1、四川省南充高级中学2019-2020学年高二数学下学期3月线上月考试题 理（含解析）一、选择题1.设函数 的定义域，函数y=ln(1-x)的定义域为,则A. （1,2）B. （1,2C. （-2,1）D. -2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故，选D.【名师点睛】集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.2.设为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】计算出，进而计算即可.【详解】 .【点睛】本题考查复数的除法运算及模的求法，考查计算能力3.命题“，使”的否定为（ ）A ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据
2、全称命题的否定直接判定即可.【详解】命题“,使”的否定为“,”.故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定,属于基础题.4.设，则“”是“” 的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.详解：求解不等式可得，求解绝对值不等式可得或，据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.本题选择A选项.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为A
3、. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】试题分析：椭圆和双曲线有公共焦点，整理得，双曲线的渐近线方程为y=，故选D考点：本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程及几何性质点评：基础题，先根据椭圆方程和双曲线方程分别表示出c，令二者相等即可求得m和n的关系，进而利用双曲线的方程求得双曲线的渐近线方程6.设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，故选B点睛：本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间
4、的关系，挖掘出它们之间的内在联系. 7.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则OFP的面积为（）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】由抛物线的方程，知其准线为，设，则由抛物线的定义，有，所以，所以，所以，故选B考点：抛物线的定义及几何性质8.已知点在抛物线：上，为坐标原点，点是抛物线准线上一动点，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据点在抛物线：上,可求得，可得准线方程，取，则即可得到.【详解】因为点在抛物线：上，所以，所以，所以，准线为：取，则，当且仅当三点共线时取得等号.故选：D.【点睛】本题考查了抛物线方程，抛物线的准
5、线方程的应用，考查了抛物线线中的最值，属于中档题.9.已知平面，的法向量分别为和（其中），若，则的值为（ ）A. B. -5C. D. 5【答案】D【解析】【分析】根据平面平行得到，故，计算得到答案.【详解】，则，故，即，解得.故.故选：.【点睛】本题考查了法向量的平行问题，意在考查学生的计算能力.10.如图所示，在三棱锥PABC中，PA平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CBAB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为PA平面ABC，所以PAAB，PABC过点A作AECB，又CBAB，则AP，AB，AE两两垂直如图，以A为坐
6、标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，2，0)因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)故=(4，2，2)，=(2，0，1)所以cos，=.设异面直线PC，AD所成的角为，则cos =|cos，|=.11.正方体的棱长为1，点在棱上，且，点在平面上，且动点到直线的距离的平方与点到点的距离的平方的差为，在以、为坐标轴的平面直角坐标系中，动点的轨迹是（）A. 圆B. 抛物线C. 双曲线D. 直线【答案】B【解析】【分析】结合正方体的图像，作，Q为垂足，过点作，求出点到直线的距离，以及到点的距离，即可
7、得出结果.【详解】如图所示：正方体中，作，Q为垂足，则面，过点作，则面，即为点到直线的距离，由题意可得又已知，即到点的距离等于到的距离，根据抛物线的定义可得，点的轨迹是抛物线，故选B【点睛】本题主要考查立体几何中的轨迹问题，熟记圆锥曲线的定义即可，属于常考题型.12.已知椭圆的左、右焦点分别为，点，在椭圆上，其中，若，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先分析得到四边形为矩形，再由得，由得，化简不等式即得离心率的取值范围.详解】设，由知，由在椭圆上，可知四边形为矩形，；由，可得，由椭圆的定义可得，平方相减可得，而，即，由可得，由，可得，故选：C.【
8、点睛】本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质，考查椭圆的离心率的计算和基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题13.若复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则_.【答案】3【解析】【分析】由是纯虚数，求出复数，然后再求的模.【详解】由为纯虚数，则且所以，则.所以故答案为：3【点睛】本题考查纯虚数，复数的模，属于基础题.14.圆在点处的切线方程为，类似地，可以求得椭圆在点处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】类比得到在点处的切线方程为，代入数据计算得到答案.【详解】在点处的切线方程为，类比得到在点处的切线方程为，故椭圆在点处的切线方程为，即.故答案为：.【点睛】本题考查
9、了类比推理，意在考查学生的推理能力和计算能力.15.设、为双曲线左、右焦点，过的直线交双曲线左、右两支于点、，连接、，若，且，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】【分析】作出图形，设，可知是等腰直角三角形，利用双曲线的定义得出与的等量关系，并取线段的中点，可得出，利用勾股定理可求出该双曲线离心率的值.【详解】设双曲线的焦距为，如下图所示：取中点，设，由于，所以，为等腰直角三角形，且，为的中点，所以，由双曲线的定义得，又，可得，在中，由勾股定理得，则有，可得，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，同时在问题中涉及了双曲线的焦点，一般利用双曲线的定义来求解，并
