1、考 点 串 串 讲1抽样方法(1)简单随机抽样总体：我们所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本的容量简单随机抽样()设一个总体的个数为 N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样()实现简单随机抽样，主要有两种方法：抽签法和随机数表法()用随机数表进行抽样的三个步骤：第一步是将总体中的个体编号；第二步是选定开始的数字；第三步获取样本号码(2)系统抽样当总体中的个体数较多时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取
2、 1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样系统抽样的步骤可概括为：(a)采用随机的方式将总体中的个体编号(b)确定分段间隔(c)在第 1 段用简单随机抽样确定起始的个体编号(d)按照事先确定的规则抽取样本(3)分层抽样当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其所分成的各个部分叫做层(4)三种抽样方法的比较：2.样本的频率分布(1)样本的频率分布的定义根据随机所抽样本可能性的大小，分别计算某一事件出现的频率，这些频率的分布规律(取值状况)，就叫做样本的频率分布为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常我们会将样本的容量
3、、样本中出现该事件的频数，以及计算所得的相应频率列在一张表中，叫做样本频率分布表(2)用样本的频率分布估计总体的分布从一个总体得到一个包含大量数据的样本时，我们很难从一个个数字中直接看出样本所含的信息如果把这些数据形成频数分布或频率分布，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，而对于总体分布，我们总是用样本的频率分布对它进行估计(3)频率分布直方图及特点频率分布直方图以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值，以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形，这样就得到了频率分布直方图频率分布直方图的特点从频率分布直方
4、图可以清楚地看出数据分布的总体态势，但是从直方图本身得不出原始的数据内容所以，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了(4)频率分布折线图把频率分布直方图各个长方形上边的中点用线段连接起来，就得到频率分布折线图，如图所示为了方便看图，一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连，所以横轴上的左右两端点没有实际的意义(5)总体密度曲线如果样本容量越大，所分组数越多，图中表示的频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上是越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线 yf(x)来描绘，这条光滑曲线就叫做总体
5、密度曲线并非所有的总体都存在密度曲线，如一些离散型总体总体密度曲线反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息，总体在某一区间取值的百分比就是该区间与该曲线所夹的曲边梯形的面积总体密度曲线一般的分布规律是呈中间高、两边低的“山峰”形分布总体的数据大致呈对称分布，并且大部分数据都集中在靠近中间的区间内总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律(6)茎叶图茎叶图是一种将样本数据有条理地列出来，从中观察样本分布情况的图茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数在样本数据较少时用茎叶图表示数据的效果较好但当样本数据较多时，茎叶图就显得不太方便了3几种表示频率分布方法
6、的特性(1)随机性：频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图都由样本决定，因此它们随着样本的改变而改变当抽取的样本变化时，所形成的样本频率分布一般会与前一个样本频率分布有所不同但是，它们都可以近似地看作总体的分布(2)规律性：即前面提到的随着样本容量增加，频率分布逐步趋近于总体分布(3)几种表示频率分布方法的优点与不足频率分布表 频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象分析数据分布的总体态势不太方便频率分布直方图频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式但是从直方图本身得不到原始的数据内容，也就是说，把数据表示成直方图
7、后，原有的具体数据信息就被抹掉了频率分布折线图频率分布折线图的优点是它反映了数据的变化趋势如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线频数(频率)条形图频数(频率)条形图用其高表示各值的频数(频率)，方便计算机操作，和直方图一样给人明显的直觉印象.4.平均数、标准差、方差的计算(1)平均数的计算方法定义法：n 个数据 a1，a2，an 的平均数Aa1a2ann.利用加权平均数公式a若取值为 x1，x2，xn 的频率分别为 p1，p2，pn，则其平均数为 xp1x1p2x2pnxn.b在 n 个数据中，如果 x1 出现 f1 次，x2 出现 f2 次，xk出现
