1、高考资源网（） 您身边的高考专家温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第2课时椭圆方程及性质的应用必备知识自主学习导思1.直线与椭圆的位置关系有哪些？2弦长公式是什么？1.点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆1(ab0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：位置关系满足条件P在椭圆外1P在椭圆上1P在椭圆内b0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).弦长公式：|AB|弦长公式：|AB|1辨析记忆(对的打“”，错的打“”).(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大()(2)直
2、线y1被椭圆y21截得的弦长为.()(3)已知椭圆1(ab0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线()(4)直线yk(xa)(k0)与椭圆1的位置关系是相交()提示：(1).根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大(2).由y1得y1，代入y21，解得两交点坐标A(0，1)，B(2，0).|AB|.(3).因为P(b，0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线(4).直线yk(xa)(k0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线yk(xa)与椭圆1的位置关系是相交2直线ykxk1(k0)与椭圆1的位置关系是()A相交 B相切 C相离 D不确定【解析】选A.直线ykxk1k(x1)1
3、(k0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交3(2020沈阳高二检测)椭圆ax2by21与直线y1x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为()A B C D【解析】选B.设A，B，由得x22bxb10，则x1x2.设线段AB的中点为C，则xC.将xC代入y1x得到yC.因为kOC，故.4(教材二次开发：习题改编)椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离是_【解析】设直线x2yc0与椭圆1相切由消去x整理得8y24cyc2160.由16(32c2)0得c4当c4时，符合题意(c4舍去).即x2y40与椭圆1相切，椭圆1上的点到直线x2y0的最大距离即为两条平
4、行线之间的距离d.答案：关键能力合作学习类型一直线与椭圆的位置关系(数学运算)【典例】1.若直线mxny4与O：x2y24没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A2个 B至多一个 C1个 D0个2已知椭圆E：1，直线l：yxm与椭圆E有两个公共点，则实数m的取值范围是_【解析】1.选A.由题意得2，所以m2n24.所以2m2，2n0，解得2m2，所以实数m的取值范围是(2，2).答案：(2，2)直线与椭圆位置关系的判断方法【补偿训练】 在平面直角坐标系Oxy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆y21有两个不同的交点P和Q，求k的取值范围【解析】由已知条件知直线l的方程
5、为ykx，代入椭圆方程得(kx)21，整理得x22kx10，直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k244k220，解得k或k，所以k的取值范围为.类型二弦长及中点弦问题(数学运算)【典例】过椭圆1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M点平分(1)求此弦所在的直线方程(2)求此弦长【思路导引】(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解方法二：点差法(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y1k(x2).代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.又设直线与椭圆的交
6、点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是方程的两个根，于是x1x2.又M为AB的中点，所以2，解得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).又M(2，1)为AB的中点，所以x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16.两式相减得(xx)4(yy)0.于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.所以，即kAB.又直线AB过点M(2，1)，故所求直线的方程为x2y40.(2)设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x24x0，所以x1x24，x1x20，所以|AB|2.直
7、线被椭圆截得的弦长的求法思路(1)求两交点坐标，转化为两点间距离(2)用公式来求设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2|y1y2|.提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.已知动点P与平面上两定点A(，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1与曲线C交于M，N两点，当|MN|时，求直线l的方程【解析】(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得，kPAkPB.所以，化简整理得y21.故P点的轨迹方程C是y21
8、(x).(2)设直线l与曲线C的交点M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.所以x1x2，x1x20.|MN|，整理得k4k220，解得k21或k22(舍).所以k1，经检验符合题意所以直线l的方程是yx1，即xy10或xy10.类型三与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例】已知椭圆E：1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，且MF1F2为面积是1的等腰直角三角形(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆E交于A，B两点，以AB为直径的圆与y轴相切，求m的值【思路导引】(1)根据已知条件求出a，b，从而得到椭圆方程(2)依据以AB为直径的
9、圆的圆心到y轴的距离等于半径，列方程求m.【解析】(1)由题意可得M(0，b)，F1(c，0)，F2(c，0)，由MF1F2为面积是1的等腰直角三角形得a21，bc，且a2b2c2，解得bc1，a，则椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立3x24mx2m220，有16m212(2m22)0，即m，x1x2，x1x2，可得AB中点横坐标为，|AB|，以AB为直径的圆与y轴相切，可得半径r|AB|，即，解得m(，)，则m的值为.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论(2)在具体求解时，常采用设而不求
10、、整体代换的方法，可使运算简单(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视【补偿训练】 已知椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，直线l：yx与椭圆C相交于A，B两点(A在B上方)，若AFBF，则椭圆C的离心率为_【解析】由椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，直线l：yx与椭圆C相交于A，B两点，AFBF，可知三角形OAF是正三角形，A，所以|FB|c，由椭圆的定义可得cc2a，可得e1.答案：1备选类型椭圆方程及其性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，已知椭圆E：1(ab0)过点(0，)，且离心率e.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xmy
11、1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由【思路导引】(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a2b2c2即可求出a，b，c的值，从而可得椭圆E的方程(2)方法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G与圆心的距离d与圆的半径r进行比较，若dr，则点G在圆外；若dr，则点G在圆上；若d0，则点G在圆外；若0，所以|GH|，故点G在以线段AB为直径的圆外方法二：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，.由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而y1y2y1y2(m21)y1y2m(y1y2)0，所以cos ，0.又，不共线，所以AGB为锐
12、角故点G在以线段AB为直径的圆外解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和F2(，0)，且椭圆过点.(1)求椭圆方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由【解析】(1)由题意设椭圆方程为1(ab0)，将c，a2b2c2，代入椭圆方程得1，
13、又因为椭圆过点，得1，解得b21，所以a24.所以椭圆的方程为y21.(2)设直线MN的方程为xky，联立直线MN和椭圆的方程得(k24)y2ky0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2，0)，y1y2，y1y2，则(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)0，所以MAN.课堂检测素养达标1若直线yx2与椭圆1有两个公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm1且m3Cm3 Dm0且m3【解析】选B.在椭圆1中，m0且m3，而直线yx2与椭圆1有两个公共点，则化简可得x24mxm0，所以24m12m0，可得m1或m0且m3，得m1且m3.2如果椭圆1的弦被点(4，2)
14、平分，则这条弦所在的直线方程是()Ax2y0 Bx2y40C2x3y120 Dx2y80【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为k，则两式相减再变形得k0.又弦中点为(4，2)，故k，故这条弦所在的直线方程为y2(x4)，整理得x2y80.3过椭圆1的左焦点且斜率为1的弦AB的长是_【解析】椭圆的左焦点为(4，0)，由得34x2200x1750，所以x1x2，x1x2.所以|AB|.答案：4已知椭圆1(a)的左、右焦点分别为F1，F2.过左焦点F1作斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则a的值是_【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则两式相减得，所以，所以4，所以a22b24，所以a2.答案：25(2020南昌高二检测)已知直线ykx1与焦点在x轴上的椭圆C：1(b0)总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是_【解析】因为椭圆焦点在x轴上，所以b20，所以0b0，所以b1，综上1b2，e.答案：关闭Word文档返回原板块- 17 - 版权所有高考资源网
