以D（0，4），且G（0，2），曲线C过点G，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变，所以|PA|+|PB|GA|+|GB|24|AB|，所以P在以A，B为焦点，且以2为短半轴的椭圆上，即c4，b2，则a2b2+c220，所以曲线C的方程为：+1；（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），E（0，y0），因为B（4，0），且B在椭圆内，所以过B的直线l与椭圆由两个交点，因为1，2，所以（x1，y1y0）1（4x1，y1），所以x1，y1，将M的坐标代入椭圆的方程可得：
27、（）2+（）21，整理可得：412+401+205y020，同理可得422+402+205y020，所以1，2是方程4x2+40x+205y020的两根，由韦达定理可得1+210，所以可证得：1+2为定值1021已知函数f（x）2exsinx（e是自然对数的底数）（1）求f（x）的单调区间；（2）记g（x）f（x）ax，0a6，试讨论g（x）在（0，）上的零点个数（参考数据：e4.8）解：（1）f（x）2ex（sinx+cosx）2exsin（x+），由f（x）0，解得：2k+x2k+，由f（x）0，解得：2kx2k+（kZ），故f（x）在（2k，2k+）递增，在（2k+，2k+）（kZ）递减
28、；（2）g（x）2exsinxax，g（x）2ex（sinx+cosx）a，令h（x）g（x），则h（x）4excosx，x（0，）时，h（x）0，x（，）时，h（x）0，g（x）即h（x）在（0，）单调递增，在（，）上单调递减，g（0）2a，g（）2exa0，当2a0即0a2时，g（0）0，g（）0，存在x0（，），使得g（x0）0，当x（0，x0）时，g（x）0，当x（x0，）时，g（x）0，g（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，）上单调递减，g（0）0，g（x0）0，又g（）a0，则g（x）在（0，）上仅有1个零点，当2a6时，g（0）2a0，g（x）在（0，）上单调递增，在（，）
29、上单调递减，且g（）2a0，存在x1（0，），x2（，），使得g（x1）0，g（x2）0，且当x（0，x1），（x2，）时，g（x）0，x（x1，x2）时，g（x）0，g（x）在（0，x1）和（x2，）上单调递减，在（x1，x2）上单调递增，g（0）0，g（x1）0，g（）2a230，g（x2）0，又g（）a0，故g（x）在（x1，x2）和（x2，）上各有1个零点，综上：当0a2时，g（x）仅有1个零点，当2a6时，g（x）有2个零点请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参
30、数方程22在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin，直线l的极坐标方程为（R，0）（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）直线l与曲线C1交于点A，与曲线C2交于O，B两点，求|AB|的最大值解：（1）曲线C1的参数方程为 程为（t为参数）（t为参数，且t0），整理得ytx，所以t，代入关系式得到x2+y22x0，根据 xcos，ysin，转换为极坐标方程为2cos（2）直线l与曲线C1的交点为A，所以，解得A2cos，直线l：与曲线C2的交点坐标为B，故，所以，所以|AB|AB|，由于0，当时，所以|AB|max4选修4-5：不等式选讲23设函数f（x）|2x1|x+1|+2ax，aR（1）若，求不等式f（x）0的解集；（2）若函数f（x）恰有三个零点，求实数a的取值范围解：（1）当a时，不等式f（x）0，即|2x1|x+1|+x0，则或或，解得x1或1x0或x1，不等式f（x）0的解集为（，0）（1，+）；（2）由f（x）|2x1|x+1|+2ax0，得|2x1|x+1|2ax，设g（x）|2x1|x+1|，h（x）2ax，如图，要使yg（x）与y2ax有3个不同交点，则32a1，即a实数a的取值范围是（，）- 24 - 版权所有高考资源网
