1、第7讲立体几何中的向量方法基础知识整合1直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量直线l上的向量e或与e共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作n，此时向量n叫做平面的法向量显然一个平面的法向量也有无数个，且它们是共线向量(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为u，v，则lmabakb，kR；lmabab0；lauau0；lauaku，kR；uvukv，kR；uvuv0.2空间向量与空间角的关系(1)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量分
2、别为a，b，其夹角为，则cos|cos|(其中为异面直线a，b所成的角，范围是(0，90)(2)直线与平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin|cos|，的取值范围是0，90(3)求二面角的大小如图，AB，CD是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足coscosn1，n2或cosn1，n2，取值范围是0，1803求空间的距离(1)点到平面的距离如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则点B到平面的距离d.(2)线
3、面距、面面距均可转化为点面距进行求解直线的方向向量的确定：l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量 1平面的一个法向量为(1,2,0)，平面的一个法向量为(2，1,0)，则平面和平面的位置关系是()A平行 B相交但不垂直C垂直 D重合答案C解析由(1,2,0)(2，1,0)122(1)000，知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直2已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A. B.C. D.答案D解析(1,1,0)，(1,0,1)，设平面ABC的法向量n(x，y，z)，令x1，则y1，z1，n(1,
4、1,1)单位法向量为.3(2020成都摸底考试)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 DMN在平面BB1C1C内答案B解析()()，共面又MN平面BB1C1C，MN平面BB1C1C.4(2019黑龙江大庆模拟)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE与FD1所成角的余弦值等于()A. B. C. D.答案B解析设正方体的棱长为2，建立如右图所示的空间直角坐标系，则O(1,1,0)，E(
5、0,2,1)，F(1,0,0)，D1(0,0,2)，(1,0,2)，(1,1,1)cos，.故选B.5如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA平面ABCD，E，F分别是AB，PC的中点若PDA45，则EF与平面ABCD所成的角的大小是()A90 B60 C45 D30答案C解析设ADa，ABb，因为PDA45，PA平面ABCD，所以PAAD，PAADa.以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，a)，E，F，所以.易知(0,0，a)是平面ABCD的一个法向量设EF与平面ABCD所成的角为，则sin|cos，|.所
6、以45.6(2019金华模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4 B2 C3 D1答案B解析由已知平面OAB的一条斜线的方向向量(1，3,2)，所以点P到平面OAB的距离d|cos，n|2.故选B.核心考向突破考向一利用空间向量证明平行、垂直 例1(2019南京模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，ABCBCD90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD所成的角为30.求证：(1)CM平面PAD；(2)平面PAB平面PAD.证明以点C
7、为坐标原点，分别以CB，CD，CP所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.PC平面ABCD，PBC为PB与平面ABCD所成的角PBC30.PC2，BC2，PB4.D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0,0,2)，M，(0，1,2)，(2，3,0)，.(1)设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由得令y2，得n(，2,1)n2010，n.又CM平面PAD，CM平面PAD.(2)如图，取AP的中点E，连接BE，则E(，2,1)，(，2,1)PBAB，BEPA.又(，2,1)(2，3,0)0，BEDA.又PADAA，BE平面PAD.又BE平面PA
8、B，平面PAB平面PAD.1用向量法证平行问题的类型及常用方法线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量表示面面平行证明两平面的法向量平行(即为共线向量)转化为线面平行、线线平行问题2利用向量法证垂直问题的类型及常用方法线线垂直问题证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直问题直线的方向向量与平面的法向量共线，或利用线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直面面垂直问题两个平面的法向量垂直，或利用面面垂直的判定定理转化为证明线面垂直即时训练1.