8、fk 次(f1f2fkn)，则这 n 个数的平均数为：xx1f1x2f2xkfkn(2)计算标准差的算法算出样本数据的平均数；算出每个样本数据与样本平均数的差 xi x(i1,2，n)；算出(xi x)2(i1,2，n)；算出(xi x)2(i1,2，n)这 n 个数的平均数，即为样本方差 s2；算出方差的算术平方根，即为样本标准差 s.统计在对数据处理的计算量较大，要借助科学计算器或计算机，一般科学计算器上都设有计算平均数、方差、标准差的按键使用时要看说明书(不同的计算机的参数可能不同)，进入统计状态就可以求值了(3)方差的计算公式s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2；s21n
9、(x21x22x2nn x2)；s21n(x21x22x2n)x2.5总体中的数字特征(1)众数与中位数一组数据中的众数可能不止一个，众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是该数据出现的次数，如果有两个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这两个数据都是这组数据的众数一组数据的中位数是唯一的，求中位数时，必须先将这组数按从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数为奇数，那么最中间的一个数据是这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数，那么最中间两个数据的平均数是这组数据的中位数(2)平均数的意义平均数反映了一组数据的集中趋势，它是一组数据的“重心”，是度量一组数据波动大小的
10、基准用样本平均数可估计总体平均数用平均数可以比较两组数据的情况，如成绩、产量等如果知道在某一范围内的数的频率，可用组中值近似求平均值(3)众数、中位数与平均数的异同众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量平均数的大小与一组数据里每个数据均有关系，任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动众数大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题中位数与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势实际问题中求得的平均数
11、、众数和中位数应带上单位(4)三种数字特征：众数、中位数、平均数的优缺点众数体现了样本数据的最大集中点，但它显然对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征如教材中调查 100 位居民的月均用水量的问题中众数是 2.25t，它告诉我们，月均用水量为2.25t 的居民数比月均用水量为其他数值的居民数多，但它没有告诉我们多多少中位数是样本数据中中位数左右两侧数据个数的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点如上例中假设有某一用户月均用水量为 10t，那么它所占频率为 0.01，几乎不影响中位数，但显然这一极端值是不能忽视的由于平均数与每一个样
12、本的数据有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是众数、中位数都不具有的性质也正因为这个原因，与众数、中位数比较起来，平均数可以反映出更多的关于样本数据全体的信息，但平均数受数据中的极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低(5)极差、方差与标准差的区别数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述，其中极差(全距)是数据组中的最大值与最小值的差，它反映了一组数据的变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感，方差则反映一组数据围绕平均数的大小为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度，通常用标准差样本方差的算术平方根一般地，设样本数据分别是 x1，x2，x3，xn，样本的
13、平均数为 x，则方差s2x1 x2x2 x2xn x2n标准差 sx1 x2x2 x2xn x2n.方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小方差较大的波动较大，方差较小的波动较小，方差的单位是原数据的单位的平方，标准差的单位与原数据的单位相同，不要漏写单位(6)样本平均数、标准差对总体平均数、标准差的估计现实中的总体所包含的个体数往往是很多的，总体的平均数与标准差是不知道(或不可求)的如何求得总体的平均数与标准差呢？通常的做法是用样本的平均数与标准差去估计总体的平均数与标准差这与前面用样本的频率分布来近似地代替总体分布是类似的只要样本的代表性好，这样做就是
14、合理的，也是可以接受的如要考查一批灯泡的质量，我们可从中随机抽取一部分作为样本，要分析一批钢筋的强度，可以随机抽取一定数目的钢筋作为样本，只要样本的代表性强就可以用来对总体作出客观的判断但需要注意的是，同一个总体，抽取的样本可以是不同的如一个总体包含 6 个个体，现在要从中抽取 3 个作为样本，所有可能的样本会有 20 种不同的结果，若总体与样本容量较大，可能性就更多，而只要其中的个体是不完全相同的，这些相应的样本频率分布与平均数、标准差都会有差异这就会影响到我们对总体情况的估计6众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系频率分布表频率分布直方图众数众数一般用频率分布表中频率最高的
