1、2015-2016学年河北省承德市联校高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1若abc，且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是（）AabacBacbc Ca|b|c|b|Da2b2c22设、表示不同的平面，l表示直线，A、B、C表示不同的点，给出下列三个命题：若Al，A，Bl，B，则l若A，A，B，B，则=AB若l，Al，则A其中正确的个数是（）A1B2C3D43已知等差数列an中，a3=8，a8=3，则该数列的前10项和为（）A55B45C35D254已知直线2x+2my1=0与直线3x2y+7=0垂直，则m的值为（）AB3CD5在ABC中，若，则ABC的形状一定是（）A等腰三角形B
2、钝角三角形C等边三角形D直角三角形6圆x2+y24y=0被过原点且倾斜角为45的直线所截得的弦长为（）AB2CD27某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3B1C6D48若圆O1：（x3）2+（y4）2=25和圆O2：（x+2）2+（y+8）2=r2（5r10）相切，则r等于（）A6B7C8D99ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若acosC+ccosA=2bsinA，则A的值为（）ABCD或10已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=的取值范围是（）A1，B0，1C1，D0，11在正项等比数列an中，已知a4=，a5+a6=3，则a1a2an的最小
3、值为（）ABCD12已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，ABC是边长为2的正三角形，PA平面ABC，若三棱锥PABC的体积为2，则球O的表面积为（）A18B20C24D20二、填空题（每题5分）13底面半径为，母线长为2的圆锥的体积为14设a0，则9a+的最小值为15已知a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：a，则a；若a，则a；若，a，则a；若a，a=A，则a与必相交；若异面直线a与b所成角为50，bc，a与c异面，则a与c所成角为50其中正确命题的序号为16已知数列an满足a1=2且an+1=anan1（n2），则a10=三、解答题17在ABC中，角A，B，
4、C所对的边分别为a，b，c，若sinA=sinB，c=6，B=30（1）求b的值；（2）求ABC的面积18平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x2y1=0与2x+3y9=0，对角线的交点坐标为（2，3）（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程19已知等差数列an满足a1=2，a2nan=2n（1）求该数列的公差d和通项公式an；（2）设Sn为数列an的前n项和，若Sk=110，求k的值20已知圆C：x2+y2+4x6y3=0（1）求过点M（6，5）的圆C的切线方程；（2）若圆C上有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）关于直线x+my+5=0对称，且x
5、1+x2+2x1x2=14，求m的值和直线PQ的方程21如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点（1）证明：平面AEF平面B1BCC1；（2）若D为AB中点，CA1D=45且AB=2，设三棱锥FAEC的体积为V1，三棱锥FAEC与三棱锥A1ACD的公共部分的体积为V2，求的值22设数列an的前n项和为Sn，且2Sn=an+12n+1+1（nN*），a1=1（1）求证：数列+1为等比数列，并求an；（2）设数列bn满足bn（3nan）=，数列bn的前n项和为Tn，求证；Tn12015-2016学年河北省承德市联校高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、
6、选择题（每题5分）1若abc，且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是（）AabacBacbcCa|b|c|b|Da2b2c2【考点】不等式的基本性质【分析】由条件可得a0，c0，再利用不等式的基本性质可得abac，从而得到结论【解答】解：abc，且a+b+c=0，a0，c0，abac，故选A2设、表示不同的平面，l表示直线，A、B、C表示不同的点，给出下列三个命题：若Al，A，Bl，B，则l若A，A，B，B，则=AB若l，Al，则A其中正确的个数是（）A1B2C3D4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】根据平面的基本性质，即可得出结论【解答】解：若Al，A，Bl，B，根据公理1，可
