1、2.2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 我们知道，电能是现代生活不可缺少的能源，目前我国主要靠火力发电，而火力发电主要是在 火力发电厂中进行，火力发电厂简称“火电厂”，其形状就像照片中“粗烟囱”.那么这些“粗烟囱”是怎样建成的呢？冷却通风塔如果你是设计师你将如何设计？1.会熟练画出一些简单双曲线的图象，并认真观察 其图象有何几何特征.(重点)2.会类比椭圆几何性质的研究方法，自己尝试获取 双曲线的简单几何性质，并能初步应用.（难点）探究点 双曲线的简单几何性质 2222100(,)xyabab回忆一下双曲线的标准方程：如果我们也按照椭圆的几何性质的研究方法来研究双曲线
2、，那么双曲线将会具有什么样的几何性质呢？1.范围 221因为，xaxyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22xa即，所以或.xaxa1A2A2.对称性 以-x代x方程不变，故图象关于 轴对称；以-y代y方程不变，故图象关于 轴对称；以-x代x且以-y代y方程不变，故图象关于 对称 y x 原点 y的范围是什么？轴对称 中心对称 yR3.顶点（1）令y=0，得x=a,则双曲线与x轴的两个交点为 A1(-a,0),A2(a,0)，我们把这两个点叫双曲线的顶点;令x=0,得y2=-b2,这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)画在
3、y轴上.（2）如图，线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a,a 叫做双曲线的半实轴长；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b,b叫做双曲线的半虚轴长.xyo1B2B1A2AF2 F1 a b 4.渐近线 下面我们证明双曲线上的点在沿曲线向远处运动时，与直线逐渐靠拢.方案2：考查同横坐标的两点间的距离.M N方案1：考查点到直线的距离 .M QyB2A1A2B1xObaMNQ 由双曲线的对称性知，我们只需证明第一象限的部分即可.2222100(,)xyabab22 (,),()(.)bM x yyxaxaabbN xYyxYxaa设是双曲线上面的点 则，是直线上有相同横坐标的点，则XMY
4、OQN(x,y)(x,Y)2221因为，()bbabyxaxxYaaxa22所以()bMNYyxxaa222222()().bxxaxxaaxxa22ab.xxa00.bMQMyxMQMNxaMNxMNMQ因为是点到直线的距离，且当 逐渐增大时，逐渐减小，无限增大，接近于，也接近于22221.xybyxaba 对于双曲线，直线叫做双曲线的渐近线注：渐近线是双曲线特有的几何性质，它决定着双曲线张口的开阔与否.22221yxab对于双曲线，渐近线方程是什么呢？ayxb 222222212,.xyababxyaa在方程中，如果，那么双曲线的方程为它的实轴和虚都等于长轴 ,.xa yayx 这时，四条
5、直线围成正方形，渐近线方程为它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.5.离心率：01 ,.,.cacacea与椭圆类似 双曲线的焦距与实轴长的比叫做因为所以双曲线的离心率双 曲 线 的 离 心 率思考：椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？，由222)(1ababaace因此，e越大，渐近线斜率越大，倾斜角越大，张角越大，张口越开阔，e越小，渐近线斜率越小，倾斜角越小，张角越小，张口越扁狭.所以双曲线的离心率是反应双曲线开口大小的几何量.xa或xa ya ya或0(,)a0(,)abyxa ayxb cea222
6、(其 中c=a+b)关于坐标轴和原点都对称性质双曲线2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab范围对称性顶点渐近线离心率图象【总结提升】双曲线的简单几何性质.x y x y【例】求双曲线9y2-16x2=144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 解：把方程9y2-16x2=144化为标准方程 2222143.yx2222435.cab由此可知，半实轴长a=4,半虚轴长b=3;焦点坐标是(0,-5),(0,5);54;cea离 心 率43.yx 渐 近 线 方 程 为【变式练习】双曲线x24 y2121 的焦点到渐近线的距离为()A2 3B2C.3D1A【方
7、法规律】双曲线的焦点到渐近线的距离为 半虚轴长b.1.(2014广东高考)若实数k满足0k5，则曲线 与曲线 的（）A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 22xy1165k22xy116k5D A 3与双曲线 有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是 1422 yx221312xy2已知双曲线 C 的焦点、顶点恰好分别是椭圆x225y2161的长轴端点、焦点，则双曲线 C 的渐近线方程为()A4x3y0 B3x4y0C4x5y0 D5x4y04求中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点 P(1，3)，离心率为 的双曲线的标准方程 解析：因为离心率为 ，所以e2 即ab，所以双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准 方程为x2y2(0)，又点P(1，3)在双曲线上，则198，所以所求双曲线的标准方程为 2222222212cabbaaa，22yx1.882xyoax 或axayay 或)0,(a),0(axabyxbayace 222(其 中c=a+b)关于坐标轴和原点都对称性质双曲线2222100(,)xyabab2222100(,)yxabab范围对称性顶点渐近线离心率图象x y x y 人的才华就如海绵的水，没有外力的挤压，它是绝对流不出来的.流出来后，海绵才能吸收新的源泉.