15、一小组的组中值来表示众数在样本数据的频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标中位数在频率分布表中，中位数是累计频率(样本数据小于某一数值的频率叫做该数值点的累计频率)为 0.5 时所对应的样本数据的值在样本中有50%的个体小于或等于中位数，也有 50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等平均数平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和平均数是频率分布直方图的“重心”我们知道，n 个样本数据 x1，x2，xn 的平均数 x1n(x1x2xn)，则有 n xx1x2xn，也就是把每个 xi(i1,2，n)都用 x取代后，数据总和保持不变
16、，所以平均数 x对数据有“取齐”的作用，代表了一组数据的数值平均水平在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点假设横轴是一块放置直方图的跷跷板，则支点取在平均数处时跷跷达到平衡典 例 对 对 碰题型一 简单随机抽样例 1 一个总体含有 4 个个体，从中抽取一个容量为 2 的样本，说明为什么在抽取过程中每个个体被抽取的概率都相等解析 个体 a 第 1 次被抽到与第 2 次被抽到是互斥事件从总体中抽取第 1 个个体时，其中的任意一个个体 a 被抽取的概率 P114；从总体中第 2 次抽取个体时正好抽到 a，就是个体 a 第 1 次未被抽到、第 2 次被抽到这两件事都发生；个体 a 第 1 次未被抽
17、到的概率是34，个体 a 第 1 次未被抽到，而第 2 次被抽到的概率是13；根据相互独立事件同时发生的概率公式，个体 a 第 2 次被抽到的概率为 P2341314；个体 a 在第 1 次被抽到与在第 2 次被抽到是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，在先后抽取 2 个个体的过程中，个体 a 被抽到的概率为PP1P2141412.由个体 a 的任意性，说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于12).变式迁移 1某车间工人已加工一种轴 100 件，为了了解这种轴的直径，要从中抽出 10 件在同一条件下测量(轴的直径要求为 200.5mm)，如何采用简单随机抽样方法抽取上述样本？解析
18、 考虑 100 件轴的直径的全体这一总体，将其中的 100个个体编号 1,2,3，100，利用随机数表来抽取样本的 10 个号码这里从表中的第 20 行第 1 列的数开始，往右读数，得到 10个号码如下：16,93,32,43,50,27,89,87,19,20，将上述 10 个号码的轴在同一条件下测量直径，得到如下样本数据(单位：mm)201,20.3,20.0,20.2,19.9199,19.7,20.1,20.0,19.8.题型二 系统抽样例 2 一个总体中有 100 个个体，随机编号为 0,1,2，99，依编号顺序平均分成 10 个小组，组号依次为 1,2，10.现用系统抽样方法抽取一
19、个容量为 10 的样本，规定如果在第 1 组随机抽取的号码为 m，那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 mk 的个位数字相同若 m6，则在第 7 组中抽取的号码是_解析 由题设知，若 m6，则在第 7 组中抽取的号码个位数字与 13 的个位数字相同，而第 7 组中数字编号顺次为 60,61,62,63，69，故在第 7 组中抽取的号码是 63.答案 63点评 理解三种抽样方法的意义和抽取步骤是解此类题的关键.变式迁移 2要从某学校的 10000 个学生中抽取 100 个进行体检，采用何种抽样方法较好，并写出过程解析 由于总体个数为 10000，数量较大，因而应采用系统抽样法，具体过程如下：(
20、1)采用随机的方法将总体中的个体编号 1,2,3，10000.(2)把总体分成10000100 100 段(3)在第一段中用简单随机抽样确定起始个体编号 l.(4)将 l100，l200，l9900 分别得到第 2,3，100个编号，从而获得整个样本.题型三 分层抽样例 3 一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样的方法从全厂某天的 2048 件产品中抽取一个容量为 128 的样本进行质量检查，若一车间这一天生产 256 件产品，则从该车间抽取的产品件数为_解析 根据分层抽样的意义：将总体按明显的差异分成几个部分，然后按各部分所占的比例进行抽样要求从 2048 件产品中抽出一个容量为 128 的样
21、本，样本容量与总体个数的比为，故一车间应抽出的样本个数为25616 16.答案 16点评 抽样方法的实质是抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，从而使抽取的样本具有客观性、公平性和广泛的代表性.变式迁移 3某工厂中共有职工 3000 人，其中，中、青、老职工的比例为，从所有职工中抽取一个样本容量为 400 的样本，应采取哪种抽样方法较合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？解析 因为总体由三类差异明显的个体构成，所以应采用分层抽样的方法进行抽取中、青、老年职工所占比例为，所以应抽取中年职工为 400 510200(人)；应抽取青年职工为 400 310120(人)；应抽取老年职工为 400 2