7、得l，正确；若A，A，B，B，根据公理2，可得=AB，正确；若l，Al，则A或l=A，故不正确故选：B3已知等差数列an中，a3=8，a8=3，则该数列的前10项和为（）A55B45C35D25【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式的性质及其求和公式即可得出【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a10=a3+a8，则该数列的前10项和=5（8+3）=55故选：A4已知直线2x+2my1=0与直线3x2y+7=0垂直，则m的值为（）AB3CD【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【分析】根据两直线垂直的性质，两直线垂直时，直线方程中一次项对应系数之积的和等于0，求出实数m的
8、值【解答】解：由两直线垂直的性质可得直线方程中一次项对应系数之积的和等于0，可得64m=0，解得 m=，故选：C5在ABC中，若，则ABC的形状一定是（）A等腰三角形B钝角三角形C等边三角形D直角三角形【考点】正弦定理【分析】由已知及正弦定理可得a2=b2，进而可得a=b，从而可判断三角形的形状为等腰三角形【解答】解：在ABC中，=，由正弦定理可得： =，可得：a2=b2，a=b故选：A6圆x2+y24y=0被过原点且倾斜角为45的直线所截得的弦长为（）AB2CD2【考点】直线与圆的位置关系【分析】将圆的一般式方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，由点斜式方程求出直线方程，由点到直线的距离公式求
9、出圆心到直线的距离，由弦长公式求出所截得的弦长【解答】解：由题意知，圆x2+y24y=0化为x2+（y2）2=4，则圆心坐标是（0，2），半径r=2，过原点且倾斜角为45的直线方程是y=x，圆心到直线y=x的距离d=，所求的弦长是2=2，故选D7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A3B1C6D4【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图知该几何体一个直四棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由柱体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直四棱柱，由俯视图知，底面是一个直角梯形，上底、下底分别是1、2，高是1，棱柱的高是2，该几何体的体积V=3，故选：A8若圆
10、O1：（x3）2+（y4）2=25和圆O2：（x+2）2+（y+8）2=r2（5r10）相切，则r等于（）A6B7C8D9【考点】圆与圆的位置关系及其判定【分析】把圆的方程化为标准方程，再根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值【解答】解：圆（x3）2+（y4）2=25的圆心M（3，4）、半径为5；圆（x+2）2+（y+8）2=r2的圆心N（2，8）、半径为r若它们相内切，则圆心距等于半径之差，即=|r5|，求得r=18或8，不满足5r10若它们相外切，则圆心距等于半径之和，即=|r+5|，求得r=8或18（舍去）故选：C9ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若acosC+c
11、cosA=2bsinA，则A的值为（）ABCD或【考点】余弦定理【分析】根据正弦定理与三角恒等变换公式，化简题中的等式得到2sinBsinA=sinB，从而算出sinA=，结合A的范围即可得解A的值【解答】解：A+C=B，A，B（0，），sin（A+C）=sinB0，又2bsinA=acosC+ccosA，2sinBsinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，结合sinB为正数，可得sinA=A（0，），A的值为或故选：D10已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=的取值范围是（）A1，B0，1C1，D0，【考点】简单线性规划【分析】根据已知的约束
12、条件，画出可行域，分别求出各角点的坐标，分析目标z=函数的几何意义，将最优解代入得到目标函数的最值，进而可得取值范围【解答】解：不等式组表示的平面区域如下图所示：动点P（x，y）在可行域运动，z=1+，表示（x，y）点与（1，1）点连线的斜率再加1，故当P与C重合时，z取最小值1+0=1，当P与B重合时，z取最大值1+=，故z的取值范围是1，故选：B11在正项等比数列an中，已知a4=，a5+a6=3，则a1a2an的最小值为（）ABCD【考点】等比数列的通项公式【分析】设正项等比数列an公比为q（q0），由题意和等比数列的通项公式列出方程组，求出q和a1的值，由等比数列的通项公式求出an，代
