1、第2课时 双曲线方程及性质的应用 类型一 直线与双曲线的位置关系【典例】1.(2016烟台高二检测)双曲线 =1的 左、右焦点分别为F1,F2.给定四条直线:5x-3y=0;x-y-4=0;5x-3y-52=0;4x-3y+15=0.如果上述直 线上存在点P,使|PF2|=|PF1|+6,则满足这样条件的直 线对应的序号是 .22xy9162.(2016天津高二检测)已知双曲线C:(a0,b0)的离心率为 且过点(,1).(1)求双曲线C的方程.(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点 A,B,求k的取值范围.2222xy1ab2 3362【解题探究】1.本例1中满足条件|PF2
2、|-|PF1|=2a(2a|F1F2|)的点P的轨迹是什么?提示:满足条件|PF2|-|PF1|=2a的点P的轨迹为双曲线的左支.2.本例2中直线l与双曲线C有两个公共点应满足什么条件?提示:由直线l与双曲线C的方程组成的方程组应有两组解.【解析】1.由 =1,知a2=9,b2=16,所以c2=25,c=5,由双曲线的定义,双曲线上任意一点P满足|PF2|-|PF1|=610.当直线上存在点P满足|PF2|-|PF1|=6时,说明直线与双 曲线的左支有公共点.由已知双曲线的渐近线方程为y=x,22xy91643对于两直线的斜率均为 ,故均与双曲线左 支无公共点,经验证表示的直线与双曲线左支有交
3、 点.答案:54332.(1)由e=可得 ,所以a2=3b2,故双曲线方程 可化为 ,将点P 代入双曲线C的方程,可 解得b2=1.所以双曲线C的方程为 -y2=1.(2)联立直线与双曲线方程 (1-3k2)x2-6 kx-9=0,2 3322c4a32222xy13bb(6,1)2x322ykx2x3y30 ，2由题意得 解得-1k0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.(2)=0时,直线与双曲线只有一个公共点.(3)0即-2 k2 时,方程(*)有两个不同的解.当=0即k=2 时,方程(*)有一解.22ykx 14xy1，222当0即k2 时,方程(*)无解.综上所述:当-2 k2 且k2时
4、,直线与双曲线 有两个公共点;当k=2或k=2 时,直线与双曲线有 一个公共点;当k2 时,直线与双曲线没有 公共点.2222222类型二 弦长及中点弦问题【典例】1.(2016杭州高二检测)直线l与双曲线 的同一支相交于A,B两点,线段AB的中点在直 线y=2x上,则直线AB的斜率为 .22xy122.已知点A(,0)和点B(-,0),动点C到A,B两点的 距离之差的绝对值为2,点C的轨迹与直线y=x-2交于D,E 两点,求线段DE的长.33【解题探究】1.本例1中如何表示线段AB的中点坐标?提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点坐标为 2.本例2中若直线l:y=kx+
5、b(k0)与双曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2),你能把弦|AB|的长表示出来吗?提示:|AB|=1212xxyy(,).222212121 kxx4x x【解析】1.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为 y=kx+b,由 消去y得:(1-2k2)x2-4kbx-2b2-2=0.因为l与双曲线交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),故=8b2+8-16k20,1-2k20,由根与系数的关系知:x1+x2=22xy12ykxb，24kb1 2k，则y1+y2=k(x1+x2)+2b=因为线段AB的中点在直线y=2x上,所以有 得k=,满足式.当直线l的斜率不存在时,不符
6、合题意.答案:22b.1 2k22b4kb1 2k1 2k，14142.设点C(x,y),则|CA|-|CB|=2,根据双曲线的定义,可知点C的轨迹是双曲线 由2a=2,2c=|AB|=2 ,得a2=1,b2=2,故点C的轨迹方程是x2-=1.由 消去y并整理得x2+4x-6=0,因为0,所以直线与双曲线有两个交点,2222xy1ab，32y222yx12yx2，设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-4,x1x2=-6,故|DE|=221212xxyy212122xx4x x4 5.【延伸探究】1.典例1中改为若斜率为2的直线l与双曲线 -y2=1相 交时,求其弦中点的轨迹方程
7、.2x2【解析】设直线l与双曲线 -y2=1相交于 A(x1,y1),B(x2,y2),中点为P(x,y),则 两式作差得:-(y1+y2)(y1-y2)=0,即x-2ykAB=0.又kAB=2,所以x-4y=0,故其弦中点的轨迹方程为x-4y=0.2x222112222xy12xy12，1212xxxx22.典例1中若双曲线方程不变,问过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点,且点P是线段AB的中点.【解析】显然斜率存在.设所求直线方程为y=k(x-1)+1,由 得(1-2k2)x2+(4k2-4k)x-2k2+4k-4=0.因为l与双曲线相交于A,B两点,所以=(4k2-4
8、k)2-4(1-2k2)(-2k2+4k-4)0,得-1-k0,b0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|.2222xyab21 k211k2.中点弦问题 与弦中点有关的问题主要用点差法,根与系数的关系解决.另外,要注意灵活转化,如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.特别提醒:若直线方程涉及斜率,要注意讨论斜率不存在的情况.【拓展延伸】点差法 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦AB的中点M(x0,y0)的坐标和斜率有关的关系式,可以