22、1080(人).题型四 频率分布直方图的应用例 4 公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少又难以满足乘客的需求为此，公交公司在某站台随机调查了 80 名乘客，他们的候车时间如下所示(单位：分)：17 14 20 12 10 24 18 17 1 22 13 19 28 5 34 725 18 28 1 15 31 12 11 10 16 12 9 10 13 19 1012 12 16 22 17 23 16 15 16 11 9 3 13 2 18 2219 9 23 28 15 21 28 12 11 14 15 3 11 6 2 1825 5 12 15 20 16 12 28 20
23、12 28 15 8 32 18 33(1)将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；(2)候车时间 15 分钟以上的比例是多少？你能为公交公司提出什么建议？解析(1)该组数据中最大值为 34，最小值为 1，两者之差为 33，故取组距为 5，分为 7 组.时间分组频数频率频率组距0,5)60.0750.0155,10)80.1000.02010,15)220.2750.05515,20)220.2750.05520,25)100.1250.02525,30)80.1000.02030,35)40.0500.010合计801.0000.200 频率分布直方图如图所示：频率
24、分布折线图如图所示：(2)候车时间 15 分钟以上的百分比为02750.1250.1000.0500.55055%公交公司可以适当增加公交车的数量点评 将频率分布直方图中各相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，左、右两端点须分别向外延伸半个组距，并取此组距上在 x 轴上的点与折线的首、尾分别连结，可得到频率分布折线图也可以不用频率分布直方图，直接用频率分布表作出频率分布折线图，其方法为：用每组中点的数作横坐标，相应频率除以组距所得的数作纵坐标描点，然后用折线依次连结起来即可.变式迁移 4在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为 5 月 1 日至 30 日，评委会把同学们
25、上交作品的件数按 5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图所示)已知从左到右各长方形的高的比为 2：3：4：6：4：1，第三组的频数为 12，请解答下列问题：(1)本次活动共有多少件作品参加评比？(2)哪组上交的作品数最多？有多少件？(3)经过评比，第四组和第六组分别有 10 件、2 件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？解析(1)依题意知第三组的频率为423464115，又因为第三组的频数为 12，本次活动的参评作品数为121560(件)(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有 60623464118(件)(3)第 四 组 的 获奖 率 是101859，第 六 组上
26、 交 的作 品 数量 为6012346413(件)第六组的获奖率为2369，显然第六组的获奖率较高.题型五 茎叶图的应用例 5 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲的得分：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50；乙的得分：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,51.(1)画出甲、乙两名运动员得分数据的茎叶图；(2)根据茎叶图分析甲、乙两运动员的水平分析 按照作茎叶图的方法首先画出茎叶图，然后分析解析(1)作出茎叶图如图所示(2)由上面的茎叶图可以看出甲运动员的得分情况是大致对称的，中位数是 36；乙运动员的得分情况除一个
27、特殊得分外，也大致对称，中位数是 26.因此甲运动员的发挥比较稳定，总体得分情况比乙运动员好点评 当数据较少时，用茎叶图分析问题的突出优点是：(1)保留原始信息；(2)随时记录用茎叶图分析数据可以运用数据分布的对称情况，集中分散情况来分析总体情况.变式迁移 5某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A.将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验两种小麦各种植了 25 亩，所得亩产数据(单位：千克)如下：品种 A：357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,4
28、51,454品种 B：363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430(1)画出品种 A，B 亩产数据的茎叶图；(2)用茎叶图处理现有的数据，有什么优点？(3)通过观察茎叶图，对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较，写出统计结论解析(1)茎叶图如图所示(2)用茎叶图处理现有的数据不仅可以看出数据的分布状况，而且可以看出每组中的具体数据(3)通过观察茎叶图可以发现品种 A 的平均亩产量为 411.1 千克，品种 B 的平均亩产量为 397.
