1、兰州一中2019-2020-2学期高一年级期中考试试题数学一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列角中终边与相同的角是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】与30的角终边相同的角的集合为|=330+k360，kZ当k=-1时，=-30，故选B2.下列说法正确的个数是（ ）小于的角是锐角；钝角一定大于第一象限角；第二象限的角一定大于第一象限的角；始边与终边重合的角为.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】【分析】根据锐角、钝角以及象限角、轴线角的概念逐一判断命题的正误，可得出结论.【详解】对，小于的角不是
2、锐角，如不是锐角，故错；对，角是第一象限的角，大于任何钝角，故错；对，第二象限角中的角小于第一象限角中的角，故错；对，始边与终边重合的角的度数是，故错故选：A【点睛】本题考查象限角及轴线角，考查角的有关概念的理解，是基础题3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由已知条件求出扇形的半径为，再结合弧长公式求解即可.【详解】解：设扇形的半径为，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得，由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是，故选：B.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题.4.已知，且
3、在第三象限，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由同角三角函数的商数关系和平方关系列和的方程组，结合的象限，可求出的值.【详解】为第三象限角，则，由题意得，解得，故选B.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，解题时要注意根据角的象限判定所求函数值的符号，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知角的终边经过点，若，则的值为（ ）A. 27B. C. 9D. 【答案】B【解析】由正切函数的定义可得，即，也即，所以，应选答案B6.下列能使成立所在区间是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合函数图像，采用排除法依次排除各个选项即可.【详解】选项：时，可知错误；
4、选项：时，可知正确；选项：时，可知错误；选项：时，可知错误.本题正确选项：【点睛】本题考查结合三角函数图像比较大小关系，可以采用特殊值的方式进行排除.7.已知，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由角范围可求，结合已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解【详解】又故选：C.【点睛】本题主要考查了根据同角三角函数关系求值问题，解题关键是掌握同角三角函数基本关系式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.8.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由根据诱导公式，可得，结合，即可求得答案.【详解】则故选：C.【点睛】本题考查了根据诱导公式求三角函数
5、值，解题关键是掌握三角形函数诱导公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.9.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】根据函数图象求得，根据函数的图象求出函数的周期,然后可以求出,通过函数经过的最大值点求出值,即可得到函数的解析式.【详解】根据函数图象可得函数的最大值为可得由函数的图象可知:,.当,函数取得最大值,可得：，时，可得故选：D.【点睛】本题主要考查了根据三角函数图象求函数表达式，解题关键是掌握由函数的周期求，及其利用“五点法”中相对应的特殊点求，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.10.根据如下样本数据，得到回归直线方程，则
6、（ ）x345678y4.02.50.50.52.03.0A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出散点图，由散点图得出回归直线中的的符号【详解】作出散点图如图所示由图可知，回归直线x的斜率0，当x0时，0.故选B【点睛】本题考查了散点图的概念，拟合线性回归直线第一步画散点图，再由数据计算的值11.已知函数最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像（ ）A. 关于点对称B. 关于直线对称C. 关于点对称D. 关于直线对称【答案】D【解析】【分析】由最小正周期为可得,平移后的函数为,利用奇偶性得到,即可得到,则,进而判断其对称性即可【详解】由题,因为最小正
7、周期为,所以,则平移后的图像的解析式为,此时函数是奇函数,所以,则,因为,当时,所以,令,则,即对称点为；令,则对称轴为,当时,，故选：D【点睛】本题考查图象变换后的解析式,考查正弦型三角函数的对称性12.已知函数的图象过点，且在上单调，同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合，当，且时，则（ ）A. B. -1C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】由题意求得、的值，写出函数f（x）的解析式，求图象的对称轴，得x1+x2的值，再求f（x1+x2）的值【详解】详解：由函数的图象过点，解得，又，又的图象向左平移个单位之后为，由两函数图象完全重合知；又，=2；，令,得其图象的对称轴为当，对称轴
8、.，故选B.【点睛】本题主要考查的是有关确定函数解析式的问题，在求解的过程中，需要明确正弦型曲线的对称轴的位置，以及函数的性质，是高考中的常考知识点；对于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，利用三角函数的性质求解二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13._弧度,弧度=_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据弧度制与角度制的转换公式即可求解.【详解】,故答案为：；【点睛】本题主要考查了弧度制与角度制的转化，属于容易题.14.当时，使成立的x的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据正切函数的图象，进行求解即可【详解】由正切函数
