1、2.2.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形(重点)2依据几何条件求出椭圆方程，并利用椭圆方程研究它的性质、图形(重点、难点)1通过椭圆性质的学习与应用，培养学生的数学运算的核心素养2借助离心率问题的求解，提升直观想象与逻辑推理的核心素养1椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点顶点A1(a,0)，A2(a,0) B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a) B1(b,0
2、)，B2(b,0)轴长短轴长|B1B2|2b，长轴长|A1A2|2a焦点F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)焦距|F1F2|2c2离心率(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率(2)性质：离心率e的范围是(0,1)当e越接近于1时，椭圆越扁；当e越接近于0时，椭圆就越接近于圆思考：(1)离心率e能否用表示？(2)离心率相同的椭圆是同一个椭圆吗？提示(1)e21，所以e(2)不是离心率相同的椭圆焦距与长轴长的比值相同1椭圆6x2y26的长轴的端点坐标是()A(1,0)，(1,0)B(6,0)，(6,0)C(，0)，(，0)D(0，)，(0，)D椭圆方程可化为x2
3、1，则长轴的端点坐标为(0，)2椭圆25x29y2225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A5,3,08B10,6,08C5,3,06 D10,6,06B椭圆方程可化为1，则a5，b3，c4，e，故选B3已知椭圆1，长轴在y轴上若焦距为4，则m等于()A8 B7C5 D4A由题意得m210m且10m0，于是6m10，再由(m2)(10m)22，得m84经过点P(3,0)，Q(0,2)的椭圆的标准方程是_1由已知a3，b2，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆标准方程是1根据椭圆的方程研究其几何性质【例1】求椭圆m2x24m2y21(m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解由已知得1(m0)
4、，因为0m2，所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距c，所以椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为，顶点坐标为，离心率e用标准方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式.(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)(3)求出a，b，c.(4)写出椭圆的几何性质.提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.1已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长
5、为8，焦点坐标(6,0)，(6,0)，离心率e(2)椭圆C2：1性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶点：长轴端点(0,10)，(0，10)，短轴端点(8,0)，(8,0)；离心率：e利用几何性质求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8；(3)求经过点M(1,2)，且与椭圆1有相同离心率的椭圆的标准方程思路探究：(1)焦点位置不确定，分两种情况求解(2)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解(3)法一：先求离心率，根据离心率找到a与b的关系再用待
6、定系数法求解法二：设与椭圆1有相同离心率的椭圆方程为k1(k10)或k2(k20)解(1)若焦点在x轴上，则a3，e，c，b2a2c2963椭圆的方程为1若焦点在y轴上，则b3，e，解得a227椭圆的方程为1所求椭圆的方程为1或1(2)设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，cb4，a2b2c232，故所求椭圆的方程为1(3)法一：由题意知e21，所以，即a22b2，设所求椭圆的方程为1或1将点M(1,2)代入椭圆方程得1或1，解得b2或b23故所求椭圆方程为1或1法二：设所求椭圆方程为k1(k10)或k2(
7、k20)，将点M的坐标代入可得k1或k2，解得k1，k2，故或，即所求椭圆的标准方程为1或1利用椭圆的几何性质求标准方程的思路(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：确定焦点位置；设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个.提醒：与椭圆1(ab0)有相同离心率的椭圆方程为k1(k10，焦点在x轴上)或k2(k20
8、，焦点在y轴上).2(1)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为()A1B1C1 D1B由题意，得解得因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为1(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cosOFA，则椭圆的标准方程是_1或1因为椭圆的长轴长是6，cosOFA，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)所以|OF|c，|AF|a3，所以，所以c2，b232225，所以椭圆的方程是1或1求椭圆的离心率探究问题1已知F是椭圆的左焦点，A，B分别是其在x轴正半轴和y轴正半轴上的顶点，P是椭圆
9、上的一点，且PFx轴，OPAB，怎样求椭圆的离心率？提示如图，设椭圆的方程为1(ab0)，P(c，m)OPAB，PFOBOA，又P(c，m)在椭圆上，1将代入，得1，即e2，e2已知椭圆1(ab0)的左焦点为F1(c,0)，A(a,0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，求椭圆的离心率e提示由A(a,0)，B(0，b)，得直线AB的斜率为kAB，故AB所在的直线方程为ybx，即bxayab0又F1(c,0)，由点到直线的距离公式可得d，(ac)又b2a2c2，整理，得8c214ac5a20，即814508e214e50，e或e(舍去)综上可知，椭圆的离心率e【例3】(1)已知
10、F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若ABF2是正三角形，则该椭圆的离心率是_(2)椭圆1(ab0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是()A BC D思路探究：(1)ABF2为正三角形AF2F130把|AF1|，|AF2|用c表示(2)在焦点三角形中有|PF1|PF2|F1F2|，利用定义求出各量后可得关于a，b，c的不等关系，即可求离心率的取值范围(1)(2)C(1)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为ABF1F2，且ABF2为正三角形，所以在RtAF1F2中，AF2F130，令|AF1|x，则|AF
11、2|2x，所以|F1F2|x2c，再由椭圆的定义，可知|AF1|AF2|2a3x，所以e(2)由椭圆定义可得|PF1|PF2|2a，结合|PF1|5|PF2|得|PF2|在焦点PF1F2中有|PF1|PF2|F1F2|，即4|PF2|F1F2|2c，a2c，e，故选C求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解.若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解.(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式
12、，即可求得e的值或范围.3(1)椭圆1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是()A1B2C1D2(2)椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_(3)已知椭圆1(ab0)，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点P使得PF1PF2，则椭圆的离心率的取值范围为_(1)A1(3)(1)如图，设F(c,0)，由OAF是等边三角形，得A，因为点A在椭圆上，所以有1，在椭圆中有a2b2c2，联立，得c2(42)a2，即c(1)a，则其离心率e1(2)法一：如图，
13、DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|c，|NF1|c，由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，e1法二：注意到焦点三角形NF1F2中，NF1F230，NF2F160，F1NF290，则由离心率的三角形式，可得e1(3)由PF1PF2，知F1PF2是直角三角形，所以|OP|cb，即c2a2c2，所以ac，因为e，0e1，所以e11已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短
14、轴长、离心率e、焦距3椭圆的范围给出了椭圆上的点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些存在性、判断性问题中有着重要的应用，也可用于求最值、求轨迹等问题时的检验等4椭圆的对称性(椭圆既是轴对称图形，也是中心对称图形)是椭圆的几何性质中较简单而又实用的性质，在解题时恰当使用对称性能使问题迅速得解1已知椭圆1(ab0)与椭圆1有相同的长轴，椭圆1(ab0)的短轴长与1的短轴长相等，则()Aa215，b216Ba29，b225Ca225，b29或a29，b225Da225，b29D由题意得，椭圆1的焦点在x轴上，且a225，b292若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A BC DB由题意得：2bac，4b2(ac)2，又a2b2c2，4(a2c2)a22acc2，即3a22ac5c20，3250，即5230，e3若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_由题意知0m2，且e211所以m4已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，其离心率为，长轴长为8求椭圆的标准方程解由题意知2a8，a4又离心率e，c2，b2a2c216412，椭圆的标准方程为1