9、(2019广东深圳模拟)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点求证：(1)MN平面A1B1C1；(2)平面MBC1平面BB1C1C.证明由题意知AA1，AB，AC两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系不妨设正方形AA1C1C的边长为2，则A(0,0,0)，A1(2,0,0)，B(0,2,0)，B1(2,2,0)，C(0,0,2)，C1(2,0,2)，M(1,0,0)，N(1,1,1)(1)因为几何体是直三棱柱，所以侧棱AA1底面A1B1C1.因为(2,0,0)，(0,1,1)，所以0，即
10、.因为MN平面A1B1C1，故MN平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)因为(1,2,0)，(1,0,2)，所以即令x12，则平面MBC1的一个法向量为n1(2,1，1)同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2(0,1,1)因为n1n22011(1)10，所以n1n2，所以平面MBC1平面BB1C1C.精准设计考向，多角度探究突破考向二利用空间向量求空间角角度1求异面直线所成的角例2(2020安徽合肥笫一次质检)如图，在边长为1的菱形ABCD中，DAB60，沿BD将ABD翻折，得到三棱锥ABCD，则当三棱锥AB
11、CD的体积最大时，异面直线AD与BC所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案D解析当三棱锥ABCD的体积最大时，平面ADB平面BDC，在边长为1的菱形ABCD中，DAB60，BD1，取DB的中点O，连接AO，OC，则AO平面BDC，OC平面ADB，以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则D，A，B，C，设异面直线AD与BC所成的角为，则cos，即异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故选D. (1)求异面直线所成角的思路选好基底或建立空间直角坐标系；求出两直线的方向向量v1，v2；代入公式|cosv1，v2|求解 (2)两异面直线所成角的关注点两
12、异面直线所成角的范围是(0，90，两向量的夹角的范围是0，180，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，该角就是异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角即时训练2.(2019广西八市4月联合调研)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC3，AB3，AA14，则异面直线A1C与BC1所成角的余弦值为_答案解析因为AC3，BC3，AB3，所以C为直角，又CC1平面ABC，则CA，CB，CC1两两垂直，以C点为坐标原点，以CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，C1(0,0,4)，A1(3,0,
13、4)，B(0,3,0)，所以(3,0，4)，(0，3,4)，设异面直线A1C与BC1所成的角为，则cos.角度2求直线与平面所成的角例3(2019浙江高考)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解解法一：(1)证明：如图1，连接A1E.因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又因为平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC，则A1EBC.又因为A1FAB，AB
14、C90，故BCA1F.又因为A1EA1FA1，所以BC平面A1EF.因为EF平面A1EF，所以EFBC.(2)如图1，取BC的中点G，连接EG，GF，则四边形EGFA1是平行四边形由于A1E平面ABC，故A1EEG，所以平行四边形EGFA1为矩形由(1)，得BC平面EGFA1，所以平面A1BC平面EGFA1，所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上连接A1G交EF于点O，则EOG是直线EF与平面A1BC所成的角(或其补角)不妨设AC4，则在RtA1EG中，A1E2，EG.由于O为A1G的中点，故EOOG，所以cosEOG.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.解法二：(1)证明：连
15、接A1E.因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC.又因为平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以A1E平面ABC.如图2，以点E为坐标原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4，则E(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0，得EFBC.(2)由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)由得取n(1, ，1)，设直线EF与平面A1BC所成的角为，故sin|cos，n|，所以co
16、s.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是.利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角) (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线与平面所成的角 提醒：在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则在垂线上取两个点可构成一个法向量即时训练3(2020郑州一中测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED平面ABCD.ABD30，AB2AD.(1)求证：平面BDEF平面ADE；(2)若EDBD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值解(1)证
17、明：在ABD中，ABD30，AB2AD，由余弦定理，得BDAD，从而BD2AD2AB2，故BDAD，所以ABD为直角三角形且ADB90.因为DE平面ABCD，BD平面ABCD，所以DEBD.又因为ADDED.所以BD平面ADE.因为BD平面BDEF，所以平面BDEF平面ADE.(2)由(1)可得，在RtABD中，BAD60，BDAD，又由EDBD，设AD1，则BDED.因为DE平面ABCD，BDAD，所以以点D为坐标原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则A(1,0,0)，C(1，0)，E(0,0，)，F(0，)，所以(1,0，).(2，0)设平面AE
18、C的法向量为n(x，y，z)，则即令z1，得n(，2,1)为平面AEC的一个法向量因为(1，)，所以cosn，所以直线AF与平面AEC所成角的正弦值为.角度3求二面角例4(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解(1)证明：如图，连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C.又因为N为A1D的中点，所以NDA1D.由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行