29、8 千克由此可知，品种 A 的平均亩产量比品种 B 的平均亩产量高但品种 A 的亩产量不够稳定，而品种 B 的亩产量比较集中在平均产量附近.题型六 平均数、标准差、方差的应用例 6 已知母鸡产蛋的最佳温度在 10左右，下面是在甲、乙两地六个时间测得的温度，你认为甲、乙两地哪地更适合母鸡产蛋？时刻(时)4812162024甲()57151443乙()1410720 解析 x甲16(57151443)4，x乙16(1410720)4.极差：甲地温度极差15(5)20；乙地温度极差10010.标准差：s 甲165424423428.4；s 乙161422420423.5.方差 s2甲70.7，s2乙
30、12.3.显然两地的平均温度相等，乙地温度的极差、标准差、方差较小，说明了乙地温度波动较小，因此，乙地比甲地更适合母鸡产蛋点评 通过从样本数字特征的分析，可以使我们宏观掌握总体的数字特征，为我们在实际问题中判断、决策提供理论依据因此我们在生活、生产实践中不仅要善于发现问题，而且要勇于用所学的统计知识去解决问题.变式迁移 6某校高一(1)、(2)班各有 49 名学生，两班在一次数学测验中的成绩统计如下表：(1)请你对下面的一段话给予简要分析：高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79 分，得 70 分的人最多，我得了 85 分，在班里可算是上游了”(2)请你根据表中数据，对这
31、两个班的测验情况进行简要分析并提出教学建议班级平均分众数中位数标准差高一(1)班79708719.8高二(2)班7970795.2解析(1)由中位数可知，85 分排在 25 位之后，位次上讲 85 分不能说是上游，但也不能单纯以位次来判定学习的好坏，小刚得了85 分，说明他对这阶段的学习内容掌握较好，从学习内容掌握上讲也可以说位于上游(2)高一(1)班成绩的中位数为 87 分，说明高于 87 分的人数占一半以上，而平均分为 79 分，标准差又很大，说明低分也很多，两极分化严重，建议加强对学习困难者的帮助高一(2)班成绩的中位数与平均分都为 79 分，标准差又小，说明学生之间差别较小，学习很差的
32、学生少，但学习优异的学生也很少，建议采取措施提高优秀率【教师备课资源】题型七 三种抽样方法的应用例 7 举例说明三种常用的抽样方法中，无论使用哪一种抽样方法，总体中的每个个体被抽到的概率都相同解析 先举一个例子后，再借助简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法的意义，通过具体计算进行说明举例：在 120 个零件中，一级品 24 个，二级品 36 个，三级品60 个，从中抽取容量为 20 的一个样本下面分别用三种抽样方法来计算总体中每个个体被抽取的概率(1)简单随机抽样法(采用抽签法)：显然每个个体被抽取的概率为 2012016；(2)系统抽样法：将 120 个零件分为 20 组，每组 6 个零件
33、，每组取 1 个，显然每个个体被抽取的概率为16；(3)分层抽样法：一、二、三级品之比为，20 2104,20 3106,20 51010，故分别从一、二、三级品中抽取 4 个、6个、10 个，每个个体被抽取到的概率分别为 424、636、1060，即都是16.所以，无论采用哪一种抽样方法，总体中的每一个个体被抽到的概率都是16.点评(1)解答本题必须理解简单随机抽样法、系统抽样法、分层抽样法这三种抽样方法是相互联系但相互之间又有所差异，不可混淆(2)可以看到，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种方法的共同点是：在抽样过程中，每一个个体被抽取的概率是相等的，体现了三种抽样方法的公平性.变式迁移
34、 7要完成下列两项调查：从某社区 125 户高收入家庭、280 户中等收入家庭、95 户低收入家庭中选出 100 户调查社会购买力的某项指标；从某中学高一年级的 12 名体育特长生中选出 3 人调查学习负担的情况，采应用的抽样方法是()A用简单随机抽样法 用系统抽样法B用分层抽样法 用简单随机抽样法C用系统抽样法 用分层抽样法D都用分层抽样法答案 B解析 中各部分差异明显，用分层抽样法；中总体的个体数较少，用简单随机抽样法故选 B.题型八 有关频率、频数问题例 8 张老师为了分析一次数学考试情况，在班里抽了 50 人，将分数分为 5 组第一组到第三组的频数分别是 10,23,11，第四组的频率
