1、第四章 平面向量、数系的扩 充与复数的引入 知识点考纲下载平面向量的概念及其线性运算1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念和向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义知识点考纲下载平面向量的基本定理及坐标运算1.了解平面向量的基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.会用坐标表示平面向量共线的条件知识点考纲下载平面向量的数量积及平面向量应用举例1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平
2、面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的坐标运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系5.会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一些实际问题知识点 考纲下载 数系的扩充与复数的引入 1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示法及其几何意义4.会进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.第1课时 平面向量的概念及其线性运算 1向量的有关概念(1)向量：既有_又有_的量叫做向量，向量的大小叫做向量的_(或称_)(2)零向量：_的向量叫做零向量，其方向是_的，零向量记作
3、0.(3)单位向量：长度等于_个单位的向量大小方向长度模长度为0任意1(4)平行向量：方向相同或_的_向量；平行向量又叫_向量规定：0与任一向量_(5)相等向量：长度_且方向_的向量(6)相反向量：长度_且方向_的向量相反非零共线平行相等相同相等相反【思考探究】两向量平行与两直线(或线段)平行有何不同？提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同2向量的线性运算向量运算 定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_baa(bc)
4、向量 运算 定义 法则(或几何意义)运算律 减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差 三角形法则 aba(b)向量 运算 定义 法则(或几何意义)运算律 数乘 求实数与向量a的积的运算(1)|a|_.(2)当0时，a与a的方向_；当0时，a与a的方向_；当0时，a0.（a）_；（）a_；（ab）_.相同相反|a|aaaab1下列说法正确的是()A.AB CD 就是AB 所在的直线平行于CD 所在的直线B长度相等的向量叫相等向量C零向量长度等于 0D共线向量是在同一条直线上的向量解析：AB CD 包含AB 所在的直线与CD 所在的直线平行和重合两种情况，故 A 错；相等向量不仅要求长度
5、相等，还要求方向相同，故 B错；按定义零向量长度等于 0，故 C 正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故 D 错答案：C2在ABC 中，AB c，AC b.若点 D 满足BD2DC，则AD()A.23b13c B.53c23bC.23b13cD.13b23c解析：如图所示，可知 AD AB 23(AC AB)c23(bc)23b13c.答案：A3R，则下列命题正确的是()A|a|a|B|a|aC|a|a|D|a|0解析：A 中 0 时不成立B 中|a|是实数，而|a 是向量，故 B 错D 中，若 0或 a0 时，|a|0，故 D 错答案：C4已知 a 与 b
6、 是两个不共线向量，且向量ab 与(b3a)共线，则 _.解析：由已知得 abk(b3a)，k3k1，解得13k13.答案：135已知平面上不共线的四点 O、A、B、C.若OA 3OB 2OC 0，则|AB|BC|等于_解析：由已知得，OA OB 2(OB OC)，AB 2BC，|AB|BC|2.答案：2平面向量的有关概念1相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性2共线向量即为平行向量，它们均与起点无关3向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈4非零向量 a 与 a|a|的关系是 a|a|是 a 方向上的单位向量给出下列命题：(1)两个具有公共终
7、点的向量，一定是共线向量(2)两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小(3)a0(为实数)，则 必为零(4)、为实数，若 ab，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为()A1 B2C3D4解析：(1)错两向量共线要看其方向而不是起点与终点(2)对因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小(3)错当 a0 时，不论 为何值，a0.(4)错当 0 时，ab，此时，a 与 b可以是任意向量答案：C【变式训练】1.给出下列命题：有向线段就是向量，向量就是有向线段；若AB DC，则 ABCD 为平行四边形；若 ab，bc，则 ac；若 ab，bc，则 ac.
