1、考 点 串 串 讲1等比数列的定义及判定方法(1)等比数列的定义一般地，一个数列an，若从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(用 q 表示)，就称这个数列为等比数列常数 q 就叫做这个等比数列的公比，即an1an q(nN)对等比数列定义的理解可以类比等差数列来进行和等差数列一样，学习等比数列的定义也要强调：“从第二项起”，这是为了保证每一项的前一项确实存在；“同一个常数”这是等比数列的基本特征如数列3,1，12，14，18，从第三项起满足an1an 12，但a2a11312.所以这个数列就不是等比数列an1an q(nN)这一条不容破坏！同样要注意 qan1an(nN)从等比数
2、列的定义式中可知，等比数列中无零项，因此，等比数列的公比 q0，由此可知，式子an1an q 与 an1qan 并不等价！和等差数列一样确定等比数列的条件也只要两个：某一项和公比(2)等比数列的判定方法定义法：an1an q(q 是不为 0 的常数，nN*)an是等比数列通项公式法：ancqn(c，q 均是不为 0 的常数，nN*)an是等比数列中项公式法：a2n1anan2(anan1an20，nN*)an是等比数列前 n 项和公式法：Sn a1q1qn a1q1kqnk，(k a1q1是不为零的常数，且 q0，q1)an是等比数列2等比数列的通项公式已知等比数列an的首项为 a1，公比为
3、q，则等比数列an的通项公式为ana1qn1(nN)若已知等比数列an的第 m 项为 am，公比为 q，则等比数列an的通项公式为anamqnm(n，mN)通项公式的意义不仅可以求通项，而且还可以利用通项公式求首项和公比；利用通项公式求指定项 am和公比 q.3等比数列的前 n 项和公式及其推导等比数列an的首项为 a1，公比为 q，末项为 an.则前 n 项和为Snna1 q1a11qn1qa1anq1q q1该公式的推导方法叫做“错位相减法”，它是一种很重要的求和方法在后面的讲解中将会看到它的重要作用，要明确两点：第一，为什么要错位？即错位的目的是什么？我们说错位是为了在新的式子中产生一系
4、列的与原式相同的项，便于两式做减法，消去一些无关项，而保留我们所需要的项；第二，怎样错位？就是根据等比数列每一项(n2)都比它前面一项多一个因子 q 的这一特点，在等式两边同时乘以这个因子，这样使得和式中所有的项都整体往后错了一位，这样，就形成了与原式有一系列相同项的新的和式这一方法，有时称之为乘公比错位相减法注意 在等比数列的前 n 项和的两个公式中共有五个量 a1，n，q，Sn，an，如果已知其中的任意三个便可求出另外两个，即所谓的“知三求二”在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果公比 q 不确定，切不可贸然使用，而应当分 q1 与 q1 两种情况讨论4用函数的观点审视等比数列等比数列的
5、通项公式 ana1qn1，可以化为ancqn(其中 ca1q 为常数)当 q0 且 q1 时，图象为分布在指数曲线 ycqx 上横坐标为正整数的一些孤立点如图 1 所示当 q1 时，等比数列an为常数列图象为分布在平行于 x 轴的直线 ya1 上横坐标为正整数的一些孤立点，如图 2 所示当 q0 时，等比数列an为摆动数列5等比中项的定义和性质(1)定义：三个数 a，b，c 成等比数列，那么 b 叫做 a 与 c 的等比中项，且 b2ac 或 b ac.(2)性质：b2ac 是 a，b，c 成等比数列的必要不充分条件反之则不然，例如当 a 或 c 为 0 时，b0 这个式子也成立但等比数列中是
6、无零项的，所以它们不能组成等比数列两个同号的数 a 与 c 才具有等比中项，且它们的等比中项有两个：ac或 ac.这是因为 a、c 同号，保证了 ac0，若 a 与 c 异号，则 ac0，则 b2ac0，b 不存在特别地，当 a0，b0 时，G ab叫做 a 与 b 的几何平均数(3)三个数成等比数列的一般设法是 aq，a，aq.6等比数列的性质(1)若首项 a10，公比 q1，或首项 a10，公比 0q1，则数列为递增数列；若首项 a10，公比 0q1，或首项 a10，公比 q1，则数列为递减数列；公比 q1，数列为常数列；公比 q0，数列为摆动数列公比不等于零是一大特点(2)有穷等比数列中
7、，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即a1ana2an1a3an2a2中(3)若 m，n，p，kN*，且 mnpk，则 amanapak，其中 am，an，ap，ak 是数列中的项特别地，当 mn2p 时，有 amana2p.类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标和相等，也应要求等式两边作积的项数应是一样多的(5)若an，bn为等比数列，则an(0)，|an|，1an，a2n，manbn(m0)仍为等比数列(6)若等比数列an，bn的公比分别是 q1、q2，则k1ank2bn是公比为 q1q2 的等比数列(7)若数列an
