1、第九章 解析几何第八节 直线与圆锥曲线的综合问题第4课时 圆锥曲线中的证明与探索性问题栏目导航12课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 堂 考 点 突 破1考点一 证明问题【例 1】设椭圆 C：x22y21 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B两点，点 M 的坐标为(2，0)(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMAOMB.解(1)由已知得 F(1，0)，l 的方程为 x1.把 x1 代入椭圆方程x22y21，可得点 A 的坐标为1，22 或1，22.又 M(2，0)，所以直线 AM 的方程为 y 22 x 2
2、或 y 22 x 2.(2)证明：当 l 与 x 轴重合时，OMAOMB0.当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，所以OMAOMB.当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1 2，x20.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22k24k2，x1x21，由抛物线的定义知，|AB|x1x228，2k24k26，k21，即 k1，直线 l 的方程为 y(x1)(2)证明：由抛物线的对称性知，点 D 的坐标为(x1，y1)，连接 EB，ED，又 E(1，0)，kEBkED y2x21 y1x1
3、1y2（x11）y1（x21）（x11）（x21），y2(x11)y1(x21)y2y2141 y1y2241 y1y24(y1y2)(y1y2)(y1y2)y1y24 1，由(1)知 x1x21，(y1y2)216x1x216，又 y1 与 y2 异号，y1y24，即y1y24 10，kEBkED0，即 kEBkED.又 ED 与 EB 有公共点 E，B，D，E 三点共线考点二 探索性问题 命题角度一 探究条件是否存在【例 2】已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点，焦点在 x 轴上，且经过点 A(0，2 3)，离心率为12.(1)求椭圆 P 的方程；(2)是否存在过点 E(0，4)的直线 l
4、 交椭圆 P 于点 R，T，且满足OR OT167？若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解(1)设椭圆 P 的方程为x2a2y2b21(ab0)，由题意得 b2 3，eca12，a2c，b2a2c23c2，c24，c2，a4，椭圆 P 的方程为x216y2121.(2)存在假设存在满足题意的直线 l，易知当直线 l 的斜率不存在时，OR OT0，得(32k)264(34k2)0，解得 k214.x1x2 32k34k2，x1x21634k2，y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)16，故 x1x2y1y21634k2 16k234k2 128k234k2161
5、67，解得 k21.由解得 k1，直线 l 的方程为 yx4.故存在直线 l：xy40 或 xy40 满足题意命题角度二 探究结论是否成立【例 3】如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，点 F12，0，直线 l：x12，点 P 在直线 l 上移动，R 是线段 PF 与 y 轴的交点，RQFP，PQl.(1)求动点 Q 的抛迹 C 的方程；(2)设圆 M 过 A(1，0)，且圆心 M 在曲线 C 上，TS 是圆 M 在 y 轴上截得的弦，当 M运动时，弦长|TS|是否为定值？请说明理由解(1)依题意知，点 R 是线段 FP 的中点，且 RQFP，RQ 是线段 FP 的垂直平分线点 Q 在线段
6、FP 的垂直平分线上，|PQ|QF|，又|PQ|是点 Q 到直线 l 的距离，故动点 Q 的轨迹是以 F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为 y22x(x0)(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线 C 上点 M(x0，y0)，M 到 y 轴的距离为 d|x0|x0，圆的半径 r|MA|（x01）2y20，则|TS|2 r2d22 y202x01，点 M 在曲线 C 上，y202x0，|TS|2 y20y2012 是定值名师点津 解决存在性问题的注意事项存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论(2)当给出结论而要推
7、导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法|跟踪训练|2已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 xy10 与抛物线相交于 A，B 两点，且|AB|8 611.(1)求抛物线的方程；(2)在 x 轴上是否存在一点 C，使ABC 为正三角形？若存在，求出 C 点的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设所求抛物线的方程为 y22px(p0)，由y22px，xy10，消去 y，得 x22(1p)x10，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x22(1p)，x1x21.因为|AB|8 611，所以2（x1x2）24x1x28 611，所以 121p2242p480，所以 p 211或 p2411(舍去)故抛物线的方程为 y2 411x.(2)设弦 AB 的中点为 D，则 D1311，211.假设 x 轴上存在满足条件的点 C(x0，0)因为ABC 为正三角形，所以 CDAB，所以 x01511，所以 C1511，0，所以|CD|2 211.又|CD|32|AB|12 211，故矛盾，所以 x 轴上不存在点 C，使ABC 为正三角形点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测2谢 谢 观 看 THANKS