8、其中正确命题的个数是()A0B1C2D3解析：错，向量可用有向线段表示，但并不是有向线段错，因为AB DC，则可能A、B、D、C 四点在一条直线上正确错，若 b0，则对不共线的向量 a 与 c，也有a0，0c，但 a 与 c 不平行答案：B平面向量的线性运算向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”，即第二个向量的起点与第一个向量的终点重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”，即两个向量的起点重合，差向量由减向量的终点指向被减向量的
9、终点；平行四边形法则的要素是“起点重合”，即两个向量的起点相同，和向量的起点也相同如图所示，ABCD 是一个梯形，ABCD，且 AB2CD，M、N 分别是 DC、AB 的中点，已知AB a，AD b，试用 a、b 分别表示DC、BC、MN.解析：连接 AC.DC 12AB 12a，AC AD DC b12a，BC AC AB b12aab12a，NM ND DM NA AD DM12ab14ab14a，MN NM 14ab.【变式训练】2如图，已知OAB 中，点 C 是以 A 为中心的点 B 的对称点，D 是将OB 分成 21 的一个内分点，DC 和 OA 交于点 E，设OA a，OB b.(
10、1)用 a 和 b 表示向量OC、DC；(2)若OE OA，求实数 的值解析：(1)由题意，A 是 BC 的中点，且OD23OB，由平行四边形法则，OB OC 2OA.OC 2OA OB 2ab，DC OC OD(2ab)23b2a53b.(2)如题图，EC DC.又EC OC OE(2ab)a(2)ab，DC 2a53b，22 153，45.共线向量定理的应用1向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想2证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三
11、点共线设 e1，e2 是两个不共线向量，已知AB 2e18e2，CB e13e2，CD 2e1e2.(1)求证：A、B、D 三点共线(2)若BF 3e1ke2，且 B、D、F 三点共线，求 k 的值解析：(1)证明：由已知得BD CD CB(2e1e2)(e13e2)e14e2，AB 2e18e2，AB 2BD，A、B、D 三点共线(2)由(1)可知BD e14e2，且BF 3e1ke2，得BF BD，即 3e1ke2e14e2得3k4，解得 k12，k12.【变式训练】3.已知OB OA OC(，为实数)，若 A、B、C 三点共线求证：1.证明：如图，A、B、C 三点共线，可设AB mAC，
12、则OB OA AB OA mACOA m(OC OA)(1m)OA mOC，又OB OA OC，1m，m，1.1共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量2两个向量的和仍是向量特别注意的是：在向量加法的表达式中零向量一定要写成0，而不应写成 0；在ABC 中，AB BC CA 0.3.两个向量的差也可用平行四边形法则及三角形法则求得：用平行四边形法则时，两个向量共起点，和向量是起点与它们的起点重合的那条对角线(AC)，而差向量是另一条对角线(DB)，
13、方向是从减向量指向被减向量；用三角形法则时，把减向量与被减向量的起点相重合，则差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 4共线定理的作用：用向量共线定理可以证明几何中的三点共线和直线平行问题但是向量平行与直线平行是有区别的，直线平行不包括重合的情况要证明三点共线或直线平行都是先探索有关的向量满足向量等式ba，再结合条件或图形有无公共点证明几何位置从近两年的高考试题来看，向量的线性运算、共线问题是高考的热点尤其向量的线性运算出现的频率较高，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题目，主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理交汇命题(2010全国卷)ABC 中，
14、点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB.若CB a，C Ab，|a|1，|b|2，则CD()A.13a23b B.23a13bC.35a45bD.45a35b【全解全析】如图所示，12，|CB|CA|BD|DA|12，BD 13BA13(CA CB)13(ba)，CD CB BD a13(ba)23a13b.答案：B【阅后报告】解答本题的难点是不知角平分线定理，只要把 BD 和 DA 的关系用 BC和 CA 表示，问题便可解决1(2010湖南卷)已知ABC 和点 M 满足 M AM BM C0.若存在实数 m 使得 A BA CmAM 成立，则 m()A2 B3C4 D5解析：MA MB M
15、C 0，点 M 是ABC 的重心AB AC 3AM.m3.答案：B2(2009山东卷)设 P 是ABC 所在平面内的一点，BC BA 2BP，则()A.PAPB0 B.PCPA0C.PBPC0 D.PAPBPC0解析：BC BA 2BP，由向量加法的平行四边形法则知 P 为 AC 中点如图PCPA0.答案：B3(2009北京卷)已知向量 a、b 不共线，ckab(kR)，dab.如果 cd，那么()Ak1 且 c 与 d 同向Bk1 且 c 与 d 反向Ck1 且 c 与 d 同向Dk1 且 c 与 d 反向解析：由 cd，则存在 使 cd，即 kabab，(k)a(1)b0.又 a 与 b 不共线，k0，且 10.k1.此时 cab(ab)d.故 c 与 d 反向，选 D.答案：D练规范、练技能、练速度