8、是公比为 q 的等比数列，则SmnSnqnSm若等比数列项数为偶数，则S偶S奇qSn，S2nSn，S3nS2n，成等比数列.典 例 对 对 碰题型一 等比数列的判定例 1 设数列an中 a11，Sn14an2.(1)设 bnan12an，求证：bn是等比数列；(2)求数列bn的前 n 项和 Tn.解析(1)证明：Sn14an2，Sn24an12，Sn2Sn1an24an14an，an22an12(an12an)，bn12bn，bn为等比数列(2)Sn14an2，a23a125，b1a22a13，bn32n1，Tn312n12 32n3.点评 定义证明等比数列是最基本的方法本题首先由 Sn 与
9、an的关系转化为 an的递推关系，再构造 bn的形式本题若是先求 an，则较麻烦.变式迁移 1数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2n Sn(n1,2,3，)，证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.证明(1)an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，整理得 nSn12(n1)Sn.Sn1n12Snn.故数列Snn 是等比数列(2)由(1)知Sn1n14Sn1n1(n2)，于是 Sn14(n1)Sn1n14an(n2)又 a23S13，故 S2a1a244a1.因此对于任意正整数 n1，都有 Sn14an.题型二 等比数列的性质例
10、2 在等比数列an中，若 a22，a6162，求 a10.解析 解法一：a6a2q4，其中 a22，a6162，q481，a10a6q41628113122.解法二：2、6、10 三个数成等差数列，a2、a6、a10 成等比数列a26a2a10.a1016221213122.变式迁移 2设an是由正数组成的等比数列，公比 q2，且 a1a2a3a30230，则 a3a6a9a30 等于_答案 220解析 设 a3a6a9a30 x，由等比数列性质a2a5a8a29 xq10，a1a4a7a28 xq20，x xq10 xq20230，得 x220.题型三 等比数列的前 n 项和例 3 等比数列
11、an中，a312，前 3 项和 S39，求公比 q.分析 分析 1：列方程(组)，可解得 q.分析 2：注意到等比数列的倒序依次成等比数列，公比为原数列公比的倒数解析 解法一：由已知可得方程组 a1q212，a11q31q9.解得 q12.解法二：S3a311q311q9.q12.点评 解法二优化了解题的思维.变式迁移 3设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S3S62S9，求数列的公比 q.解析 若 q1，则有 S33a1，S66a1，S99a1，且 a10，S3S69a12S918a1，q1.又依题意 S3S62S9，可得a11q31qa11q61q2a11q91q.整理，得 q3(2
12、q6q31)0.由 q0 得 2q6q310，(2q31)(q31)0.q1，q310，2q310，q3 42.题型四 等差数列与等比数列的综合例 4 设an为等差数列，bn为等比数列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3.分别求出an及bn的前 10 项和 S10 及 T10.分析 等差数列，等比数列的基本运算问题可以化归为基本量a1、d(或 q)的关系，化多为少，通过解方程(组)来处理解析 由题设知：a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b23，得 b32b23.b30，b312，a314.由 a11，a314知an的公差为 d38.S10558.由 b11，b312知bn的公比为
13、 q 22 或 q 22.当 q 22 时，T103132(2 2)当 q 22 时，T103132(2 2).变式迁移 4已知等差数列an，a29，a521.(1)求an的通项公式；(2)令bn2an，求数列bn的前 n 项和 Sn.解析(1)设数列an的公差为 d，依题意得方程组a1d9，a14d21.解得 a15，d4.an的通项公式为 an4n1.(2)由 an4n1 得 bn24n1，所以bn是首项为 25，公比 q24 的等比数列于是得bn的前 n 项和Sn2524n12413224n115.题型五 等比数列的综合应用例 5 已知函数 f(x)(x1)2.数列an是公差为 d 的等