9、图象知，当时，若，则，即实数x的取值范围是，故答案为【点睛】本题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键15.函数的定义域是_【答案】【解析】【分析】由根式内部的代数式大于等于联立不等式组，分别求解三角不等式和一元二次不等式，取交集后得答案【详解】可得：解得，解得，如图，不等式组的解集为函数的定义域是故答案为：【点睛】本题主要考查了求函数定义域，解题关键是掌握函数定义域的求法和正弦函数图象特征，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.函数在上单调递减，则正实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由条件利用正弦函数的单调性，求得正实数的取值范围【详解】解：
10、由函数在上单调递减，可得函数的半个周期大于或等于，即，由，且，求得，则正实数的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题三解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.ABC中，DEBC，且与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，设，用、分别表示向量，.【答案】，【解析】【分析】利用向量减法的三角形法则可求得，再根据平行的性质可知，则可用、表示出；根据向量加法的平行四边形法则可知，又，则可用、表示出.【详解】如图，ABC中，DEBC，且与边AC相交于点E，ABC的中线AM与DE相交于点N，.，.【点睛】本题考查了向量加法
11、运算的平行四边形法则，减法运算的三角形法则，向量的数乘运算，考查了平面向量基本定理，属于基础题.18.已知角的终边经过点 ，且为第二象限角.（1）求实数和的值；（2）若，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根据三角函数定义，利用公式求解；（2）先用诱导公式化简，再利用和差公式合并即可求值.【详解】（1）由三角函数定义可知，解得，为第二象限角，所以.（2）原式【点睛】此题考查根据三角函数定义求参数的值，同角三角函数之间的转化，利用诱导公式，和差公式进行化简求值，关键在于熟练掌握基本公式.19.如图，已知是半圆的直径，是将半圆圆周四等分的三个分点（1）从这5个点中任取3个点，求这3
12、个点组成直角三角形的概率；（2）在半圆内任取一点，求的面积大于的概率【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：对于问题（1）首先求出从个点中任取个点，一共可以组成的三角形的个数，再求出以为直径的三角形的个数，即可求出所求的概率；对于问题（2）首先求出当三角形的面积等于时点在半圆内的位置，然后再根据几何概型即可求得所需的结论.试题解析：（1）从这个点中任取个点，一共可以组成个三角形：，其中是直角三角形的只有个，所以组成直角三角形的概率为（2）连接，取线段的中点，则，易求得，当点在线段上时，所以只有当点落在阴影部分时，面积才能大于，而，所以由几何概型的概率公式得的面积大于的概率为考点：1、古典概型
13、；2、几何概型.20.某港口的水深（米）是时间（，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：经过长期观测，可近似的看成是函数（1）根据以上数据，求出的解析式；（2）若船舶航行时，水深至少要米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，求出和；再借助于相隔12小时达到一次最大值说明周期为12求出即可求出的解析式；（2）把船舶安全转化为深度，即；再解关于的三角不等式即可求出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港【详解】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为，最小值为，且相隔小
14、时达到一次最大值说明周期为，因此，故（2）要想船舶安全，必须深度，即，解得：又当时，；当时，；故船舶安全进港的时间段为，【点睛】本题主要考查三角函数知识的应用问题解决本题的关键在于求出函数解析式求三角函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等，属于中档题21.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中的值；（2）求综合评分的中位数；（3）用样本估计总体，以频率作为概
15、率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中至多有一个一等品的概率.【答案】（1）（2）中位数为82.5（3）【解析】【分析】（1）根据频率之和等于1，即可得出的值；（2）根据中位数的求解方法求解即可；（3）利用分层抽样的性质得出抽取5个产品中，一等品有3个，非一等品2个，利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可.【详解】解：（1）由频率和为1，得，；（2）设综合评分的中位数为，则解得，所以综合评分的中位数为82.5.（3）由频率分布直方图知，一等品的频率为，即概率为0.6；所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40
16、个，则一等品与非一等品的抽样比为；所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为、，非一等品2个，记为、；从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：、共10种；抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：、共7种，所以所求的概率为.【点睛】本题主要考查了补全频率分布直方图，计算中位数，古典概型概率的计算，属于中档题.22.已知函数的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点（1）求的解析式；（2）求函数的单调递增区间；（3）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程，在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围【答案】（1）（
17、2）（3）或【解析】【分析】（1）计算周期得到，再代入点，计算得到答案.（2）计算得到答案.（3）根据平移和伸缩变换得到，画出函数图像得到答案.【详解】（1）图象与轴的交点，相邻两个交点之间的距离为，即，即；，解得，那么图象过点代入可求得，解析式；（2），是单调递增区间，即，解得，函数的单调递增区间为；（3）；将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，即，在上只有一个实数解，即图象与只有一个交点，由的图象可知：实数的取值范围为或.【点睛】本题考查了三角函数解析式，函数平移伸缩变换，单调区间，根据根的个数求参数，画出函数图像是解题的关键.