13、入a1a2an利用指数的运算化简，由二次函数的性质、指数函数的性质、n的范围求出答案【解答】解：设正项等比数列an公比为q（q0），a4=，a5+a6=3，解得a1=，q=2，an=2n5，a1a2an=24232n5=，当n=时取最小值，此时取最小值，当n=4或5时，a1a2an取到最小值是210=，故选C12已知三棱锥PABC的四个顶点都在球O的球面上，ABC是边长为2的正三角形，PA平面ABC，若三棱锥PABC的体积为2，则球O的表面积为（）A18B20C24D20【考点】球的体积和表面积【分析】由三棱锥PABC的体积为2，求出PA，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面
14、的距离d等于三棱柱的高PA的一半，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：三棱锥PABC的体积为2，=2，PA=2，将三棱锥补成三棱柱，可得球心在三棱柱的中心，球心到底面的距离d等于三棱柱的高PA的一半，ABC是边长为2的正三角形，ABC外接圆的半径r=2，球的半径为，球O的表面积为45=20故选：B二、填空题（每题5分）13底面半径为，母线长为2的圆锥的体积为【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】根据勾股定理求出圆锥的高，再利用公式计算圆锥的体积【解答】解：底面半径为r=，母线长为l=2，所以圆锥的高为h=1；所以圆锥的体积为V=r2h=1=故答案为：14设a0，则9a+的最小值为1
15、3【考点】基本不等式【分析】变形，直接利用基本不等式，即可求出9a+的最小值【解答】解：a0，9a+=1+9a+1+2=13，当且仅当9a=，即a=时取等号，即9a+的最小值为13故答案为：1315已知a，b，c是三条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题：a，则a；若a，则a；若，a，则a；若a，a=A，则a与必相交；若异面直线a与b所成角为50，bc，a与c异面，则a与c所成角为50其中正确命题的序号为【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】利用直线与平面之间、平面与平面之间的位置关系，分别进行判断，即可得出结论【解答】解：a，利用平面与平面的性质，可得a，正确；若a，则a或a，
16、不正确；因为一条直线垂直于两个平行平面中的一个，必垂直于另一个，故正确；若a，a=A，则a与必相交，正确；若异面直线a与b所成角为50，bc，a与c异面，根据异面直线所成角的定义，可得a与c所成角为50综上所述，正确命题的序号为故答案为：16已知数列an满足a1=2且an+1=anan1（n2），则a10=2【考点】数列递推式【分析】利用递推关系、“累加求和”方法即可得出【解答】解：a1=2且an+1=anan1（n2），a3=a2a1，a4=a3a2，相加可得：a4=a1同理可得：a10=a7，a7=a4，a10=a1=2故答案为：2三、解答题17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b
17、，c，若sinA=sinB，c=6，B=30（1）求b的值；（2）求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理可得a=，利用余弦定理可得b29b+18=0，从而可求b的值（2）由（1）可求b，a的值，分类讨论利用三角形面积公式即可计算得解【解答】解：（1）由正弦定理可得：，可得：a=，2分由余弦定理可得：b2=a2+c22accosB，即b2=3b2+362，4分整理可得：b29b+18=0，解得：b=6或36分（2）当b=6时，a=6，所以S=acsinB=99分当b=3时，a=3，所以S=acsinB=12分18平行四边形ABCD的一组邻边所在直线的方程分别为x2y1=0与
18、2x+3y9=0，对角线的交点坐标为（2，3）（1）求已知两直线的交点坐标；（2）求此平行四边形另两边所在直线的方程【考点】待定系数法求直线方程；两条直线的交点坐标【分析】（1）解方程组，求出交点坐标即可；（2）求出与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），根据平行四边形的性质求出另两边所在直线方程即可【解答】解：（1）由，解得：，即两直线的交点坐标是（3，1）；（2）由（1）得已知两直线的交点坐标为（3，1），对角线的交点坐标为（2，3），因此，与点（3，1）相对的一个顶点为（1，5），由平行四边形的性质得另两边与已知两边分别平行，因此另两边所在直线方程分别是：y5=（x1）与y5=（x1）
