1、天水市一中2015级20172018学年度第二学期第一次模拟考试数学试卷（理科） 第卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知(13i)(2i)43i(其中i是虚数单位，是z的共轭复数)，则z的虚部为( )A1 B1 Ci Di2如图，已知R是实数集，集合Ax|log2(1)(x1)0，Bx|x(2x3)0，则阴影部分表示的集合是( )A0,1 B0,1) C(0,1) D(0,13已知命题p：x(，0)，2x3x；命题q：x2()，tan xsin x，则下列命题为真命题的是( )Apq Bp(q) C(p)q
2、Dp(q) 4有4位同学参加某智力竞赛，竞赛规定：每人从甲、乙两类题中各随机选一题作答，且甲类题目答对得3分，答错扣3分，乙类题目答对得1分，答错扣1分若每位同学答对与答错相互独立，且概率均为2(1)，那么这4位同学得分之和为0的概率为 ( )A.64(11) B.4(3) C.8(3) D.16(11) 5设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则(OA)(OB)(OC)(OD)等于 ( )A.(OM) B2(OM) C3(OM) D4(OM) 6.设 ab1， ，给出下列三个结论： ； ； ，其中所有的正确结论的序号是.A B. C. D. 7.某
3、四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是（ ）A B C D8已知等差数列an的前n项和为Sn，且S210，S555，则过点P(n，an)和Q(n2，an2)(nN*)的直线的斜率是( )A4 B3 C2 D19某程序框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为( )A15,60) B(15,60 C12,48) D(12,4810已知P(x，y)为平面区域axa1(y2x20)(a0)内的任意一点，当该区域的面积为3时，z2xy的最大值是( )A1 B3 C2 D6 11设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，S1，S2，S4成等比数列，且a32(5)，则数列an(
4、1)的前n项和Tn( )A2n1(n) B.2n1(n) C2n1(2n) D.2n1(2n)12过抛物线y22px(p0)的焦点F，且倾斜角为4()的直线与抛物线交于A，B两点，若AB的垂直平分线经过点(0,2)，M为抛物线上的一个动点，则M到直线l1：5x4y40和l2：x5(2)的距离之和的最小值为( )A.41(41) B.31(31) C.41(41) D.31(31)第卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分第13题21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题23题为选考题，考生根据要求做答二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上) 13
5、双曲线：a2(y2)b2(x2)1(a0，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则的实轴长等于_ 14已知(12x)5(1ax)4的展开式中x的系数为2，则实数a的值为_15.已知，则不等式的解集为 16在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在其表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2Bcos B1cos Acos C.(1)求证：a，b，c成等比数列；(2)若b2，求ABC的面
6、积的最大值 18(本小题满分12分)某调查机构从某县农村淘宝服务网点中随机抽取20个网点作为样本进行元旦期间网购金额(单位：万元)的调查，获得的所有样本数据按照区间0,5，(5,10，(10,15，(15,20，(20,25进行分组，得到如图所示的频率分布直方图(1)根据样本数据，试估计样本中网购金额的平均值；(注：设样本数据第i组的频率为pi，第i组区间的中点值为xi(i1,2,3,4,5)，则样本数据的平均值为x1p1x2p2x3p3x4p4x5p5)(2)若网购金额在(15,25的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点从这20个服务网点中任选2个，记表示选到优秀服务网点的个数，
7、求的分布列及数学期望 19(本小题满分12分)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，ADC60，SA1，AB2，SB，平面SAB底面ABCD，直线SC与底面ABCD所成的角为30. (1)证明：平面SAD平面SAC；、(2)求二面角BSCD的余弦值 20.(本小题满分12分)已知椭圆C：a2(x2)b2(y2)1(ab0)的右焦点为F2(2,0)，点P3(15)在椭圆C上(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|F1N|(F1为椭圆的左焦点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由 21.(本小题满分12分)已知函数f
8、(x)(xa)ln x，g(x)ex(x2)，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与直线2xy30平行(1)求证：方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数m(x)minf(x)，g(x)(minp，q表示p，q中的较小者)，求m(x)的最大值 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程将圆x2y21上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线.(1)写出的参数方程；(2)设直线l：3x2y60与的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2
9、的中点且与l垂直的直线的极坐标方程 23(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2xa|.(1)若f(x)b的解集为x|1x2，求实数a、b的值；(2)若a2时，不等式f(x)mf(x2)对一切实数x均成立，求实数m的取值范围 数学(理科)答案1解析：选A.因为2i(43i)13i2i(2i)13i12i13i2i，所以z2i，z的虚部为1，故选A.2解析：选D.由题可知Ax|1x2，Bx|0x2(3)，且图中阴影部分表示的是B(RA)x|0x1，故选D.3解析：选C.根据指数函数的图象与性质知命题p是假命题，则綈p是真命题；根据单位圆中的三角函数线知命题q是真命题，故选C.
