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2021-2022学年高中人教A版数学选修2-1学案:第2章 2-2-2 第1课时 椭圆的简单几何性质 WORD版含解析.doc

上传人:高**** 文档编号:862421 上传时间:2024-05-31 格式:DOC 页数:13 大小:395KB
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资源描述

1、2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出它的图形(重点)2依据几何条件求出椭圆方程,并利用椭圆方程研究它的性质、图形(重点、难点)1通过椭圆性质的学习与应用,培养学生的数学运算的核心素养2借助离心率问题的求解,提升直观想象与逻辑推理的核心素养1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴,对称中心为原点顶点A1(a,0),A2(a,0) B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a) B1(b,0

2、),B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|2b,长轴长|A1A2|2a焦点F1(c,0),F2(c,0)F1(0,c),F2(0,c)焦距|F1F2|2c2离心率(1)定义:椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率(2)性质:离心率e的范围是(0,1)当e越接近于1时,椭圆越扁;当e越接近于0时,椭圆就越接近于圆思考:(1)离心率e能否用表示?(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗?提示(1)e21,所以e(2)不是离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同1椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是()A(1,0),(1,0)B(6,0),(6,0)C(,0),(,0)D(0,),(0,)D椭圆方程可化为x2

3、1,则长轴的端点坐标为(0,)2椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3,08B10,6,08C5,3,06 D10,6,06B椭圆方程可化为1,则a5,b3,c4,e,故选B3已知椭圆1,长轴在y轴上若焦距为4,则m等于()A8 B7C5 D4A由题意得m210m且10m0,于是6m10,再由(m2)(10m)22,得m84经过点P(3,0),Q(0,2)的椭圆的标准方程是_1由已知a3,b2,椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆标准方程是1根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】求椭圆m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解由已知得1(m0)

4、,因为0m2,所以椭圆的焦点在x轴上,并且长半轴长a,短半轴长b,半焦距c,所以椭圆的长轴长2a,短轴长2b,焦点坐标为,顶点坐标为,离心率e用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a,b,c.(4)写出椭圆的几何性质.提醒:长轴长、短轴长、焦距不是a,b,c,而应是a,b,c的两倍.1已知椭圆C1:1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率;(2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质解(1)由椭圆C1:1可得其长半轴长为10,短半轴长

5、为8,焦点坐标(6,0),(6,0),离心率e(2)椭圆C2:1性质:范围:8x8,10y10;对称性:关于x轴、y轴、原点对称;顶点:长轴端点(0,10),(0,10),短轴端点(8,0),(8,0);离心率:e利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)椭圆过点(3,0),离心率e;(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为8;(3)求经过点M(1,2),且与椭圆1有相同离心率的椭圆的标准方程思路探究:(1)焦点位置不确定,分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一:先求离心率,根据离心率找到a与b的关系再用待

6、定系数法求解法二:设与椭圆1有相同离心率的椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)解(1)若焦点在x轴上,则a3,e,c,b2a2c2963椭圆的方程为1若焦点在y轴上,则b3,e,解得a227椭圆的方程为1所求椭圆的方程为1或1(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示,A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),且|OF|c,|A1A2|2b,cb4,a2b2c232,故所求椭圆的方程为1(3)法一:由题意知e21,所以,即a22b2,设所求椭圆的方程为1或1将点M(1,2)代入椭圆方程得1或1,解得b2或b23故所求椭圆方程为1或1法二:设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(

7、k20),将点M的坐标代入可得k1或k2,解得k1,k2,故或,即所求椭圆的标准方程为1或1利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,通常采用待定系数法,其步骤是:确定焦点位置;设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程);根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数,列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2,e等.(2)在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.提醒:与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10,焦点在x轴上)或k2(k20

8、,焦点在y轴上).2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为18,一个焦点的坐标是(3,0),则椭圆的标准方程为()A1B1C1 D1B由题意,得解得因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为1(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴,O为坐标原点,F是一个焦点,A是一个顶点,椭圆的长轴长为6,且cosOFA,则椭圆的标准方程是_1或1因为椭圆的长轴长是6,cosOFA,所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)所以|OF|c,|AF|a3,所以,所以c2,b232225,所以椭圆的方程是1或1求椭圆的离心率探究问题1已知F是椭圆的左焦点,A,B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点,P是椭圆