19、，即x2y+9=0与2x+3y17=019已知等差数列an满足a1=2，a2nan=2n（1）求该数列的公差d和通项公式an；（2）设Sn为数列an的前n项和，若Sk=110，求k的值【考点】数列的求和；等差数列的通项公式【分析】（1）由等差数列的性质d=2，求得d的值，根据等差数列通项公式即可求得an；（2）根据等差数列前n项和公式，求得Sn，当Sk=110，求得k的值【解答】解：（1）数列an等差数列，d=2，数列的公差d=2，由等差数列通项公式可知：an=a1+（n1）d=2+2（n1）=2n，通项公式an=2n；（2）由等差数列前n项和公式Sn=n2+n，Sk=110，即k2+k=11
20、0，解得k=10，或k=11（舍去），k的值1020已知圆C：x2+y2+4x6y3=0（1）求过点M（6，5）的圆C的切线方程；（2）若圆C上有两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）关于直线x+my+5=0对称，且x1+x2+2x1x2=14，求m的值和直线PQ的方程【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程【分析】（1）将圆的一般式方程化为标准式，求出圆心坐标和半径，分切线的斜率存在和不存在求解，当斜率不存在时直接写出切线方程，斜率存在时，设出切线方程的点斜式并化为一般式，由圆心到切线的距离等于半径求斜率，可得答案；（2）由圆的性质知直线x+my+4=0过圆心，将圆心坐标代入求出m的值，由直
21、线垂直的条件设PQ方程为y=x+b，代入圆方程化简后，利用0列出不等式求出k的范围，利用韦达定理表示出x1+x2、x1x2，代入x1+x2+2x1x2=14化简求出k的值，然后求直线PQ的方程【解答】解：（1）由圆C：x2+y2+4x6y3=0，得（x+2）2+（y3）2=16，圆C的圆心坐标C（2，3），半径为4，当过点M的圆C的切线的斜率不存在时，切线方程为x=6，符合题意；当过点M的圆C的切线的斜率存在时，设切线方程为y+5=k（x+6），即kxy+6k5=0由题意得：d=4，解得k=过点M的圆C的切线方程为y+5=（x+6），即3x4y2=0，综上，过点M的圆C的切线方程为x=6或3x
22、4y2=0；（2）点P、Q在圆上且关于直线x+my+5=0对称，圆心（2，3）在直线上，代入得m=1，直线PQ与直线y=x+5垂直，设PQ方程为y=x+b，将直线y=x+b代入圆方程，得2x2+2（5b）x+b26b3=0，=4（5b）242（b26b3）0，得14b1+4，由韦达定理得x1+x2=b5，x1x2=，x1+x2+2x1x2=14，b5+2=14，即b25b+6=0，解得b=2或b=3，成立，所求的直线方程为y=x+2或y=x+321如图，直三棱柱ABCA1B1C1的底面为正三角形，E、F分别是BC、CC1的中点（1）证明：平面AEF平面B1BCC1；（2）若D为AB中点，CA1
23、D=45且AB=2，设三棱锥FAEC的体积为V1，三棱锥FAEC与三棱锥A1ACD的公共部分的体积为V2，求的值【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定【分析】（1）由AEBC，AEBB1得出AE平面B1BCC1，故而平面AEF平面B1BCC1；（2）由CDA1D可得A1D=CD=，从而得出AA1=，于是V1=VFAEC=，设AE，CD的交点为O，AF，A1C的交点为G，过G作GHAC于H，则由A1GACGF得出GH，从而V2=VGAOC=【解答】证明：（1）BB1平面ABC，AE平面ABC，AEBB1，ABC是等边三角形，E是BC的中点，AEBC，又BC平面B1BCC1，BB1平
24、面B1BCC1，BCBB1=B，AE平面B1BCC1，又AE平面AEF，平面AEF平面B1BCC1（2）由（1）得AE平面B1BCC1，同理可得：CD平面AA1B1B，CDA1D，AB=2，AD=1，CD=，CA1D=45，A1D=CD=，AA1=FC=V1=VFAEC=设AE，CD的交点为O，AF，A1C的交点为G，过G作GHAC于H，A1GACGF，GH=，OD=OC，SAOC=SACD=，V2=VGAOC=22设数列an的前n项和为Sn，且2Sn=an+12n+1+1（nN*），a1=1（1）求证：数列+1为等比数列，并求an；（2）设数列bn满足bn（3nan）=，数列bn的前n项和为Tn，求证；Tn1【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（1）由2Sn=an+12n+1+1（nN*），可得n2时，2Sn1=an2n+1，相减变形化为： +1=，即可证明（2）bn（3nan）=，可得bn=利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出【解答】证明：（1）2Sn=an+12n+1+1（nN*），n2时，2Sn1=an2n+1，相减可得2an=an+12nan，化为： +1=， +1=，数列+1为等比数列，首项与公比都为+1=，化为：an=3n2n（2）bn（3nan）=，bn=数列bn的前n项和为Tn=+=11，Tn12016年9月6日
