1、教 材 面 面 观1正弦定理：asinA_2R，其中 R 是_2余弦定理：a2b2c22bccosA，b2_，cosA_.答案 bsinB csinC 三角形外接圆半径答案 a2c22accosB b2c2a22bc3三角形常用面积公式：(1)S12aha(ha 表示 a 边上的高)(2)S12absinC_12bcsinAabc4R.(3)S12r(abc)(r 为内切圆半径)答案 12acsinB考 点 串 串 讲1解直三角形在 RtABC 中，C90，(1)三边满足勾股定理(2)两锐角互余，即AB90(3)边角之间有如下关系sin的对边斜边 cos的邻边斜边tan的对边的邻边(其中 为某
2、个锐角)2正弦定理(1)正弦定理若 a、b、c 分别是ABC 的顶点 A、B、C 所对的边长，则 asinA bsinB csinC2R，其中 R 是ABC 外接圆的半径正弦定理不仅揭示了三角形中边与角之间的正弦关系，而且还揭示了它们与三角形的外接圆半径之间的关系，其变形形式有：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinCsinA a2R，sinB b2R，sinC c2RasinB bsinA，csinB bsinC，csinA asinC，abcsinABC以上这些关系式，可根据问题的条件和结论加以选择应用(2)利用正弦定理解斜三角形利用正弦定理可以解决如下有关三角形的问题：已知三角形的
3、两角和任一边，求三角形的其他边和角已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边和角对于已知两边和其中一边的对角，要注意解的讨论，因为这时三角形是不能唯一确定的，解这类三角形问题将出现无解、一解和两解的情况图 1 和图 2 就表示了在ABC 中，已知 a，b 和 A 时解三角形的各种情况1当 A 为锐角时，见图 1.2当 A 为直角或钝角时，见图 2.(3)几点说明：正弦定理的本质揭示了三角形的边和所求角的关系，适用范围是任何三角形若题设中出现的边或角的正弦是齐次的，则一般可以利用正弦定理或将边转化为角的三角函数或将角的三角函数转化为边3余弦定理(1)余弦定理：若 a、b、c 分别是ABC
4、 的顶点 A、B、C 所对边长，则a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表示形式是cosAb2c2a22bc，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab.余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例，A为钝角a2b2c2，A 为直角a2b2c2，A 为锐角a2b2c2.(2)利用余弦定理可以解决如下两类问题：已知三边，求各角已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角这两类问题在有解时都只有一个解(3)提示：余弦定理的每一个等式中均含有四个不同的量，它们分别是三角形的三边
5、和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来(4)常用的三角形面积公式S12aha12bhb12chc(ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高)S12absinC12bcsinA12acsinBSabc4R(R 为外接圆半径)S12 ppapbpc(其中 p12(abc)S12(abc)r(r 为内切圆半径)4解三角形常用的公式和结论(1)关于三角形边、角的主要关系式三角形内角和等于 180.三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边三角形中大边对大角，小边对小角正弦定理 asinA bsinB csinC2R.勾股定理 c2a2b2.(其中 c 为直角三角形
6、的斜边)余弦定理 c2a2b22abcosC；cosCa2b2c22ab.易知勾股定理是余弦定理的特殊情况在ABC 中有：abABsinAsinBcosAcosB.(2)三角形的面积公式S12ah(其中 h 是 a 边上的高)S12absinC.S ssasbscsr，s 为周长的一半，r 为内切圆半径Sabc4R，其中 R 为外接圆半径(3)由 ABC，易推出sinAsin(BC)，cosAcos(BC)，tanAtan(BC)sinA2cosBC2，cosA2sinBC2.(4)特殊三角形的性质：如等腰三角形、正三角形、锐角三角形等(5)三角形的重心、内心、外心、垂心的性质以及中线、高、角
7、分线的性质等5解三角形实际应用(1)应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：根据题意作出示意图；确定实际问题所涉及的三角形，并理清该三角形的已知元与未知元；选用正、余弦定理进行求解，有时需综合运用这两个定理，并注意运算的正确性；给出答案(2)解斜三角形的实际问题中几个测量中的角度：坡度：指坡面角的正切值，坡度 ihdtan.俯角：视线在水平线以下时，视线与水平线在铅垂面内所成的角为俯角，如图 为俯角仰角：视线在水平线以上时，视线与水平面在铅垂面内所成的角为仰角，如图 为仰角方位角：由指北方向作为 0，顺时针方向转到目标方向的水平角方位角的范围在 0到 360之间.典 例 对 对 碰题型一 利用