10、 4.解析：选A.每人的得分情况均有4种可能，因而总的情况有44256种，若他们得分之和为0，则分四类：4人全选乙类且两对两错，有C4(2)种可能；4人中1人选甲类对或错，另3人选乙类全错或全对，有2C4(1)种可能；4人中2人选甲类一对一错，另2人选乙类一对一错，有C4(2)22种可能；4人全选甲类且两对两错，有C4(2)种可能共有C4(2)2C4(1)C4(2)22C4(2)44种情况，因而所求概率为P256(44)64(11)，故选A.5解析：选D.因为M是平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点，所以(OA)(OC)2(OM)，(OB)(OD)2(OM)，所以(OA)(OB)(OC)(
11、OD)4(OM)，故选D.6.【答案】D【解析】由不等式及ab1知，又，所以，正确;由指数函数的图像与性质知正确；由ab1，知，由对数函数的图像与性质知正确.7案： B 提示：四棱锥的底面垂直与水平面。 8解析：选A.设等差数列an的公差为d，因为S22a1d10，S52(5)(a1a5)5(a12d)55，所以d4，所以kPQn2n(an2an)2(2d)d4，故选A. 9解析：选B.根据程序框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组33(x)，解得15x60，故选B.10. 解析：选D.不等式组axa1(y2x20)变形可得axa1(xy0)，先作出可行域如图中阴影部分所示，则可行域
12、的面积S2(1)(2a2a2)13，解得a1，平移直线y2x，得z2xy在点(2，2)处取得最大值6，故选D.11解析：选C.设an的公差为d，S1a1，S22a1d2a12(a3a1)2(3)a14(5)，S43a3a1a12(15)，因为S1，S2，S4成等比数列，所以 4(5)22(15)a1，整理得4a1(2)12a150，所以a12(5)或a12(1).当a12(5)时，公差d0不符合题意，舍去；当a12(1)时，公差d2(a3a1)1，所以an2(1)(n1)(1)n2(1)2(1)(2n1)，所以an(1)2n1(2)2n1(1)，所以其前n项和Tn2n1(1)2n1(1)2n1
13、(2n)，故选C.12. 解析：选A.抛物线的焦点为F，0(p)，准线为x2(p)，故直线AB的方程为yx2(p)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由2x23px4(p2)0，所以x1x23p，y1y22p，故线段AB的中点坐标为，p(3p)，又AB的垂直平分线经过点(0,2)，故AB垂直平分线的方程为yx2，故p2(3p)2，p5(4)，x5(2)是抛物线的准线，作MCl1于点C，MDl2于点D，如图所示，由抛物线的定义知|MD|MF|，当M，C，F三点共线且点M位于C，F之间时，距离之和最小，其值是F，0(2)到l1：5x4y40的距离，由点到直线的距离公式可得其距离d2(|6|)4
14、1(6)41(41).13解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线yb(a)x，即axby0的距离为a2b2(|5b|)c(5b)b3，所以a4,2a8. 答案：8 14解析：因为(12x)5的展开式中的常数项为1，x的系数为C5(1)(2)10；(1ax)4的展开式中的常数项为1，x的系数为C4(1)a4a，所以(12x)5(1ax)4的展开式中x的系数为14a1(10)2，所以a3.答案：315.【解析】，因为所以是偶函数。所以所以变形为：又所以在单调递增，在单调递减。所以等价于故填 16解析：分别取BB1，CC1的中点E，F，连接AE，EF，FD，则BN平面AEFD，设M在平面ABB1A1中
15、的射影为O，过MO与平面AEFD平行的平面为，所以能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD的周长相等，又矩形AEFD的周长为2，所以所求轨迹的周长为2.答案：2 17 解：(1)在ABC中，cos Bcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cos Acos C，sin2B(cos Acos Csin Asin C)cos Acos C，化简，得sin2Bsin Asin C由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比数列(2)由(1)及题设条件，得ac4.则cos B2ac(a2c2b2)2ac(a2c2ac)2ac(2acac)2(1)，当且仅当ac时，等
16、号成立0B，sin B 2(1)2(3).SABC2(1)acsin B2(1)42(3).ABC的面积的最大值为.18解：(1)根据频率分布直方图可知(0.020.030.04m0.06)51，解得m0.05.所求样本中网购金额的平均值0.0552(5)0.0452(15)0.0652(25)0.0252(35)0.0352(45)0.252(5)0.22(15)0.32(25)0.12(35)0.152(45)0.6251.53.751.753.37511.(2)这20个服务网点中，非优秀服务网点有200.7515个，优秀服务网点有20(0.020.03)55个，的可能取值为0,1,2.P