14、差数列，bn是公比为 q(qR 或 q1)的等比数列设 a1f(d1)，a3f(d1)，b1f(q1)，b3f(q1)(1)求数列an和bn的通项公式；(2)设数列cn的前 n 项和为 Sn，如果对一切正整数 n，都有c1b1c2b2cnbnan1 成立，求 cn.解析(1)由题意 2da3a1f(d1)f(d1)(d11)2(d11)2.d2，a1(d2)20.an2n2.同理 b3b1q2q22q2，q2.b1q24.bn(2)n1.(2)an1c1b1c2b2cnbn，(n1)anc1b1c2b2cn1bn1，(n2)an1ancnbn.又 2bn2(2)n1.(n2)当 n1 时有c1
15、b1a2.c1a2b12(2)28，适合式故 cn2(2)n1，nN*.变式迁移 5已知定义域为 R 的函数 f(x)(x1)2，g(x)4(x1)，数列an满足 a12，(an1an)g(an)f(an)0(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设 bn3f(an)g(an1)，求数列bn的最值及相应的 n 值解析(1)f(an)(an1)2，g(an)4(an1)，(an1an)4(an1)(an1)20，(an1)(4an13an1)0.a12，an1，4an13an10，an1134(an1)，又 a111，数列an1是首项为 1，公比为34的等比数列an1(34)n1，an(34
16、)n11.(2)bn3(an1)24(an 11)3(34)n 124(34)n3(34)n12(34)n1令 bny，u(34)n1，则 y3(u12)2143(u12)234.nN*，u(34)n1 递减，其值分别为 1，34，916，2764，经比较知 916距12最近，当 n3 时，bn有最小值189256；当 n1 时，bn有最大值 0.【教师备课资源】题型六 与通项公式有关的计算问题例 6 一个等比数列第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，求它的第1 项与第 2 项分析 已知等比数列的两项，求其他项，由等比数列的通项公式可得 a1、q，就可以由通项公式求这个数列的任意项解析
17、 设这个等比数列的第 1 项是 a1，公比是 q，那么a1q212，a1q318，解、所组成的方程组，得 q32，a1163，因此，a1q163 328.这个数列的第一项为163，第二项为 8.变式迁移 6等比数列的前三项和为 168，a2a542，求 a5、a7 的等比中项解析 设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，由已知a1a1qa1q2168，a1qa1q442，a11qq2168，a1q1q342.1q3(1q)(1qq2)，上述两式相除得 q(1q)14q12.a1421212496.若 G 是 a5、a7 的等比中项，则应有 G2a5a7a1q4a1q6a21q10962(12)
18、109.a5、a7 的等比中项是3.题型七 与前 n 项和性质有关的问题例 7 等比数列an中，S27，S691，则 S4 可为()A28 B32C35 D49解析 an为等比数列，S2、S4S2、S6S4 也为等比数列，即 7、S47、91S4成等比数列，(S47)27(91S4)解得 S428 或21.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2.S428.答案 A变式迁移 7等比数列an共 2n 项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大 80，求公比 q.解析 根据题意得S奇S偶240，S奇S偶80.S 奇80，S 偶160.qS偶S奇1608
19、0 2.题型八 等比数列在递推公式中的应用例 8 已知数列an中，a11 且 an12an1(nN*)，求 an.解析 解法一：an12an1，an112(an1)，设 bnan1，则数列bn是公比为 2 的等比数列，因此，bnb1qn1，an1(a11)qn12n，an2n1.解法二：an12an1(nN*)，an2an11，2an122an22，22an223an322，2n2a22n1a12n2.将上述各式相加得an2n1a1(12222n2)2n1.解法三：an12an1(nN*)，an22an11，相减，得 an2an12(an1an)上式表明an1an是以 a2a12 为首项，以