10、充分分析几何图形的形状，考查运算求解能力，属于中等题.16.已知椭圆的方程为：，是椭圆上的任意三点(异于椭圆顶点)，若存在锐角，使，(为坐标原点)则直线，的斜率乘积为_【答案】【解析】【分析】设,结合平面向量坐标运算,可得的坐标表达式,代入椭圆化简即可得解.【详解】由题意可设椭圆方程为，又设，,所以因为M点在该椭圆上，则，即 ,又因为AB点在也该椭圆上，即直线OAOB的斜率乘积为，故答案为: .【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,点与椭圆的位置关系应用,直线斜率公式,属于中档题.三、解答题17.已知（1）证明：（2）分别求；（3）试根据(1)(2)的结果归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.【
11、答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）将代入函数解析式，求得的值.（2）将代入函数解析式，求得的值.（3）猜想，利用函数解析式，求得的值，由此证得猜想成立.【详解】解：(1) (2).(3)由(1)(2)猜想一般结论是： .证明如下： .【点睛】本小题主要考查已知函数解析式求函数值，考查运算求解能力，属于基础题.18.在公差d的等差数列中，且.（1）求的通项公式；（2）若，成等比数列，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，或，再由等差数列的通项公式可得所求；（2）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求，求
12、得，再由裂项相消求和即可得解【详解】解：（1），且，或当时，；当时，. （2），成等比数列，即，化为或，由（1）可得，则，故.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题19.在新冠肺炎疫情的影响下，南充高中响应“停课不停教，停课不停学”的号召进行线上教学，高二年级的甲乙两个班中，需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛，已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班5名学生成绩的平均分是83，乙班5名学生成绩的中位数是86（1）求出x，y的值，且分别求甲乙两个班中5名学生成绩的方差，并根据结果，你认为应该选
13、派哪一个班的学生参加决赛？（2）从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名求至少有1名来自甲班的概率【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据甲平均成绩可计算得x的值，根据乙中位数可得y的值;由方差公式即可求得两个班的方差,并根据平均数和方差的意义,作出选择.（2）根据古典概型概率求法,列举出所有可能,即可求解.【详解】（1）甲班的平均分为，解得易知；又乙班的平均分为，； ，说明甲班同学成绩更加稳定，故应选甲班参加 （2）85分及以上甲班有2人，设为 ；乙班有3人，设为， 从这5人中抽取2人的选法有：，共10种，其中甲班至少有1名学生的选法有7种，则甲班至少有1名学生被抽到的概率
14、为【点睛】本题考查了茎叶图求的简单应用,方差公式求方差值,古典概型概率的求法应用,属于基础题.20.如图：在四棱锥中，平面.，.点是与的交点，点在线段上且. （1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求二面角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）推导出，在正三角形中，从而进而，由此能证明平面；（2）分别以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系，求出与平面的法向量，进而利用向量的夹角公式可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）求出面与面的法向量，进而利用向量的夹角公式可求出二面角的平面角的余弦值，再转化为正切值即可.【详解】证明：（1）在四棱锥中，
15、平面.， ，.点是与的交点，在正三角形中，在中，是中点，又，点在线段上且，平面，平面，平面（2），分别以为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标系， ，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为；（3）由（2）可知，为平面的法向量，设平面的法向量为，则，即，令，解得，设二面角的平面角为，则，故二面角的正切值为.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角和面面角的求法，考查运算求解能力，是中档题21.已知抛物线C的顶点为坐标原点O，对称轴为x轴，其准线过点.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线焦点F作直线l，使得抛物线C上恰有三个点到直线l的距离都为，求直线l
16、的方程.【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由题意得，抛物线的焦点在轴上，设抛物线C的方程为，由准线过点，可得，从而求解.（2）求出抛物线C的焦点为，分类讨论直线l的斜率不存在时，验证不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切，设该切线方程为，代入抛物线方程，使判别式等于零，再利用两平行线间的距离公式即可求解.【详解】(1)由题意得，抛物线的焦点在轴正半轴上，设抛物线C的方程为， 因为准线过点，所以，即. 所以抛物线C方程为.(2)由题意可知，抛物线C的焦点为.当直线l的斜率
17、不存在时，C上仅有两个点到l的距离为，不合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，要满足题意，需使在含坐标原点的弧上有且只有一个点P到直线l的距离为，过点P的直线平行直线且与抛物线C相切. 设该切线方程为，代入，可得.由，得.由，整理得，又，解得，即.因此，直线l方程.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系，同时考查了两条平行线间的距离，考查了学生的计算能力以及分类讨论的思想，属于中档题.22.已知椭圆（）的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于不同的两点，试问在轴上是否存在定点使得直线与直线恰关于轴对称？若存在，求出点的坐标；若不存在，说
18、明理由.【答案】(1) (2)见解析【解析】【分析】（1）由题得a,b,c的方程组求解即可（2）直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数，即，整理.设直线的方程为，与椭圆联立，将韦达定理代入整理即可.【详解】(1)由题意可得，又， 解得，.所以，椭圆的方程为 (2)存在定点，满足直线与直线恰关于轴对称.设直线的方程为，与椭圆联立，整理得，.设，定点.(依题意则由韦达定理可得，. 直线与直线恰关于轴对称，等价于的斜率互为相反数. 所以，即得. 又，所以，整理得，.从而可得， 即，所以，当，即时，直线与直线恰关于轴对称成立. 特别地，当直线为轴时，也符合题意. 综上所述，存在轴上的定点，满足直线与直线恰关于轴对称.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，熟记椭圆方程简单性质，熟练转化题目条件，准确计算是关键，是中档题.