35、是 0.08，那么落在第五组 89.599.5 的频数是多少？频率是多少？全校 300 人中分数在 89.599.5 中的约有多少人？分析 频率是每一小组的频数与数据总数的比值第四组的频率是 0.08，则第四组的频数是 4.从而可求出第五组的频数、频率，并由样本估计出全校 300 人中分数在 89.599.5 之间的人数解析 第四组的频数为 0.08504，则第五组的频数为 5010231142，频率为 2500.04.全校 300 人中分数在 89.599.5之间的约有 0.0430012(人)点评(1)频率频数样本容量，已知其中任意两个量就可以求出第三个量；(2)各小组的频数和等于样本容量
36、，频率和等于 1；(3)由样本的频率可估计总体的频率，从而估计出总体的频数.变式迁移 8从一群学生中抽取一个一定容量的样本对他们的学习成绩进行分析，已知不超过 70 分的人数为 8 人，其累计频率为 0.4，则此样本容量是()A20 B40C70 D80答案 A解析 频数为 8，频率为 0.4，所以样本容量频数频率 80.420.题型九 频率分布直方图的画法例 9 有一个容量为 100 的样本，数据的分组及各组的频数如下：12.5,15.5)，6；15.5,18.5)，16；18.5,21.5)，18；21.5,24.5)，22；24.5,27.5)，20；27.5,30.5)，10；30.5
37、,33.5，8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图解析(1)样本的频率分布表如下：分组频数频率12.5,15.5)60.0615.5,18.5)160.1618.5,21.5)180.1821.5,24.5)220.2224.5,27.5)200.2027.5,30.5)100.1030.5,33.580.08合计1001.00(2)频率分布直方图如图所示：点评(1)组数的决定方法是：设数据总数目为 n，一般地，当n50，则分为 58 组；当 50n100，则分为 812 组较为合适；(2)分点的决定方法是：若数据为整数，则分点数据减去 0.5；若数据是小数点后一位的数，则分
38、点减去 0.05，以此类推；(3)画频率分布直方图小长方形的高的方法是：假设频数为 1 的小长方形的高为 h，则频数为 k 的小长方形的高为 kh.变式迁移 9某班英语考试得分情况如下：(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图解析(1)分组频数累计频数频率50,60)正50.1060,70)正正一110.2270,80)正正正170.3480,90)正正一110.2290,100正一60.12 合计501(2)题型十 平均数求法例 10 某校在一次学生身体素质调查中，在甲、乙两班随机抽10 名男生测验 100m 短跑，测得成绩如下：(单位：s)甲：15.1,14.8,14.1,14.6,
39、15.3,14.8,14.9,14.7,15.2,14.5；乙：15.0,15.0,14.2,14.5,16.1,15.2,14.8,14.9,15.1,15.2.问哪个班男生 100m 短跑平均水平高一些？分析 分别求出甲、乙两班中的学生跑 100m 的平均时间，然后比较即可解析 x甲14.8(s)，x乙15(s)因为 x甲 x乙，所以甲班男生短跑水平高一些点评 利用平均数的不同可以比较几组数据的情况，如成绩、产量等.变式迁移 10一组观察值 4,3,5,6 出现的次数分别为 3,2,4,2，则样本平均值为()A4.55 B4.5C12.5 D1.64答案 A解析 4332452632424
