1、2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知全集A=xN|x2+2x30，B=y|yA，则集合B中元素的个数为（）A2B3C4D52命题“对任意x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）Aa4Ba4Ca1Da13已知等比数列an满足a1=，a3a5=4（a41），则a2=（）A2B1CD4设a=sin33，b=cos55，c=tan35，则（）AabcBbcaCcbaDcab5下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）Ay=x+lgxBy=x
2、lgxCy=x+lgxDy=xlgx6已知，cos2x=a，则sinx=（）ABCD7函数f（x）=excosx的图象在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为（）A0B1CD8要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度9在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，B=45，SABC=2，则 b等于（）AB5C41D10若实数x，y满足|x3|y1，则z=的最小值为（）AB2CD11对于实数x，规定x表示不大于x的最大整数，那么不等式4x236x+450成立的x的范围是（）A（）B2，8C2，8）D2，712
3、已知函数f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），若x11，2，x21，2，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）ABC（0，3D3，+）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13函数y=logax+1（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线 +4=0（m0，n0）上，则+=；m+n的最小值为14函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为15已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则A的值为，ABC面积的最大值为16对于函数f（x）=，
4、给出下列四个命题：该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当x=+k（kZ）时，该函数取得最小值1；该函数的图象关于x=+2k（kZ）对称；当且仅当2kx+2k（kZ）时，0f（x）其中正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）已知函数f（x）=|2xa|+|x+1|（）当a=1时，解不等式f（x）3；（）若f（x）的最小值为1，求a的值18（12分）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=（）求cosCAD的值；（）若cosBAD=，sinCBA=，求BC的长19（12分）设数
5、列an满足a1+3a2+32a3+3n1an=（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Sn20（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x（0）的最小正周期为（）求函数f（x）的单调增区间；（）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象若y=g（x）在0，b（b0）上至少含有10个零点，求b的最小值21（12分）已知函数（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）当时，讨论f（x）的单调性22（12分）已知函数f（x）=xlnx（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有
6、零点，求实数a的最大值；（II）若x0，xkx21恒成立，求实数k的取值范围2016-2017学年山西省朔州市怀仁一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（2015邢台模拟）已知全集A=xN|x2+2x30，B=y|yA，则集合B中元素的个数为（）A2B3C4D5【考点】集合的表示法【专题】计算题；集合【分析】由题意，全集A=xN|x2+2x30=0，1，B=y|yA中的元素为集合A的子集，从而求解【解答】解：全集A=xN|x2+2x30=0，1，B=y|yA中的元素为集合A
7、的子集，故集合B中元素的个数为22=4；故选C【点评】本题考查了集合的元素与集合关系的应用，属于基础题2（2016秋怀仁县校级期中）命题“对任意x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是（）Aa4Ba4Ca1Da1【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数思想；定义法；简易逻辑【分析】根据全称命题为真命题，求出a的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行判断即可【解答】解：对任意x1，2，x2a0”为真命题，则对任意x1，2，x2a”，当x1，2，x21，4，a4，则命题“对任意x1，2，x2a0”为真命题的一个充分不必要条件可以是a4，故选：B【点评】本题主要考查充分条
8、件和必要条件的应用，根据命题为真命题求出a的取值范围是解决本题的关键3（2015新课标II）已知等比数列an满足a1=，a3a5=4（a41），则a2=（）A2B1CD【考点】等比数列的通项公式【专题】等差数列与等比数列【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a3a5=4（a41），=4，化为q3=8，解得q=2则a2=故选：C【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题4（2014广西）设a=sin33，b=cos55，c=tan35，则（）AabcBbcaCcbaDcab【考点】正切函数的单调性【专题】三角函数的求值【分析】可得b=sin35，易得b
