1、新马高级中学2013届第一次市统测数学模拟试卷二一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1设全集集合集合则2.设向量a，b均为单位向量，且|ab|，则a与b夹角为 3已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y2x上，则cos24某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是_ y=, 5从，这九个数中，随机取个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是_6.设数列是等差数列,且,是数列的前项和，则下列结论正确的是 7曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为_.8已知变量满足约束条件 若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围为9已知直线平面，直线
2、平面给出下列命题：；其中正确的命题的序号是 ，10若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为_.411不等式，对恒成立的实数的取值范围是12矩形中，轴，且矩形恰好能完全覆盖函数的一个完整周期图象，则当变化时，矩形周长的最小值为 1 . 13如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若，则直线CD的斜率为 14设函数的定义域为，若存在常数，使对一切实数均成立，则称为“倍约束函数”。现给出下列函数：； ； ；是定义在实数集的奇函数，且对一切均有。其中是“倍约束函数”的是_ 1，4 _。（写出所有正确命题的序号）三、解
3、答题(本大题共6小题，满分75分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)15（本题满分14分）在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，求的值解：（1）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA. 2分则 7分（2），则bc3. 9分将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 14分16（本小题满分14分）如图，在正方体中，、分别是，的中点.求证：（1）平面；A 设是过的任一平面，求证：平面. 17（本小题满分14分）某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足（为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件.
4、 已知2011年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）（1）将2011年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数；（2）该厂家2011年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：（1）由题意可知，当时，即，每件产品的销售价格为元.2009年的利润 （8分）（2）时，.，当且仅当，即时，.（12分）答：该厂家2011年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.（14分）18（本题满分16分）已知椭圆的两个焦点，且椭圆短轴的两个端点与构
5、成正三角形（1）求椭圆的方程；（2）过点（1，0）且与坐标轴不平行的直线与椭圆交于不同两点P、Q，若在轴上存在定点E（，0），使恒为定值，求的值.解：（1）由题意知 =又椭圆的短轴的两个端点与F构成正三角形=1 从而 椭圆的方程为=1 4分（2）设直线的斜率为，则的方程为 消得 6分设，则由韦达定理得 8分则= 13 分要使上式为定值须，得 故时，为定值16分19（本题满分16分）已知数列，设，数列。 解：（1）由题意知， 数列的等差数列4分（2）由（1）知，6分于是8分两式相减得.10分（3）当n=1时，当12分当n=1时，取最大值是 又 即16分20（本题满分16分）已知函数的图象过点，且在处取得极值(1) 求实数的值；(2) 求在 （为自然对数的底数）上的最大值.解：（1）当时， 2分由题意得：，即， 4分解得：。 6分（2）由（1）知：当时，解得；解得或在和上单减，在上单增，由得：或，8分，在上的最大值为. 10分当时，当时，；当时，在单调递增；在上的最大值为。 12分当时，在上的最大值为； 14分当时，在上的最大值为. 16分