40、.55.题型十一 中位数、众数例 11 某企业员工的月工资资料如下：(单位：元)800800 800 800 800 10001000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1000 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1200 1500 1500 1500 1500 1500 1500 1500 2000 2000 2000 2000 2000 25002500 2500(1)计算该公司员工月工资的平均数、中
41、位数和众数；(2)假如你去这家企业应聘职位，你会如何看待员工的收入情况？分析 由平均数、中位数、众数定义求得解析(1)经计算，公司员工的月工资的平均数为x8008002500501320 元，中位数为 1200，众数为 1200.(2)应该考虑月工资的平均数 1320 元作为月工资的代表，因为，一般来讲，月平均工资水平可以用来与同类企业的工资待遇作比较点评 平均数，中位数和众数都是用来描述数据集中趋势的统计量，它们又有各自的特点，平均数是将所有的数据都考虑进去得到的量，它是反映数据集中趋势最常用的量，中位数可靠性较差，当一组数据中个别数据变动较大时，常用中位数表示数据的集中趋势，而众数求法较简
42、便，也经常被用到.变式迁移 11一 个 样 本 数 据 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列 为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为 22，则 x 等于()A21 B22C20 D23答案 A解析 根据中位数的定义，该组数据有 8 个，故处于中间的两个数为 x 与 23，所以中位数为x23222，x21.题型十二 方差、标准差的计算方法例 12 计算数据 5,7,7,8,10,11 的标准差、方差分析 本题考查样本数据的标准差、方差定义解析 x(57781011)68，且数据 xi57781011xi x311023(xi x)2911049s2(911049)64，s
43、42.所以这组数据的方差为 4，标准差为 2.点评 样本数据的方差、标准差的计算量较大，也可采用计算器或计算机进行计算计算样本数据 x1，x2，xn 的方差、标准差的算法步骤是：第一步：算出样本数据的平均数 x；第二步：算出每个样本数据与样本平均数的差，xi x(i1,2，n)；第三步：算出第二步中 xi x(i1,2，n)的平方；第四步：算出第三步中 n 个平方数的平均数，即为样本方差；第五步：算出第四步中平均数的算术平方根，即为样本标准差.变式迁移 12已知一组数据 x1，x2，xn 的平均数 x5，方差 s24，则数据 3x17,3x27，3xn7 的平均数和标准差分别为()A15,36
44、 B22,6C15,6 D22,36答案 B解析 x3x173x273xn7n3x1x2xn7nn3 x722，s232x1 x2x2 x2xn x2n9s236.方 法 路 路 通1三种抽样方法的共同特点：在抽样过程中每一个个体被抽到的概率相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性，其中简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样2当总体个数较少时，用简单随机抽样；当总体个数较多时，用系统抽样；当已知总体由差异明显的几部分组成时，常用分层抽样3总体分布估计的方法：用样本的特征估计总体的特征，当样本的容量无限增大时，估计就越准确4明确掌握几种表示频率分布
45、方法的优点与不足及每种方法的特点，准确表示出频率分布5由频率分布的两个特征可知：要使样本能够很好地反映总体的特征，必须随机抽取代表性较好的样本6要注意在频率分布直方图中纵轴代表的量是频率组距，而不是频率.正 误 题 题 辨例如图是一个容量为 200 的样本频率分布直方图请根据图形中的数据填空：(1)样本数据落在5,9)的频率为_；(2)样本数据落在9,13)的频率为_错解(1)落在5,9)的频率为 0.08.(2)落在9,13)的频率为 0.09.点击 频率分布直方图中纵轴表示频率组距，而不直接表示频率正解(1)落在5,9)的频率为 0.0840.32.(2)落在9,13)的频率为 0.0940.36.答案(1)0.32(2)0.36THANKS