9、a，c=tan35=sin35，综合可得【解答】解：由诱导公式可得b=cos55=cos（9035）=sin35，由正弦函数的单调性可知ba，而c=tan35=sin35=b，cba故选：C【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题5（2007上海）下列四个函数中，图象如图所示的只能是（）Ay=x+lgxBy=xlgxCy=x+lgxDy=xlgx【考点】函数的图象【专题】计算题；压轴题【分析】先求出所给函数的导数，再结合导数的符号，判断函数的单调性，然后利用函数的单调性进行判定，可得正确选项【解答】解：在y=x+lgx中，0，y=x+lgx是（0，+）上单
10、调递增函数，A不成立；在y=xlgx中，当0xlge时，0，当xlge时，0y=xlgx的增区间是（lge，+），减区间是（0，lge），B成立；在y=x+lgx中，当0xlge时，0，当xlge时，0y=x+lgx的减区间是（lge，+），增区间是（0，lge），C不成立；在y=xlgx中，0，y=xlgx是（0，+）上单调递减函数，D不成立故选B【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质，解题时要注意导数的合理运用，属于中档题6（2016秋怀仁县校级期中）已知，cos2x=a，则sinx=（）ABCD【考点】半角的三角函数【专题】计算题；三角函数的求值【分析】根据二倍角的余弦公式，结合题意算
11、出sin2x=，再由sinx0得sinx=，从而得到答案【解答】解：cos2x=a，12sin2x=a，可得sin2x=，又，可得sinx0，sinx=故选：B【点评】本题给出cos2x的值，求sinx着重考查了任意角的三角函数、二倍角的余弦公式等知识，属于基础题7（2015春玉田县期末）函数f（x）=excosx的图象在点（0，f（0）处的切线的倾斜角为（）A0B1CD【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的概念及应用【分析】由求导公式和法则求出f（x），求出f（0）的值可得切线的斜率，再由斜率公式求出切线的倾斜角【解答】解：由题意得，f（x）=excosxexsinx，则f（0
12、）=e0（cos0sin0）=1，所以在点（0，f（0）处的切线的斜率k=1，又k=tan，则切线的倾斜角=，故选：C【点评】本题考查了导数的运算及法则，导数的几何意义，以及直线的倾斜角与斜率的关系8（2016河南模拟）要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cos2x的图象【解答】解：=，故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，即得到函数的图象故选 C【点评】本题考查诱导公式，以及y
13、=Asin（x+）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键9（2015房山区一模）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，B=45，SABC=2，则 b等于（）AB5C41D【考点】余弦定理【专题】解三角形【分析】利用三角形的面积求出c，然后利用余弦定理求出b即可【解答】解：在ABC中，a=1，B=45，SABC=2，可得2=，解得c=4由余弦定理可得：b=5故选：B【点评】本题考查余弦定理的应用三面角的面积的求法，考查计算能力10（2015九江一模）若实数x，y满足|x3|y1，则z=的最小值为（）AB2CD【考点】简单线性规划【专题】不等式的解法及应用【分析】作出
14、不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论【解答】解：依题意，得实数x，y满足，画出可行域如图所示，其中A（3，0），C（2，1），z=1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点与原点的斜率，则OC的斜率最大为k=，OA的斜率最小为k=0，则0k，则1k+1，1，故1+2，故z=的最小值为，故选A【点评】本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的应用，利用数形结合是解决本题的关键11（2011辽宁模拟）对于实数x，规定x表示不大于x的最大整数，那么不等式4x236x+450成立的x的范围是（）A（）B2，8C2，8）D2，7【考点】一元二次不等式的解法【专题】计算题；新定义【分析】先求出
15、关于x的不等式的解集，然后根据新定义得到x的范围即可【解答】解：由4x236x+450，得，又x表示不大于x的最大整数，所以2x8故选C【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查学生理解新定义的能力，是一道中档题12（2015泉州模拟）已知函数f（x）=x22x，g（x）=ax+2（a0），若x11，2，x21，2，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）ABC（0，3D3，+）【考点】函数的值域【专题】计算题；压轴题【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在1，2时的值域为1，3，再根据一次g（x）=ax+2（a0）为增函数，求出g（x2）2a，2a+2，由题意得f（x）值域是g（
16、x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=x22x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称x11，2时，f（x）的最小值为f（1）=1，最大值为f（1）=3，可得f（x1）值域为1，3又g（x）=ax+2（a0），x21，2，g（x）为单调增函数，g（x2）值域为g（1），g（2）即g（x2）2a，2a+2x11，2，x21，2，使得f（x1）=g（x2），a3故选D【点评】本题着重考查了函数的值域，属于中档题本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13（2016秋怀仁