19、四边形，所以MNED.因为MN平面C1DE，ED平面C1DE，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA，以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，D的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.利用向量法确定二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分别求出二面
20、角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 (2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量夹角的大小就是二面角的大小即时训练4.(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解(1)证明：由已知，得B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又因为BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(
21、2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1，1)，CC1(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x1，y1，z1)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x2，y2，z2)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m.所以二面角BECC1的正弦值为.考向三利用空间向量求空间距离(选学)例5
22、如图，三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，ACBCAA1，D是棱AA1的中点，DC1BD.(1)证明：DC1BC；(2)设AA12，A1B1的中点为P，求点P到平面BDC1的距离解(1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形由于D为AA1的中点，故DCDC1.又由ACAA1可得DCDC2CC，所以DC1DC.又因为DC1BD，DCBDD，所以DC1平面BCD.因为BC平面BCD，所以DC1BC.(2)由(1)知BCDC1，且BCCC1，DC1CC1C1，则BC平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两垂直以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，C的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向
23、，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由题意知B(0,1,0)，D(1,0,1)，C1(0,0,2)，B1(0，1,2)，P，则(1，1，1)，(1，0,1)，.设m(x，y，z)是平面BDC1的法向量，则即可取m(1,2,1)设点P到平面BDC1的距离为d，则d.求平面外一点P到平面的距离的步骤(1)求平面的法向量n. (2)在平面内取一点A，确定向量的坐标 (3)代入公式d求解即时训练5.如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD60，四边形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，DE2，M为线段BF的中点(1)求M到平面DEC的距离及三棱锥MCDE的体积；(2
24、)求证：DM平面ACE.解(1)设ACBDO，以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则C(0，0)，D(1,0,0)，E(1,0,2)，M(1,0,1)，(0,0,2)，(1，0)，(2,0,1)，0，DEDC，SCDEDEDC222，设平面DEC的法向量n(x，y，z)，则取x，得n(，1,0)，M到平面DEC的距离h，三棱锥MCDE的体积VSCDEh2.(2)证明：A(0，0)，(0,2，0)，(1，2)，0，220，ACDM，AEDM，ACAEA，DM平面ACE.(2019天津市重点中学高三联考)如图所示，在四棱锥PABCD中，平面P
25、AD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD.(1)求证：PD平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由解(1)证明：因为平面PAD平面ABCD，ABAD，所以AB平面PAD，所以ABPD.又因为PAPD，PAABA，所以PD平面PAB.(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PAPD，所以POAD.又因为PO平面PAD，平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD.因为CO平面ABCD，所以POCO.因为ACCD，所以COAD.如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意
26、得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，1,0)，P(0，0,1)，P(1,1，1)，P(2,0，1)，P(0，1，1)设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即令z2，则x1，y2，所以n(1，2,2)又(1,1，1)，所以cosn，所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.(3)设M是棱PA上一点，则存在0,1使得.因此点M(0,1，)，(1，)因为BM平面PCD，所以当且仅当n0时BM平面PCD，即(1，)(1，2,2)0，解得.所以在棱PA上存在点M使得BM平面PCD，此时.答题启示对于点的探究型问题，要善于根据点的位置结合向量的有关定理灵活设出未知量，尽量
27、使未知量个数最少 对点训练(2019河南开封一模)如图所示，正方形ABCD的边长为2，AE平面BCE，且AE1.(1)求证：平面ABCD平面ABE；(2)线段AD上是否存在一点F，使二面角ABFE的余弦值为？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由解(1)证明：AE平面BCE，BC平面BCE，AEBC，又BCAB，AEABA，BC平面ABE，又BC平面ABCD，平面ABCD平面ABE.(2)如图所示，建立空间直角坐标系Axyz，AE平面BCE，BE平面BCE，AEBE，又AE1，AB2，BE.假设线段AD上存在一点F满足题意，E，B(0,2,0)，F(0,0，h)(0h2)，由已知得平面ABF的一个法向量为m(1,0,0)，(0，2，h)，设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，由得取y1，得n，cosm，n，h1.存在一点F，且点F为线段AD的中点时，二面角ABFE的余弦值为.