8、正余弦定理进行边角转化例 1 在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且cosBcosCb2ac.(1)求角 B 的大小；(2)若 b 13，ac4，求ABC 的面积解析(1)解法一：由正弦定理 asinA bsinB csinC2R得 a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.将上式代入已知cosBcosCb2ac，得cosBcosCsinB2sinAsinC.即 2sinAcosBsinCcosBcosCsinB0.2sinAcosBsin(BC)0.ABC，sin(BC)sinA.2sinAcosBsinA0.sinA0，cosB12.B 为三角形的内角，B23.解
9、法二：由余弦定理得cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab，将上式代入cosBcosCb2ac，得a2c2b22ac2aba2b2c2b2ac.整理得 a2c2b2ac.cosBa2c2b22acac2ac 12.B 为三角形的内角，B23.(2)将 b 13，ac4，B23 代入余弦定理，得 b2a2c22accosB，得 b2(ac)22ac2accosB，13162ac(112)ac3.SABC12acsinB34 3.变式迁移 1ABC 的三内角 A、B、C 的对边边长分别为 a、b、c.若 a 52b，A2B，则 cosB()A.53 B.54C.55D.56答案 B解
10、析 由题意得ab 52 sinAsinBsin2BsinB 2cosB，cosB 54，选 B.题型二 三角形的面积例 2 在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 其中 c边最长，并且 sin2Asin2B1，(1)求证：ABC 为直角三角形；(2)当 c1 时，求ABC 面积的最大值解析(1)证明：c 边为最长边，A、B 均为锐角由 sin2Asin2B1 得 sin2Acos2B.sinA、cosB 均为正数，sinAcosB.sinAsin(2B)，又 A，2B(0，2)，A2B.AB2，即 C2.所以三角形 ABC 为直角三角形(2)三角形 ABC 的面积的最大值 S1
11、2ab142ab14(a2b2)，由于 a2b2c21，S14，当且仅当 ab 22 时，上式取等号，所以ABC 面积的最大值为14.变式迁移 2在ABC 中，BCa，ACb，a、b 是方程 x22 3x20的两个根，且 2cos(AB)1.求：(1)角 C 的度数；(2)AB 的长；(3)ABC 的面积解析(1)cosCcos(AB)cos(AB)12，C120(2)a、b 是方程 x22 3x20 的两个根，ab2 3，ab2.AB2AC2BC22ACBCcosCb2a22abcos120(ab)2ab(2 3)2210，AB 10.(3)SABC12absinC12absin120 32
12、.题型三 判断三角形的形状例 3 在ABC 中，若 b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状分析 判断三角形形状问题，可由正余弦定理，将角的问题统一到边处理，或由边的问题转化到角处理，由等式两边均为关于边的二次式，可先将边化为角，再利用角的变换来判断解析 asinA bsinB csinC2R，b24R2sin2B.c24R2sin2C,2bc8R2sinBsinC.4R2sin2Bsin2C4R2sin2Bsin2C8R2sinBsinCcosBcosC.即 sinBsinCcosBcosC.cos(BC)0，BC2，A2.ABC 是直角三角形点评 判断三角形的
13、思路有两条化边和化角，工具是正余弦定理和三角形中的边角关系在本例中若转化为边，等式左边产生 R2，而等式右边没有，处理难度较大，所以简单易行的方法就是转化为角.变式迁移 3(1)在ABC 中，已知(abc)(bca)3bc，且 sinA2sinBcosC，试确定ABC 的形状(2)在ABC 中，若 tanABa2b2，试判断ABC 的形状解析(1)由于(abc)(bca)3bc，所以 a2b2c2bc，而 a2b2c22bccosA.2cosA1，即 cosA12.A60.sinAsin(BC)sinBcosCsinCcosB，而由已知 sinA2sinBcosC，sinBcosCcosBsi
14、nC，即 sin(BC)0，BC.BC120，BC60.ABC 是等边三角形(2)由同角三角函数关系及正弦定理可推得：sinAcosBcosAsinBsin2Asin2B.A、B 为三角形的内角sinA0，sinB0，cosBcosAsinAsinB，sin2Asin2B，2A2B，或 2A2B.AB，或 A2B.ABC 为等腰三角形或直角三角形.题型四 解三角形的实际应用例 4 如图，海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30，航行 30 海里后，在 c 处测得小岛 A 在船的南偏东 45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁
15、的危险？分析 船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于 A 到直线BC 的距离与 38 海里的大小于是，只要先算出 AC(或 AB)，再算了 A 到 BC 所在直线的距离，将它与 38 海里比较即得问题的解解析 在ABC 中，BC30，B30，ACB18045135，A15.由正弦定理知：BCsinA ACsinB.30sin15 ACsin30.AC30sin30sin15 60cos1515(6 2)于是 A 到 BC 所在直线的距离为：ACsin4515(31)40.98(海里)它大于 38 海里，所以继续向南航行无触礁的危险.变式迁移 4甲船在 A 点发现乙船在北偏东 60的 B 点处，