17、县校级期中）函数y=logax+1（a0且a1）的图象恒过定点A，若点A在直线 +4=0（m0，n0）上，则+=4；m+n的最小值为1【考点】对数函数的图象与性质【专题】计算题；分析法；函数的性质及应用【分析】利用对数的性质可得：函数y=logax+1（a0且a1）的图象恒过定点A（1，1），代入直线 +4=0（m0，n0）上，可得+=4，再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出【解答】解：当x=1时，y=loga1+1=1，函数y=logax+1（a0且a1）的图象恒过定点A（1，1），点A在直线 +4=0（m0，n0）上，+=4m+n=（+）（m+n）=（2+m+n），（2+2）=1，当
18、且仅当m=n=时取等号故答案是：4；1【点评】本题考查了对数的运算性质、“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题14（2015惠州模拟）函数f（x）的定义域为R，f（1）=2，对任意xR，f（x）2，则f（x）2x+4的解集为（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法【专题】计算题【分析】构建函数F（x）=f（x）（2x+4），由f（1）=2得出F（1）的值，求出F（x）的导函数，根据f（x）2，得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集【解答】解：设F（x）=f（x）（2x+4），则F（1）=f（1）（2+4）=22=
19、0，又对任意xR，f（x）2，所以F（x）=f（x）20，即F（x）在R上单调递增，则F（x）0的解集为（1，+），即f（x）2x+4的解集为（1，+）故答案为：（1，+）【点评】本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性，属于中档题15（2015秋南阳期末）已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，则A的值为，ABC面积的最大值为【考点】余弦定理；正弦定理【专题】解三角形【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，即可
20、确定出角A的大小；由条件利用正弦定理可得b2+c2bc=4再利用基本不等式可得bc4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，ABC为等边三角形，从而求得它的面积 bcsinA【解答】解：由已知可得等式：（a+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，利用正弦定理化简得：（a+b）（ab）=c（cb），即b2+c2a2=bc，cosA=，则A=；在ABC中，a=2，且（2+b）（sinAsinB）=（cb）sinC，利用正弦定理可得（2+b）（ab）=（cb）c，即 b2+c2bc=4再利用基本不等式可得 42bcbc=bc，bc4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，ABC为等边三角形，它的面
21、积为 bcsinA=，故答案为：，【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式的应用，属于中档题16（2009锦州一模）对于函数f（x）=，给出下列四个命题：该函数是以为最小正周期的周期函数；当且仅当x=+k（kZ）时，该函数取得最小值1；该函数的图象关于x=+2k（kZ）对称；当且仅当2kx+2k（kZ）时，0f（x）其中正确命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上）【考点】三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的单调性【专题】作图题；数形结合【分析】由题意作出此分段函数的图象，由图象研究该函数的性质，依据这些性质判断四个命题的真假，此函数取自变量相同时函数值小的那一个，由此
22、可顺利作出函数图象【解答】解：由题意函数f（x）=，画出f（x）在x0，2上的图象由图象知，函数f（x）的最小正周期为2，在x=+2k（kZ）和x=+2k（kZ）时，该函数都取得最小值1，故错误，由图象知，函数图象关于直线x=+2k（kZ）对称，在2kx+2k（kZ）时，0f（x），故正确故答案为 【点评】本题考点是三角函数的最值，本题是函数图象的运用，由函数的图象研究函数的性质，并以由图象研究出的结论判断和函数有关的命题的真假三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17（10分）（2015唐山一模）已知函数f（x）=|2xa|+|x+1|（）当a=1时
23、，解不等式f（x）3；（）若f（x）的最小值为1，求a的值【考点】绝对值不等式的解法【专题】不等式的解法及应用【分析】（）当a=1时，求出函数的分段函数形式，然后求解不等式f（x）3的解集即可；（）利用绝对值的几何意义求出f（x）的最小值的表达式，利用最小值为1，求a的值【解答】解：（）因为f（x）=|2x1|+|x+1|=；且f（1）=f（1）=3，所以，f（x）3的解集为x|1x1；（4分）（）|2xa|+|x+1|=|x|+|x+1|+|x|1+|+0=|1+|当且仅当（x+1）（x）0且x=0时，取等号所以|1+|=1，解得a=4或0（10分）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，绝对值
24、的几何意义的应用，考查转化是以及计算能力18（12分）（2014湖南）如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=（）求cosCAD的值；（）若cosBAD=，sinCBA=，求BC的长【考点】解三角形的实际应用【专题】解三角形【分析】（）利用余弦定理，利用已知条件求得cosCAD的值（）根据cosCAD，cosBAD的值分别，求得sinBAD和sinCAD，进而利用两角和公式求得sinBAC的值，最后利用正弦定理求得BC【解答】解：（）cosCAD=（）cosBAD=，sinBAD=，cosCAD=，sinCAD=sinBAC=sin（BADCAD）=sinBADcosCADco
