1、甘肃省天水市甘谷县2021届高三数学上学期第四次检测试题 理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数z满足z(1+2i)=i，则复数在复平面内对应点所在的象限是（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2. 已知集合，则的子集个数为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 83. “”是“对任意的正数，”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4.若正数满足，则的最小值为ABCD35.若实数满足约束条件，则的最大值是A B 1C 10D 126.函数的图像大致为（ ）7中国传统扇文化有着极其
2、深厚的底蕴一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）A B C D8.若函数的部分图像如图所示，则函数图像的一条对称轴是（ ）A. B. C. D.9. 设向量 ，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 与的夹角为D. 在方向上的投影为10 已知正项数列满足：，则使成立的的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 24D. 2511. 已知函数在定义域上的值不全为零，若函数的图象关于对称，函数的图象关于直线对称，则下列式子中错误的是（ ）A. B. C. D. 1
3、2. 若函数，则满足恒成立的实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为_14.的内角的对边分别为.若，则的面积为_15. 在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则_.16. 在中，角、所对的边分别为、，若，则当角取最大值时，的周长为_.三、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤17.（12分）在ABC中，a=3，bc=2，（1）求b，c的值；（2）求sin（BC）的值18.（12分）记为等差数列的前项和，已
4、知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值19（12分）已知数列的前n项和，满足 （1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和 20.（12分）在，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题在中，内角的对边分别是，且满足_，.（1）若，求的面积；（2）求的取值范围.21.（12分）已知函数.（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；（2）若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.22.（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为（1）求曲线的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线；（2）若直线与曲线
5、的交点分别为，求20202021学年第一学期高三第四次检测考试数学答案（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1解析：D2. 【答案】D【分析】先求出集合元素个数，再根据求子集的公式求得子集个数【详解】因为集合，所以所以子集个数为 个故选：D3.解析：A4.【答案】A【解析】由题意，因为，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选A.5【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示。因为，所以.平移直线可知，当该直线经过点A时，z取得最大值.联立两直线方程可得，解得.即点A坐标为，所以.故选C.6.【
6、答案】B【考点】函数的图象与性质【解析】法一：由题意可作出函数与函数的图象，得到有3个交点，即函数有3个零点，则故答案选B.法二：因为，可排除选项A、D；且当，排除选项C，故答案选B.法三：因为，设，则，令，可得，所以当时，则，在上单调递减；当时，则，在上单调递增，又，即函数有两个极值点，排除选项C、D；而，所以排除选项A，故答案选B.7解析：A8.【答案】B【考点】三角函数的图象与性质应用【解析】由函数的图象可知一个对称中心为，而，即另一个对称中心为，且为相邻的对称中心，故函数的一条对称轴为，则，即，所以函数的对称轴为直线，令，解得，故答案选B.9. 【答案】C利用向量平行，垂直，夹角以及向
7、量投影坐标公式对各个选项进行检验即可.【详解】A.，即两个向量不满足平行的坐标公式，故错误；B.，即不满足向量垂直的坐标公式，故错误；C.，所以夹角为，正确；D.在方向上的投影为，故错误.故选：C10 由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，可求得，所以，带入不等式即可求解【详解】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列所以，所以，又，所以，即解得，又，所以，故选C11. 【答案】D由题设条件可得函数的图象关于对称，且关于直线对称，从而得到为偶函数且为周期函数，从而可判断各项的正误.【详解】函数的图象关于对称，函数图象关于对称，令，即， 令，其图象关于直线对称，即， 由得
8、， ，由得,；A对；由，得，即，B对；由得，又，C对；若，则，由得，又，即，与题意矛盾，D错.故选：D.12. 【答案】A判断是上的奇函数，利用导函数可判断是上的增函数，恒成立等价于，分离得，令，则，经过分析知是上的偶函数，只需求在上的最大值，进而求得的取值范围.【详解】因为，所以是上的奇函数，所以是上的增函数，等价于所以，所以，令，则，因为且定义域为，所以是上的偶函数，所以只需求在上的最大值即可.当时，则当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减，可得：，即，故选：A二、 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.【答案】14.【答案】【解析】由余弦定理得，所以，即，解得（舍
9、去），所以，15.【答案】【分析】根据向量加法的三角形法则得，根据三角形相似可得，代入可得，结合已知，根据平面向量基本定理可得，即可求解【详解】因为在正方形中，E为CD中点，所以，又为，所以，所以，所以，又已知，根据平面向量基本定理可得，所以，故答案为：16. 【答案】【分析】先利用已知条件化简整理得，再根据化简，结合基本不等式和取最值的条件得到三角，最后求边长即得周长.【详解】因为，所以，即是钝角， 是锐角，即得，故 ，因为，所以，当且仅当时，即时最大，为，故角取最大值，故，又由，故，即周长为.故答案为：.三、解答题：本大题共6小题，共70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说
10、明，证明过程或演算步骤17.（12分）【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由余弦定理，得.因为，所以.解得.所以.（2）由得.由正弦定理得.在中，B是钝角，所以C为锐角.所以.所以.18.（12分）【答案】（1）an=2n9，（2）Sn=n28n，最小值为16【解析】分析：（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n项和公式得的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设an的公差为d，由题意得3a1+3d=15由a1=7得d=2所以an的通项公式为an=2n9（2）由（1）得Sn=n28n=（n4）216
11、所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为1619（12分）解析. 【解】（1）当时，当时，得， 4分（2）得，12分20. 解答:若选，由题意，化简得，-2分即，得。-3分（1）由余弦定理，得，解得。-6分（2）由正弦定理，又因为，所以-8分=，-10分因为，。-12分若选，由，得，化简得，得，得。以下与选同。若选，由得，即，化简得，得。以下与选同。21.（12分）（1）由题意可知，函数的定义域为， 因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，即，因为，所以，故的取值范围为. （2）可知，所以， 因为有两极值点，所以， 欲证，等价于要证：，即，所以，因为，所以原式等价于要证明：，由，可得，则有，由原式等价于要证明：，即证，令，则，上式等价于要证， 令，则因为，所以，所以在上单调递增，因此当时，即.所以原不等式成立，即. 22（10分）【答案】（1）曲线方程为，表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线；（2）10【解析】（1）因为，所以，即，所以曲线表示焦点坐标为，对称轴为轴的抛物线（2）设点，点直线过抛物线的焦点，则直线参数方程为化为一般方程为，代入曲线的直角坐标方程，得，所以所以