16、测得乙船以每小时 a 海里的速度向正北行驶，已知甲船速度是每小时 3a 海里，问甲船如何航行才能最快地与乙船相遇解析 如图，设两船最快在 C 点相遇，在ABC 中，B120，AB 为定值，AC、BC 分别是甲船与乙船在相同时间里的行程，由已知条件有 ACBC 3aa 3，由正弦定理，得sinABCACsinB 13sin12012.又 0A60，A30.而甲的航向是 60A603030.故甲船以北偏东 30的方向航行，才能最快地与乙船相遇【教师备课资源】题型五 正弦定理例 5ABC 中，已知 cosA45，cosB 513，则 abc_.分析 先求出 sinA，sinB，sinC.解析 cos
17、A45，cosB 513，0A，0B，sinA35，sinB1213.sinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB35 5134512136365.abcsinABC3512136365答案 B变式迁移 5在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 c10，又知cosAcosBba43，求 a、b 及ABC 的内切圆的半径解析 由cosBcosAab，sinAsinBab，可得cosAcosBsinBsinA.变形为 sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B.又ab，2A2B，AB2.ABC 是直角三角形由a2b2102，ba43，解得 a6，b8.内
18、切圆的半径为rabc2681022.题型六 余弦定理例 6 已知在ABC 中，A45，AB 6，BC2，求其他边和角分析 本题可利用正弦定理先求出角 C，再求出角 B 及边 AC.也可利用余弦定理先求出边 AC，再求同角 C 及角 B.解析 解法一(利用正弦定理)：根据正弦定理，有 sinC 62 sin45 32，C60或 C120.当 C60时，B75，AC BCsinAsinB 31，当 C120时，B15，AC BCsinAsinB 31.AC 31，B75，C60；或 AC 31，B15，C120.解法二(利用余弦定理)：设 ACb，由余弦定理可得：b2(6)22 6bcos4522
19、，b22 3b20.b 31；又(6)2b22222bcosC，解得 cosC12.b 31，C60，B75，或b 31，C120，B15.变式迁移 6已知O 内 2弧度的圆心角所对的弦长是 sin 2，则该角所对的弧长是_答案 2cos 22解析 设圆的半径为 R，则(sin 2)2R2R22RRcos 22R2(1cos 2)1cos2 22R2(1cos 2)，1cos 22R2，1cos 22R2，cos2 22 R2，Rcos 22，l 2cos 22.方 法 路 路 通1在处理三角形中的三角函数求值问题时，要注意角的范围与三角函数值的符号之间的联系与影响2有关三角形边角关系的问题，
20、要以统一的思想着眼，或统一为三角函数，作三角变形；或统一为边，作代数变形；或统一为面积问题3要重视三边、三内角、三线(中线、高线、角平分线)、面积、两半径(外接圆半径、内切圆半径)之间的相互依赖与相互转化关系4注重正弦定理与余弦定理的综合应用，灵活选择“边化角还是角化边”，一般规律是把边角混合的式子化成纯三角公式，利用三角函数知识去变形解决5利用正、余弦定理判断三角形的形状由已知，利用三角形中的主要知识点，特别是角的关系和边角关系，推出满足题设条件的三角形的形状判断三角形的形状的常用方法是，把已知的等式都化为角的等式或者化为边的等式6正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形式a2Rsin
21、A，b2RsinB，c2RsinC；sinA a2R，sinB b2R，sinC c2R；sinA:sinB:sinCa:b:c.可以用来判断三角形的形状，其主要功能 是 实 现 三 角 形 中 的 边 角 关系 转 化，如 常把 a，b，c 换 成2RsinA,2RsinB,2RsinC 来解题7解三角形常见的四种类型：(1)已知两角 A、B 与一边 a，由 ABC180及 asinA bsinBcsinC可求出角 C，再求出 b、c.(2)已知两边 b、c 与其夹角 A，由 a2b2c22bccosA 求出 a，再由余弦定理求出角 B、C.(3)已知三边 a、b、c，由余弦定理可求出角 A
22、、B、C.(4)已知两边 a、b 及其中一边的对角 A，由正弦定理 asinA bsinB求出另一边 b 的对角 B，由 C(AB)求出 C，再由 asinA csinC求出 c，而通过 asinA bsinB求 B 时，可能出现一解、两解或无解的情况，其判断方法，如下表：A90A90A90ab一解一解一解ab无解无解一解 absinA两解absinA一解ab无解无解absinA无解正 误 题 题 辨例在ABC 中，a100，c50 2，A45，求 C.错解 在ABC 中，a100，c50 2，A45，由正弦定理得asinA csinC，所以，sinCcsinAa50 2sin4510012故 C30或 C150.点击 在ABC 中，ca，由三角形大角对大边知 CA，即 C 是一个锐角正解 C30.THANKS