25、sBADsinCAD=+=，由正弦定理知=，BC=sinBAC=3【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用，三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用19（12分）（2007山东）设数列an满足a1+3a2+32a3+3n1an=（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=，求数列bn的前n项和Sn【考点】数列的求和；数列递推式【专题】计算题【分析】（1）由a1+3a2+32a3+3n1an=当n2时，a1+3a2+32a3+3n2an1=，两式作差求出数列an的通项（2）由（1）的结论可知数列bn的通项再用错位相减法求和即可【解答】解：（1）a1+3a2+32a3
26、+3n1an=，当n2时，a1+3a2+32a3+3n2an1=，得3n1an=，所以（n2），在中，令n=1，得也满足上式（2），bn=n3nSn=3+232+333+n3n3Sn=32+233+334+n3n+1，得2Sn=n3n+1（3+32+33+3n），即2Sn=n3n+1【点评】本题的第二问考查了数列求和的错位相减法错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列20（12分）（2014漳州模拟）已知函数f（x）=2sinxcosx+2sin2x（0）的最小正周期为（）求函数f（x）的单调增区间；（）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x
27、）的图象若y=g（x）在0，b（b0）上至少含有10个零点，求b的最小值【考点】两角和与差的正弦函数；函数的零点与方程根的关系；正弦函数的单调性；函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】计算题；三角函数的图像与性质【分析】（I）根据二倍角的三角函数公式与辅助角公式化简得，利用周期公式算出=1，得函数解析式为再由正弦函数单调区间的公式，解关于x的不等式即可得到函数f（x）的单调增区间；（II）根据函数图象平移的公式，得出函数g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1由此解g（x）=0得sin2x=，利用正弦函数的图象解出或，可见g（x）在每个周期上恰有两个零点，若g（x）在0，b上至少含有1
28、0个零点，则b大于或等于g（x）在原点右侧的第10个零点，由此即可算出b的最小值【解答】解：（）由题意，可得f（x）=函数的最小正周期为，=，解之得=1由此可得函数的解析式为令，解之得函数f（x）的单调增区间是 （）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+）+1的图象，g（x）=+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1令g（x）=0，得sin2x=，可得2x=或2x=解之得或函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，若y=g（x）在0，b上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，即b的最小值为【点评】本题给出三
29、角函数式满足的条件，求函数的单调区间并依此求解函数g（x）在0，b上零点的个数的问题着重考查了二倍角的三角函数公式、辅助角公式与三角函数的图象与性质等知识，属于中档题21（12分）（2014烟台一模）已知函数（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（2）当时，讨论f（x）的单调性【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】导数的综合应用【分析】（1）当a=1时，直接求出f（x）从而确定f（2）和f（2），利用点斜式方程即可求出切线方程；（2）分情况讨论a=0，三种情况下f（x）的正负，即可确定f（x）的单调性【解答】解：（1）当a=1时，
30、此时，又，切线方程为：y（ln2+2）=x2，整理得：xy+ln2=0； （2），当a=0时，此时，当x（0，1）时，f（x）0，f（x）单调递减，当x（1，+）时，f（x）0，f（x）单调递增； 当时，当，即时，在（0，+）恒成立，f（x）在（0，+）单调递减； 当时，此时在（0，1），f（x）0，f（x）单调递减，f（x）在，f（x）0单调递增； 综上所述：当a=0时，f（x）在（0，1）单调递减，f（x）在（1，+）单调递增；当时，f（x）在单调递减，f（x）在单调递增；当时f（x）在（0，+）单调递减【点评】本题考查导数的几何意义和曲线切线的求法，考查导数在研究函数单调性中的作用，以及
31、分类讨论的数学思想，属于中档题22（12分）（2013合肥二模）已知函数f（x）=xlnx（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若x0，xkx21恒成立，求实数k的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值【专题】导数的综合应用【分析】（I）由函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，即g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+）上有实数根即a=lnx+x+在（0，+）上有实数根令h（x）=，（x0），利用导数求出h（x）的最小值，则ah（x）min（II）由已知x0，xkx21恒成立令g（x）=x1lnx，x0利用导数
32、得出g（x）的最小值即可【解答】解：（I）函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+）上有实数根即a=lnx+x+在（0，+）上有实数根令h（x）=，（x0），则=解h（x）0，得0x1；解h（x）0，得x1h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+）上单调递增h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3a3，解得a3实数a的最大值为3（II）x0，xkx21恒成立，lnxx1kx2，即令g（x）=x1lnx，x0=，令g（x）0，解得x1，g（x）在区间（1，+）上单调递增；令g（x）0，解得0x1，g（x）在区间（0，1）上单调递减当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，g（x）g（1）=0，k0，即实数k的取值范围是（，0【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键