9、大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为“点差法”.【补偿训练】斜率为2的直线l在双曲线 =1上截 得的弦长为 ,求l的方程.【解题指南】设直线l的方程为y=2x+m,由题意建立关 于m的等式,求出m即可.22xy326【解析】设直线l的方程为y=2x+m,由 得10 x2+12mx+3(m2+2)=0.(*)设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由根与系数的关系,得x1+x2=-m,x1x2=(m2+2).22y2xmxy132，65310所以|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=5(x1+x2)2-4x1x2 因为|AB|=,所以 m2
10、-6(m2+2)=6.所以m2=15,m=.由(*)式得=24m2-240,223635m4(m2).2510 636515把m=代入上式,得0,所以m的值为 ,所以所求l的方程为y=2x .151515类型三 双曲线性质的综合应用 角度1:渐近线的应用【典例】(2015重庆高考)双曲线 (a0,b0)的右焦点为F,左、右顶点为A1,A2,过F作A1A2的垂线与 双曲线交于B,C两点,若A1BA2C,则该双曲线的渐近线 斜率为()2222xy1ab【解题探究】本例中的条件A1BA2C如何利用?提示:可据题意分别表示出A1,B,A2,C的坐标,然后转化 为 =0求解.12A.B.C.1 D.22
11、212A B A C【解析】选C.由题意知F(c,0),A1(-a,0),A2(a,0),其 中c=联立 可解得 所以 又因为A1BA2C,22ab.2222xc,xy1,ab22bbB(c,),C(c,),aa2212bbA B(c a,),A C(ca,)aa，所以 =(c+a)(c-a)-=0,解得a=b,所以该双曲线的渐近线斜率为1.12A B A C42ba角度2:离心率的取值范围【典例】已知双曲线 (a0,b0)的左、右焦点 分别为F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线上存在点P使 ,则该双曲线的离心率的取值范围 是 .2222xy1ab1 22 1sin PFFasin PF
12、 Fc【解题探究】本例中如何转化条件 ,怎样 建立关于离心率e的不等关系?提示:借助三角形的正弦定理实现边与角的转化.借助 焦半径的有界性建立关于离心率e的不等关系.1 22 1sin PFFasin PF Fc【解析】不妨设P为双曲线右支上一点,由正弦定理可 得 ，所以 故 而 ,即 e-1,所以-+1e1,所以1e2(其中O为原点),求k的取值范围.32OA OB【解题探究】本例中如何转化条件“2”,条件“l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点”隐含着 什么?提示:通过数量积的定义实现条件“2”的转化,条件“l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点”隐 含着消元后方程为一元二次方程且
13、判别式大于0.OA OBOA OB22【解析】(1)设双曲线方程为 (a0,b0),由已 知得a=,c=2,所以b=1.故所求双曲线方程为(2)将y=kx+代入 ,可得(1-3k2)x2-6 kx-9=0,由直线l与双曲线交于不同的两点得 2222xy1ab322xy1.3 222xy13 222221 3k0,6 2k36 1 3k36 1 k0,故k2 且k22得x1x2+y1y22.又因为y1y2=(kx1+)(kx2+)=k2x1x2+k(x1+x2)+2 1326 2k1 3k291 3k，OA OB2222222229k12k3k22.1 3k1 3k1 3k 所以 .所以 又因为
14、k2 且k21,所以 k20)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2 B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2 C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae2【解析】选D.不妨设双曲线C1的焦点在x轴上,即其方 程为 ,则双曲线C2的方程为 2222xy1ab2222xy1,ambm2221222222abbe1,aaambmbme1,amam所以22212221bm ab ambmb(ab)mab0,amaam aam abmbbmb,ee;amaamabm ab ambmb(ab)mab0,amaam aam abmbbmb,(),ee.amaam
15、a当时，所以所以（）（）所以当时，所以所以（）所以2.(2016吉林高二检测)若直线y=kx+2与双曲线 x2-y2=6的右支交于不同的两点,那么k的取值范围是 ()151515A.,B.0,3331515C.,0D.,133（）（）（）（）【解题指南】联立方程组，转化成一元二次方程有两个正根的问题.【解析】选D.联立 得(1-k2)x2-4kx-10=0,由题意得 即 解得-k-1.22ykx2,xy6,12120,xx0,x x0,222216k40 1 k0,4k0,1 k100,1 k 1533.已知双曲线的中心为坐标原点,右顶点为A(1,0),点P 在双曲线的右支上,点M(m,0)到
16、直线AP的距离为1.若直 线AP的斜率为k,且|k|,求实数m的取值范围.3,33【解析】由条件得直线AP的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.因为点M到直线AP的距离为1,即 2mkk1k1，22k11|m 1|1.kk3k,33所以 因为，所以实数m的取值范围是 2 3|m 1|232 32 31m31m133所以，解得或，2 32 31,11333，自我纠错 利用直线与双曲线的位置关系求参数【典例】已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)的直线l与 双曲线只有一个公共点,则直线l的斜率k的值为_.2y4【失误案例】分析解题过程,找出错误之处,并写出正确答案.提示:错误的根本原因在于忽视了4-k2=0,即l与双曲线的渐近线平行时,l与双曲线只有一个交点也符合题意.另外没有考虑直线l斜率不存在的情况.正确解答过程如下:【解析】可分两种情况:(1)直线l斜率不存在时,l:x=1 与双曲线相切,符合题意;(2)直线l斜率存在时,设l方程 为y=k(x-1)+1,代入双曲线方程,得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,当4-k2=0时,k=2,即l与双曲线的渐近线 平行时,l与双曲线只有一个公共点;当4-k20时,令 =0,所以k=.综上,k=或k=2或k不存在.答案:k=或k=2或k不存在 525252