9、上的一点,且PFx轴,OPAB,怎样求椭圆的离心率?提示如图,设椭圆的方程为1(ab0),P(c,m)OPAB,PFOBOA,又P(c,m)在椭圆上,1将代入,得1,即e2,e2已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0),A(a,0),B(0,b)是两个顶点,如果F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率e提示由A(a,0),B(0,b),得直线AB的斜率为kAB,故AB所在的直线方程为ybx,即bxayab0又F1(c,0),由点到直线的距离公式可得d,(ac)又b2a2c2,整理,得8c214ac5a20,即814508e214e50,e或e(舍去)综上可知,椭圆的离心率e【例3】(1)已知

10、F1,F2是椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,若ABF2是正三角形,则该椭圆的离心率是_(2)椭圆1(ab0)的两个焦点是F1,F2,若P为其上一点,且|PF1|5|PF2|,则此椭圆离心率的取值范围是()A BC D思路探究:(1)ABF2为正三角形AF2F130把|AF1|,|AF2|用c表示(2)在焦点三角形中有|PF1|PF2|F1F2|,利用定义求出各量后可得关于a,b,c的不等关系,即可求离心率的取值范围(1)(2)C(1)不妨设椭圆的焦点在x轴上,因为ABF1F2,且ABF2为正三角形,所以在RtAF1F2中,AF2F130,令|AF1|x,则|AF

11、2|2x,所以|F1F2|x2c,再由椭圆的定义,可知|AF1|AF2|2a3x,所以e(2)由椭圆定义可得|PF1|PF2|2a,结合|PF1|5|PF2|得|PF2|在焦点PF1F2中有|PF1|PF2|F1F2|,即4|PF2|F1F2|2c,a2c,e,故选C求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法:若已知a,c可直接利用e求解.若已知a,b或b,c可借助于a2b2c2求出c或a,再代入公式e求解.(2)方程法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2b2c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式

12、,即可求得e的值或范围.3(1)椭圆1(ab0)的一个焦点为F,该椭圆上有一点A,满足OAF是等边三角形(O为坐标原点),则椭圆的离心率是()A1B2C1D2(2)椭圆1(ab0)的两焦点为F1,F2,以F1F2为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为_(3)已知椭圆1(ab0),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,椭圆上总存在点P使得PF1PF2,则椭圆的离心率的取值范围为_(1)A1(3)(1)如图,设F(c,0),由OAF是等边三角形,得A,因为点A在椭圆上,所以有1,在椭圆中有a2b2c2,联立,得c2(42)a2,即c(1)a,则其离心率e1(2)法一:如图,

13、DF1F2为正三角形,N为DF2的中点,F1NF2N,|NF2|c,|NF1|c,由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a,cc2a,e1法二:注意到焦点三角形NF1F2中,NF1F230,NF2F160,F1NF290,则由离心率的三角形式,可得e1(3)由PF1PF2,知F1PF2是直角三角形,所以|OP|cb,即c2a2c2,所以ac,因为e,0e1,所以e11已知椭圆的方程讨论性质时,若不是标准形式,应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质,可以求椭圆的标准方程,其基本思路是“先定型,再定量”,常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中,能确定类型的量有焦点、顶点,而不能确定类型的量有长轴长、短

14、轴长、离心率e、焦距3椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围,在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用,也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等4椭圆的对称性(椭圆既是轴对称图形,也是中心对称图形)是椭圆的几何性质中较简单而又实用的性质,在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解1已知椭圆1(ab0)与椭圆1有相同的长轴,椭圆1(ab0)的短轴长与1的短轴长相等,则()Aa215,b216Ba29,b225Ca225,b29或a29,b225Da225,b29D由题意得,椭圆1的焦点在x轴上,且a225,b292若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是()A BC DB由题意得:2bac,4b2(ac)2,又a2b2c2,4(a2c2)a22acc2,即3a22ac5c20,3250,即5230,e3若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为,则m的值为_由题意知0m2,且e211所以m4已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,其离心率为,长轴长为8求椭圆的标准方程解由题意知2a8,a4又离心率e,c2,b2a2c216412,椭圆的标准方程为1

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