20、2 为公比的等比数列，于是 an1an2n.把 an12an1 代入上式，得 an2n1(nN*)解法四：递推法：an12an1an2an112(an21)122an22122(2an31)2123an322212n1a12n22n322212n12n222211 12n122n1.点评 把一个数列问题转化为基本数列求解，它的好处是利于应用基本数列的公式及其研究方法本题的解法一和解法三，通过变换得 bnan1，或 bnan1an，将原数列转化为等比数列求解；本题解法二，应用了叠加法原理，解法四应用递推法.变式迁移 8设二次方程 anx2an1x10(nN*)有两根，且满足 6263(1)试用
21、an 表示 an1；(2)求证：an23是等比数列；(3)当 a176时，求数列an的通项公式解析(1)根据根与系数的关系，有关系式 an1an，1an.代入题设条件 6()23，得6an1an 2an3，an112an13.(2)证明：an112an13，an12312(an23)故数列an23是公比为12的等比数列(3)当 a176时，a12312.an23(a123)(12)n1(12)n.an23 12n，nN*.题型九 等差数列与等比数列的公共项问题例 9 设 An 为数列an的前 n 项和，An32(an1)(nN*)，数列bn的通项公式为 bn4n3(nN*)(1)求数列an的通
22、项公式；(2)若 da1，a2，a3，anb1，b2，b3，bn，则称 d为数列an与bn的公共项，将这些公共项按它们在原数列中的顺序排成一个新数列dn，求dn的通项公式解析(1)a1A132(a11)，a13.An32(an1)，nN*，An132(an11)两式相减得 an132(an1an)an13an，nN*，由 a13，知 an0，an1an 3.由定义知an是首项和公比都为 3 的等比数列an3n.(2)设 ak3k 是数列bn中的第 m 项，即 3k4m3.问题转化为求 k、m 的不定方程的问题由 3k4m3 可知 3k3 须被 4 整除而 3k3(41)k34C0k4k1C1k
23、4k2(1)Ck1k(1)k1(1)k3，当 k 为奇数时右式能被 4 整除，dna2n132n1.变式迁移 9有四个数，前三数成等差数列，后三数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是 16，第二个数与第三个数的和是 12，求此四个数解析 设此四个数为 ad，a，ad，ad2a，则adad2a16 aad12 由此解得a14，d14，或a29，d26.从而所求的四个数为 0,4,8,16；或 15,9,3,1.方 法 路 路 通1学习等比数列的基本公式，要从公式的顺向、逆向、变形多角度地掌握2学习等比数列要对照等差数列来进行，切实把握他们之间的区别，要深刻理解等比数列的定义及其等价形式、熟练运
24、用通项公式和求和公式，注意用方程的思想、消元的思想及整体消元思想分析问题与解决问题3比较法是理解和掌握两类数列的定义、通项公式及中项公式、前几项和公式的重要方法判定一个数列是等比数列，不能只验证数列的前 n 项，需根据定义证明an1an 是常数，也可证明其等价形式：a2nan1an1 特别地，在判定三个实数 a，b，c 成等比数列时，常用acb2.4两类数列的通项公式与前 n 项和公式联系着五个基本量，“知三求二”是一类最基本的运算题方程观点是解决这类问题的基本数学思想和方法，在已知三数成等比数列时，可设三个数依次为 a，aq，aq3，也可设为aq，a，aq 使许多实际问题能够得到迅速、准确的
25、解决5各项均为正数的等比数列，当公比大于 1 时，最大项在末位；当公比在 0 与 1 之间时，最大项为首项6用等比数列前 n 项和公式时，一定要注意公比 q 是否为 1，从而正确选用公式.正 误 题 题 辨例an是首项为 1 的正项数列，且(n1)a2n1na2nan1an0(n1,2,3)，则它的通项公式是 an_.错解(n1)a2n1na2nan1an0(an1an)n(an1an)an10即(an1an)(n1)an1nan0an0，an1an0(n1)an1nanan1an nn1an是以 1 为首项，nn1为公比的等比数列an1(nn1)n1(nn1)n1.点击 以上解答错在由“an1an nn1”认为它是等比数列，其实，由an1an q 得an为等比数列的条件不仅仅是一种形式，而是这里的 q 必须是一非零常数，而 nn1显然不是常数，所以解答错误正解(n1)a2n1na2nan1an0(an1an)n(an1an)an10即(an1an)(n1)an1nan0an0，an1an0an1an nn1，即 an1 nn1anann1n an1n1n n2n1an2n1n n2n1a3n1n n2n123a2n1n n2n123121n数列的通项公式为 an1n.答案 1nTHANKS