17、(0)20(2)38(21)，P(1)20(2)38(15)，P(2)20(2)19(1)，的分布列为012P38(21)38(15)19(1)E()038(21)138(15)219(1)38(19)2(1).19解：(1)证明：因为SA1，AB2，SB，SA2AB2SB2，所以SAB为直角三角形，且SAAB，又平面SAB底面ABCD，平面SAB平面ABCDAB，所以SA底面ABCD，SAAC，故SCA为直线SC与底面ABCD所成的角，即SCA30，可得AC，SC2.在ADC中，AC，CD2，ADC60，所以sin 60(AC)sinDAC(CD)，即3sinDAC(2)，得sinDAC1，
18、故DAC90，所以ADAC.因为ADSAA，所以AC平面SAD.又AC平面SAC，所以平面SAD平面SAC. (2)以A为原点，AC，AD，AS所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(如图)，故A(0,0,0)，S(0,0,1)，B(，1,0)，C(，0,0)，D(0,1,0)，则(SB)(，1，1)，(SC)(，0，1)，(SD)(0,1，1)，设平面SBC的法向量为n1(x1，y1，z1)，则0(SC)，即x1z10(3x1y1z10)，令z1，得x11，y10，故n1(1,0，)为平面SBC的一个法向量设平面SCD的法向量为n2(x2，y2，z2)，则0(SD)，即y2z20(3
19、x2z20)，故y2z2x2.令x21，得n2(1，)为平面SCD的一个法向量cosn1，n2|n1|n2|(n1n2)7(103)7(4)7(7).分析可知二面角BSCD为钝角，故其余弦值为7(7).20解：(1)法一：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，椭圆C的左焦点为F1(2,0)由椭圆的定义可得2a2(15)2(15)9(96)9(24)2，解得a，b2a2c2642.椭圆C的标准方程为6(x2)2(y2)1.法二：椭圆C的右焦点为F2(2,0)，c2，故a2b24，又点P3(15)在椭圆C上，则a2(1)9b2(15)1，故b24(1)9b2(15)1，化简得3b44b2200，得
20、b22，a26，椭圆C的标准方程为6(x2)2(y2)1.(2)假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程为yxt，由yxt(1)得x23(xt)260，即4x26tx(3t26)0，(6t)244(3t26)9612t20，解得2t2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x22(3t)，x1x24(3t26)，由于|F1M|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1EMN，故kF1EkMN(1)1，又F1(2,0)，E2(y1y2)，即E4(t)，kF1E2(3t)1，解得t4.当t4时，不满足2t2，不存在满足条件的直线l.21解：(1)由题意知，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线
21、斜率为2，所以f(1)2，又f(x)ln xx(a)1，所以a1.设h(x)f(x)g(x)(x1)ln xex(x2)，当x(0,1时，h(x)0，又h (2)3ln 2e2(4)ln 8e2(4)110，所以存在x0(1,2)，使h(x0)0.因为h(x)ln xx(1)1ex(x2)，当x(1,2)时，0x(2x)(x1)211，exe，所以0ex(1)e(1)，所以ex(2x)e(1)，所以h(x)1e(1)0，所以当x(1,2)时，h(x)单调递增，所以方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根(2)由(1)知，方程f(x)g(x)在(1,2)内存在唯一的实根x0，且x(0，x
22、0)时，f(x)g(x)，又当x(x0,2)时，h(x)0，当x(2，)时，h(x)0，所以当x(x0，)时，h(x)0，所以当x(x0，)时，f(x)g(x)，所以m(x)x0，(x2)当x(0，x0)时，若x(0,1，则m(x)0；若x(1，x0，由m(x)ln xx(1)10，可知0m(x)m(x0)，故当x(0，x0时，m(x)m(x0)当x(x0，)时，由m(x)ex(2x)可得当x(x0,2)时，m(x)0，m(x)单调递增；x(2，)时，m(x)0，m(x)单调递减可知m(x)m(2)e2(4)，且m(x0)m(2)综上可得，函数m(x)的最大值为e2(4).22解：(1)设(x
23、1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为上的点(x，y)，依题意，得y3y1(x2x1)，即3(y).由x1(2)y1(2)1，得2(x)23(y)21.即曲线的方程为4(x2)9(y2)1. 故的参数方程为y3sin t(x2cos t)(t为参数)(2)由3x2y60(1)，解得y0(x2)，或y3(x0).不妨设P1(2,0)，P2(0,3)，则线段P1P2的中点坐标为2(3)，所求直线的斜率k3(2).于是所求直线方程为y2(3)3(2)(x1)，即4x6y50.化为极坐标方程，得4cos 6sin 50.23解：(1)|2xa|b，2(ab)x2(ab)，f(x)b的解集为x|1x2，2(ab)，b3(a1).(2)由已知，得mf(x2)f(x)|2x2|2x2|对一切实数x均成立，又|2x2|2x2|(2x2)(2x2)|4，m4.
